的图象可能是()
11.(xx·蜀山区一模)如图,一次函数y1=-x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b+1)x的图象可能是()
12.(xx·包河区二模)已知二次函数y=ax2+bx的图象经过A(-1,1),则ab的值有()
A.最小值0B.最小值-
C.最大值1D.最大值2
13.(xx·黄冈)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()
A.-1B.2C.0或2D.-1或2
14.(xx·襄阳)已知二次函数y=x2-x+
m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()
A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>2
15.(xx·绍兴)若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点()
A.(-3,-6)B.(-3,0)
C.(-3,-5)D.(-3,-1)
16.(xx·永州)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=
(b≠0)与二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是()
17.(xx·滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④当y>0时,-1<x<3.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
18.(xx·杭州)四位同学在研究函数y=ax2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程ax2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
19.(xx·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③-3<a+b<3,
其中,正确结论的个数为()
A.0B.1C.2D.3
20.(xx·上海)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的解析式可以是__________________________.(只需写一个)
21.(xx·广州)已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而________(填“增大”或“减小”).
22.(xx·孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax
2=bx+c的解是________________________.
23.(2019·原创)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-5图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是____________________.(用“<”号连接)
24.(xx·自贡)若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为________.
25.(xx·南京)已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).
(1)求证:
不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
26.(xx·杭州)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0)
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,并说明理由;
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:
a>0.
1.(xx·潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()
A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6
2.(xx·长沙)若对于任意非零实数,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3,x02-16),则符合条件的点P()
A.有且只有1个B.有且只有2个
C.至少有3个D.有无穷多个
3.(xx·甘肃省卷)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:
①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-10,其中正确的是()
A.①②④B.①②⑤
C.②③④D.③④⑤
4.(xx·温州)如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.
(1)求a,b的值;
(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=
,求K关于m的函数表达式及K的范围.
5.(xx·埇桥区二模)已知:
如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0).
(1)求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式;
(2)若直线l⊥x轴,在第一象限内与抛物线交于点M,与直线AB交于点N,请在备用图上画出符合题意的图形,并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值,以及此时点M,N的坐标.
参考答案
【基础训练】
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.D 8.D 9.D 10.D
11.D 12.B 13.D 14.A 15.B 16.D 17.B 18.B 19.C
20.y=x2-1(答案不唯一) 21.增大 22.x1=-2,x2=1
23.y2<y1<y3 24.-1
25.
(1)证明:
当y=0,根据方程2(x-1)(x-m-3)=0.
解得x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.
所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)解:
当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.
当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
26.
(1)解:
∵Δ=b2+4a(a+b)=b2+4ab+4a2=(b+2a)2,
∴当b+2a=0时,Δ=0,图象与x轴有一个交点;
当b+2a≠0时,Δ>0,图象与x轴有两个交点;
(2)解:
∵当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,
∴图象不可能过点C(1,1).
∴函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1)两点.
代入可得
,解得
,
∴该二次函数的表达式为y=3x2-2x-1.
(3)证明:
∵点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,
∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0,
又a+b<0,
∴(3a+b)-(a+b)>0,整理得2a>0,因而a>0.
【拔高训练】
1.B 2.B 3.A
4.解:
(1)将x=2代入y=2x,得y=4.
∴M(2,4),由题意得
∴
(2)如解图,过点P作PH⊥x轴于点H.
∵点P的横坐标为m,抛物线的函数表达式为y=-x2+4x,
∴PH=-m2+4m.
∵B(2,0),∴OB=2,
∴S=
×2×(-m2+4m)=-m2+4m,
∴K=
=-m+4.
由题意得A(4,0),
∵M(2,4),∴2∵K随着m的增大而减小,∴05.解:
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0),
∴
解得
∴抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3,
设直线AB:
y=kx+m,
根据题意得
,解得
,
∴直线AB的函数表达式是y=-x+3;
(2)如解图,设点M的横坐标为a,则点M的坐标为(a,-a2+2a+3),点N的坐标是(a,-a+3),
又点M,N在第一象限,
∴|MN|=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a,
又|MN|=-a2+3a=-(a2-3a+
)+
=-(a-
)2+
,
∴当a=
时,|MN|有最大值,最大值为
,
即点M与点N之间的距离有最大值
,
此时点M的坐标为(
,
),点N的坐标为(
,
).
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