应用基本不等式的条件.docx

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应用基本不等式的条件

应用基本不等式的条件

（经典版）

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序言

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应用基本不等式的条件

　　这是应用基本不等式的条件，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　应用基本不等式的条件第1篇

　　知识与技能：

　　理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。

　　过程与方法：

　　经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果汇报，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。

　　情感态度与价值观：

在自主分析，交流合作，成果汇报的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。

　　教学难点：

　　正确运用不等式的性质。

　　教学重点：

　　理解并掌握不等式的性质3。

　　教学过程：

　　一、创设情境引入新课

　　利用一台平衡的天平提出问题，引入新课

　　1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？

　　2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

　　3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？

缩小相同的倍数呢？

通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

　　二、合作交流探究新知

　　1、问题情景：

数学老师比语文老师年龄小。

　　1、10年后谁的年龄大？

　　2、20年之后呢？

　　3、5年之前呢？

　　假设数学，语文两位老师的年龄分别为a，b，则a　　a+10　　a+20　　a—5　　2、探索与发现

　　一组：

已知5>3，则5+23+2

　　5—23—2

　　二组：

已知—1　　—1—33—3

　　想一想不等号的方向改变吗？

　　3、归纳：

不等式的性质1：

　　不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变

　　如果a＜b，那么a+c

　　如果a＞b，那么a+c>b+c，a—c>b—c。

　　不等号方向不改变！

　　4、大胆猜想

　　不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

　　不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

　　不等式两边都乘（或除以）同一个数（不为零），

　　不等号的方向呢？

　　5、探索与发现

　　已知4　　一组：

4X26X（—2）；

　　4÷26÷（—2）。

　　思考不等号方向改变吗？

　　不等式两边都乘（或除以）一个不为零的数，不等号方向改不改变和什么有关？

　　6、不等式的性质2：

　　不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　如果a>b，且c>0，那么ac>bc，

　　如果a0，那么ac　　7、不等式的性质3：

　　不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　如果a>b，且c

　　如果a

　　三、巩固提高拓展延伸

　　例1：

判断下列各题的推导是否正确？

为什么（学生口答）

（1）因为7。

5＞5。

7，所以—7。

5＜—5。

7；

（2）因为a+8＞4，所以a＞—4；

　　（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

　　（4）因为—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

　　（5）因为3＞2，所以3a＞2a．

（1）正确，根据不等式基本性质3．

（2）正确，根据不等式基本性质1．

　　（3）正确，根据不等式基本性质2．

　　（4）正确，根据不等式基本性质1．

　　（5）不对，应分情况逐一讨论．

　　当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2）

　　当a=0时，3a=2a．

　　当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3）

　　考考你！

0>4，哪里错了？

　　已知m>n，两边都乘以4，得4m>4n，

　　两边都减去4m，得0>4n—4m，

　　即0>4（n—m），

　　两边同时除以（n—m），得0>4。

　　等式与不等式的性质

　　1。

不等式的三个性质。

　　2。

等式与不等式的性质对比。

　　先前后比较，再定不等号

　　四、总结归纳

　　1、等式性质与不等式性质的不同之处；

　　2、在运用“不等式性质3"时应注意的问题．学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。

　　五、布置作业

　　1、必做题：

教科书第134页习题9。

1第4、5题

　　2、选做题：

教科书第134页习题9。

1第7题．

　　应用基本不等式的条件第2篇

　　教学目标:

　　通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.

　　知识与能力:

　　1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.

　　2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.

　　3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.

　　4.知道什么是不等式的解.

　　过程与方法:

　　1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.

　　2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.

　　3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

　　4.通过习题巩固和加深对概念的理解.

　　情感、态度与价值观:

　　1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.

　　2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.

　　3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.

　　4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.

　　教学重、难点及教学突破

　　重点:

不等式的概念和不等式的解的概念.

　　难点:

对文字表述的数量关系能列出不等式.

　　教学突破:

由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.

　　教学过程：

　　一.研究问题：

　　世纪公园的票价是:

每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

　　那么,究竟李敏的提议对不对呢?

是不是真的浪费呢

　　二.新课探究：

　　分析上面的问题:

设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?

②若x　　结论：

至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

　　概括：

1、不等式的定义：

表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,　　2、不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

　　3、不等式的分类：

⑴恒不等式：

-71+4,a+2>a+1.

　　⑵条件不等式：

x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

　　三.基础训练.

　　例1、用不等式表示：

⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.

　　注：

⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

　　⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.

　　例2、用不等式表示：

⑴a与1的`和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.

　　例3、当x=2时，不等式x-1　　注：

⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.

　　学生练习：

课本P42练习1、2、3.

　　四.能力拓展

　　学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.

