（3）轴线角的集合表示
轴线角
角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上的角
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在x轴上的角
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上的角
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上的角
{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}
终边落在y轴上的角
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在坐标轴上的角
{α|α＝k·90°，k∈Z}
（4）终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）钟表的秒针的运动是周期现象．（ ）
（2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．（ ）
（3）钝角是第二象限的角．（ ）
（4）第二象限的角一定比第一象限的角大．（ ）
（5）终边相同的角不一定相等．（ ）
解析：
（1）正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．
（2）错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．
（3）正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．
（4）错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°<361°.
（5）正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．
答案：
（1）√
（2）× （3）√ （4）× （5）√
2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是（ ）
A．26B．32
C．36D．41
解析：
选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.
3．已知下列各角：
①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．②④
解析：
选D.－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．
4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．
解析：
与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°（k∈Z）．
由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得
≤k<
.
又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.
答案：
240°
1．对周期现象的理解
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：
月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．
2．对角的概念的两点说明
（1）角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．
（2）在描述角度（角的大小）时一定要抓住三点：
①要明确旋转方向；
②要明确旋转的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
3．角的分类
（1）按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置，则∠AOB＝290°.
（2）今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．
4．任意角概念的四个关注点
周期现象的判断
判断下列现象是否是周期现象．
（1）地球自转；
（2）某地每年一月份的降雨量；
（3）世界杯足球赛的举办时间．
（链接教材P4例1，例2，例3）
[解]
（1）是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．
（2）不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．
（3）是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．
方法归纳
判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度间隔）出现，且现象是无差别的重复出现．
1．
（1）试判断下列现象中是否是周期现象．
①一年二十四节气的变化；
②候鸟迁徙；
③“随机数表”中数的排列．
（2）我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
t/s
35
40
45
50
55
60
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；
②说明血压变化的规律．
解：
（1）①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．
②候鸟迁徙是周期现象．
③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．
（2）①散点图如图．
②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T（15s），血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．
象限角的判断
（1）给出下列四个结论：
①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
（2）若α是第一象限角，则－α是第________象限角．
（3）已知α＝－1910°，把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限的角．
（链接教材P7例1）
[解]
（1）选D.①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．
（2）因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示．
所以－α的终边在第四象限．故填四．
（3）法一：
作除法运算，注意余数必须非负，
得：
－1910÷360＝－6……250，
所以α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
法二：
设α＝β＋k·360°（k∈Z），
则β＝－1910°－k·360°（k∈Z），
令0°≤－1910°－k·360°<360°，
解得－6
＝－5
，k∈Z.
所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
在本例（3）中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．
解：
当β＝250°时，γ＝250°＋180°＋k·360°＝70°＋（k＋1）·360°＝70°＋k′·360°（其中k′＝k＋1，k∈Z）．即γ＝70°＋n·360°，n∈Z，γ是第一象限的角．
方法归纳
判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°）的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
解析：
选A.当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A.
终边落在过原点的直线上的角
写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°<β<720°的元素β写出来．
（链接教材P7例2，P8例3）
[解] 如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：
45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
由于－360°<β<720°，
即－360°<45°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－
，n∈Z.
所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素是
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
方法归纳
（1）写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：
①在直角坐标系中画出该直线；②在0°～360°范围内找出满足条件的角；③写出满足条件的角的集合，并注意化简．
（2）要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．
3．已知角β的终边在直线y＝－x上．
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：
（1）如图，直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：
135°，315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
（2）由于－360°<β<720°，
即－360°<135°＋n·180°<720°，n∈Z.
解得－
，n∈Z.
所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
135°－2×180°＝－225°；
135°－1×180°＝－45°；
135°＋0×180°＝135°；
135°＋1×180°＝315°；
135°＋2×180°＝495°；
135°＋3×180°＝675°.
区域角的表示
如图所示，写出终边落在阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．
[解]
（1）由题图
（1）可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．
所以题图
（1）阴影部分中角的集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．
（2）由题图
（2）知，第一象限内阴影部分中角的集合为
S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．
所以所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2
＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋（2k＋1）×180°≤α≤90°＋（2k＋1）×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
（3）由题图（3）知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．
所以题图（3）阴影部分中角的集合为
S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．
方法归纳
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步
（1）先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界．
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α（3）根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α，β加上k·360°（k∈Z）．
4．
（1）如图所示，写出终边落在图中阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．
（2）已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．
①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；
②求A∩B.
