旋转题目 文档.docx

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旋转题目文档

几何三大变换问题之旋转

含山县张公初级中学卢国剑

一、选择题

二、填空题

1.（上海市2004年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为▲。

2.（上海市2010年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为▲.

【答案】1或5。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。

【分析】旋转两种情况如图所示：

顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC=1。

逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE=2,F2C=F2B＋BC=5。

3.（上海市2011年4分）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝▲．

三、解答题

1.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中，为原点．点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，。

二次函数的图象经过点，，顶点为。

（1）求这个二次函数的解析式（5分）。

（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置。

将上述二次函数图象沿轴向上或向下平移后经过点。

请直接写出点的坐标和平移后所得图象的函数解析式（3分）。

（3）设

（2）中平移后所得二次函数图象与轴的交点为，顶点为。

点在平移后的二次函数图象上，且满足的面积是面积的倍，求点的坐标（4分）。

　　　在△PBB1和△PDD1中，∵，∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍。

　（3）由和，知边BB1上的高是边DD1上的高的2倍，据此，分别讨论点P在对称轴的右侧，点P在对称轴的左侧且在y轴的右侧，点P在y轴的左侧三种情况即可。

2.（2008年北京市8分）请阅读下列材料：

问题：

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在

（1）中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明；

（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．

∵∠ABC=600，∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=1200。

（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）。

（3）∠ABC=∠BEF=2α（00＜α＜900），那么∠PCG=900－α，由

（1）可知：

PG：

PC=tan（900－α）。

3.（天津市2008年10分）已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．

（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：

；

思路点拨：

考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．

请你完成证明过程：

（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM。

又∵CA=CB，∴CG=CB。

∴∠GCN=∠GCM＋∠ECF=∠GCM＋450，

∠BCN=∠ACB－∠ACN=900－（∠ECF－∠ACM）=450＋∠ACM。

4.（2009年北京市8分）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF（如图1）

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

∴。

②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，

【分析】

（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直，理由为：

△P1EC按要求旋转后得到的△G1EF全等，再结合∠P1CE=∠G1FE=900去说明。

②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直。

（2）分①点P1在线段CH的延长线上，点P1在线段CH上和点P1与点H重合三种情况讨论即可。

5.（重庆市2009年12分）已知：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与

（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于

（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

∴抛物线的解析式为。

（2）EF=2GO成立。

证明如下：

∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为。

设DM的解析式为，将点D、M的坐标分别代入，得

，解得。

∴DM的解析式为。

综上所述，存在三个满足条件的点Q，即（2，2）或或。

【考点】二次函数综合题，旋转问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，分类思想的应用。

【分析】

（1）由已知求出点E、D、C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）用待定系数法求出DM的解析式，通过证明即可得到EF=2GO的结论。

（3）分PG=PC，PG=GC，PC=GC讨论即可。

6.（重庆市2010年12分）已知：

如图

（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图

（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？

若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

∴∠FCN=∠MCN。

又∵MC=CF，CN=CN，∴△MCN≌△FCN。

∴MN=NF。

（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4。

7.（天津市2011年10分）在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A（3．0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β．

（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥轴时．求α与β之闻的数量关系；

（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式（直接写出即如果即可），

【答案】解：

（I）∵点A（3，0），B（0，4），∴0A=3，OB=4。

∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=。

【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行的性质。

【分析】（I）作辅助线DM⊥轴，由勾股定理求出AB的长，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。

∴∠ADB=∠AOB=900。

又∵∠ADC=900，∴B在直线CD上。

8.（2012年北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。

（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。

【答案】解：

（1）补全图形如下：

（3）由

（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。

∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。

∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。