　　⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

　　⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.

　　解：

⑴按实际45人购票需付钱_________元，如果按50人购买团体票则需付钱50X12X80%=480元，所以购买团体票便宜.

　　⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，

　　由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

　　x12x比较480与12x的大小48　　30

　　40

　　41

　　42

　　由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.

　　五.小结:

　　⑴不等式的定义，不等式的解.

　　⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.

　　六.作业:

课本P42习题8.1第1、2、3题.

　　补充题：

　　1.用不等式表示：

（1）与1的和是正数;

（2）的与的的差是非负数;

　　（3）的2倍与1的和大于3;（4）的一半与4的差的绝对值不小于.

　　（5）的2倍减去1不小于与3的和;（6）与的平方和是非负数;

　　（7）的2倍加上3的和大于-2且小于4;（8）减去5的差的绝对值不大于

　　2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?

（试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解）

　　3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，

（1）设从乙仓库调往A县农用车辆，用含的代数式表示总运费W元;

（2）请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?

你能否求出总运费最低的调运方案.

　　应用基本不等式的条件第3篇

　　【教学目标】1．知识与技能：

进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．过程与方法：

通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。

【教学过程】1.课题导入1．重要不等式：

如果2．基本不等式：

如果a,b是正数，那么3.我们称的算术平均数，称的.几何平均数.成立的条件是不同的：

前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

2.讲授新课例1

（1）已知m>0,求证。

[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。

[证明]因为m>0,，由基本不等式得当且仅当=，即m=2时，取等号。

规律技巧总结注意：

m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。

（2）求证:

.[思维切入]由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：

此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：

设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：

此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.3.随堂练习1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?

最小值是多少?

2．课本第101页的练习4,习题3.4.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。

在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：

（1）函数的解析式中，各项均为正数；

（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：

一正二定三相等。

5.作业设计课本第101页习题[A]组的第2、4题

　　应用基本不等式的条件第4篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　梳理等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的其他性质.

　　2.内容解析

　　等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征.从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变；也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.

　　不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现.运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算，得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位.

　　利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质.

　　结合以上分析，确定本节课的教学重点：

两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.

　　二、目标和目标解析

　　1.目标

（1）梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法，即实数序关系的特性和运算中的不变性.

（2）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用，发展学生逻辑推理素养.

　　（3）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养.

　　2.目标解析

　　达成上述目标的标志是：

（1）学生能够梳理出等式的基本性质，并探究总结出等式的基本性质包含两个方面，其一是实数序关系的特性，即等式自身的特性，包括“对称性”和“传递性”；其二是在加法、乘法运算中的不变性.

（2）学生能够运用类比的方法，从“实数序关系的特性（等式自身的特性）”和“运算中的不变性”两个方面，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.

　　（3）学生能从运算的角度出发，猜测并进行证明不等式的一些常用性质（性质5，6，7）；并能说出为什么性质1—4称为“基本性质”.

　　（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系.

　　三、教学问题诊断分析

　　不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维，因此学生会有以下几个方面的困难.

　　1.学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.

　　2.学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.

　　3.学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.

　　本节课的教学难点为：

梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质.

　　四、教学过程设计

（一）确定研究内容，明确研究方法

　　导入语：

同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？

今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质.好！

我们一起走进“等式性质与不等式性质”.

　　设计意图：

此环节以单元教学理念为指导，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生与所研究内容相关的认知。

开门见山，直接引入课题，学生能够明确学习目标，带着目标开展学习活动.

（二）复习等式性质，梳理思想方法

　　问题1：

请你回忆一下等式都有哪些性质？

　　预设方案：

　　预案一性质3，4，5学生比较熟悉，能相互补充说出，但说不出性质1，2.

　　追问1：

这三条性质有什么共性？

可以看作是运用了什么相同的方法“得到的”？

　　师生活动：

教师板书这三条性质.

　　学生在教师引导下归纳这3条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立.教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不变性的特点.教师进一步指出，性质3中减法可以看成加法，即两边同加，性质5中的除法可以看成乘法，即两边同乘1/c，高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，所以可以将其合并.由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质.数学基本运算可派生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质.

　　追问2：

等式是否还有其他性质？

　　师生活动：

教师点出还有些等式的性质，我们在无意识地使用，之所以大家说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的性质.比如说，一个相等关系，即两个相等的实数，无论哪个写在等号左边或右边，等式均成立，即“如果a=b，则b=a”，此性质与a,b的顺序无关，它反映了等式自身的特性.

　　追问3：

从等式自身性质的角度是否还有其他性质？

　　师生活动：

在教师指导下，学生说出性质2，教师板书.教师点出此性质也反映了等式自身的特性.

　　预案二学生相互补充能说出性质1，2