解：
（1）终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·360°＋135°<α≤k·360°＋180°，k∈Z}，
终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·360°－15°≤α≤k·360°，k∈Z}，
所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为
{α|k·360°＋135°<α≤k·360°＋180°或－15°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}．
（2）①如图所示：
集合A中的角的终边在阴影（Ⅰ）内，
集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内．
②集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分内，
所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．
易错警示
因未能正确理解象限角而出错
已知α是第三象限角，则
是第几象限角？
[解] 因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°（k∈Z），
所以60°＋k·120°<
<90°＋k·120°（k∈Z）．
当k＝3n（n∈Z）时，60°＋n·360°<
<90°＋n·360°（n∈Z），
所以
是第一象限的角；
当k＝3n＋1（n∈Z）时，180°＋n·360°<
<210°＋n·360°（n∈Z），所以
是第三象限的角；
当k＝3n＋2（n∈Z）时，300°＋n·360°<
<330°＋n·360°（n∈Z），所以
是第四象限的角．
所以
是第一、三、四象限的角．
[错因与防范]
（1）仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要原因．
（2）分类讨论：
已知角α所在的象限，要求
（n∈N＋）所在的象限，应把角α写成k·360°＋β<α＋
<
＋
（k∈Z，n∈N＋），分别取k＝0，1，2，…，n－1，即可确定
所在的象限．
（3）几何法（八卦图法）
几何法判定
，
，…，
角的终边所在象限的具体步骤如下：
先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，…，直至填充所有区域，最后由α原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为
终边所在象限．
5．
（1）已知α为第三象限角，则
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
（2）已知θ角的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°范围内终边与
角的终边相同的角是________．
解析：
（1）法一：
因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·180°＋90°<
当k＝2n（n∈Z）时，有n·360°＋90°<
是第二象限角；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，有n·360°＋270°<
是第四象限角．所以
是第二或第四象限角．
法二：
（八卦图法）如图阴影部分（不包含边界）所示，
所在的象限是第二或第四象限．
（2）由已知，得θ＝k·360°＋168°，k∈Z，
所以
＝k·120°＋56°，k∈Z.
又因为0°≤k·120°＋56°<360°，满足上式的k值为k＝0，1，2，
所以在0°～360°范围内，终边与
角的终边相同的角是56°，176°，296°
答案：
（1）D
（2）56°，176°，296°
1．下列现象不是周期现象的是（ ）
A．挂在弹簧下方做上下振动的小球
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
解析：
选C.A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．
2．下列各角中与330°角终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°
C．－150°D．－390°
解析：
选D.所有与330°角终边相同的角可表示为α＝330°＋k·360°，当k＝－2时，得α＝－390°，故选D.
3．从13：
00到14：
00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．
解析：
经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.
答案：
－30° －360°
4．若α＝－510°，则α是第________象限角．
解析：
由于α＝－510°＝－2×360°＋210°，所以α是第三象限角．
答案：
三
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角都相等
B．钝角比第三象限角小
C．第一象限角都是锐角
D．锐角都是第一象限角
解析：
选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2015盆花的颜色为（ ）
A．红B．黄
C．紫D．白
解析：
选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2015÷4＝503……3，所以第2015盆花为紫色．
3．－495°角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选C.－495°＝－2×360°＋225°，因为225°是第三象限角，所以－495°是第三象限角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：
选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为（ ）
A．α＋β＝360°
B．α＋β＝（2k－1）·180°（k∈Z）
C．α＋β＝k·180°（k∈Z）
D．α＋β＝k·360°（k∈Z）
解析：
选B.
如图所示，
因为α与β的终边关于y轴对称，
所以α角的终边逆时针旋转（180°－2α）就与β角终边重合．
所以β＝k·360°＋（180°－2α）＋α，
所以α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°（k∈Z）．
因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，
所以α＋β＝（2k－1）·180°（k∈Z）．
6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．
解析：
每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．
答案：
一 二
7．与2015°角的终边相同的最小正角是________．
解析：
因为2015°＝5×360°＋215°，
所以215°为最小正角．
答案：
215°
8．设集合M＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．
解析：
对于M，当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，故M∩N＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：
{－126°，－36°，54°，144°}
9．如图，写出阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．
解：
阴影部分（包括边界）的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线
x－y＝0上，写出角β的集合S.
解：
如图，直线
x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°
升级会员 