高考真题理科分章节详解概率与统计题.docx

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高考真题理科分章节详解概率与统计题

2007年高考“概率与统计”题

1．（全国Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

1

2

3

4

5

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为

250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件：

“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

（Ⅱ）求的分布列及期望．

解：

（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

，．

（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．

，

，

．

的分布列为

（元）．

2．（全国）在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在

内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．

解：

在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象

的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在

（1，2）内取值的概率于在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，这样随机

变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8。

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

解：

（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，故

于是．解得（舍去）．

（2）的可能取值为．

若该批产品共100件，由

（1）知其二等品有件，故

．．．

所以的分布列为

0

1

2

3．（北京卷）某中学号召学生在今年春节期间至少

参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合

唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计

如图所示．

（）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（）从合唱团中任意选两名学生，求他

们参加活动次数恰好相等的概率．

（）从合唱团中任选两名学生，用表示

这两人参加活动次数之差的绝对值，

求随机变量的分布列及数学期望．

解：

由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（）该合唱团学生参加活动的人均次数为．

（）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的

概率为．

（）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”

为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，

“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；

的分布列：

0

1

2

的数学期望：

．

4．（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个

红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.

（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；

（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（III）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.

解：

（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”

为事件B.由于事件A，B相互独立，且.

故取出的4个球均为黑球的概率为.

（II）解：

设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且.

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为.

（III）解：

可能的取值为.由（I），（II）得

又从而.

的分布列为

0

1

2

3

的数学期望.

5．（上海卷）在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的

概率是（结果用数值表示）．

解：

=

6．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，

则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）

A．B．C．D．

解：

可从对立面考虑，即三张价格均不相同，选C

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司

缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元

的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。

设这三辆车在一年内发生此种事故的概率

分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率；（4分）

（2）获赔金额的分别列与期望。

（9分）

解：

设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，

且，，．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

．

（Ⅱ）的所有可能值为，，，．

，

，

，

．

综上知，的分布列为

求的期望有两种解法：

解法一：

由的分布列得

（元）．

解法二：

设表示第辆车一年内的获赔金额，，

则有分布列

故．

同理得，．

综上有（元）．

7．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球

是红球，其余的是黑球.若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码

是偶数的概率是（）

A．B．C．D．

解：

从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球

的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D.

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

市场情形

概率

价格与产量的函数关系式

好

0.4

中

0.4

差

0.2

设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为

而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

（Ⅰ）解:

由题意可得

L1=（q＞0）.

同理可得（q＞0）

（q＞0）………………………………4分

（Ⅱ）解:

由期望定义可知

………………………………8分

（Ⅲ）解:

由（Ⅱ）可知是产量q的函数,设

得0解得（舍去）.

由题意及问题的实际意义（或当0＜q＜10时,＞0;当q＞10时,

可知,当q=10时,f（q）取得最大值,即最大时的产量q为10.……………12分

8．（江苏卷）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）

解：

（1）次预报中恰有次准确的概率为

．

（2）次预报中至少有次准确的概率为

．

（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为

．

9．（广东卷）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。

现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______（答案用分数表示）

解：

P==

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）

与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

ｘ

３

４

５

６

ｙ

２．５

３

４

４．５

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；

（3）已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考数据:

3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

【命题意图】考查线性回归的应用

【参考答案】

（1）如下图

（2）=32.5+43+54+64.5=66.5

==4.5，==3.5

=+++=86

故线性回归方程为y=0.7x+0.35

（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35

故耗能减少了90-70.35=19.65（吨）

10．（福建卷）如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，

则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）

A．B．

C．D．

解：

从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，

至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D.

两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的

数学期望．

解：

ξ的取值有0，1，2，

所以Eξ=

11．（安徽卷）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量

服从正态分布，则概率等于

（A）-（B）

（C）（D）

解：

==－=，选B。

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：

6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.

解：

（Ⅰ）的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6

（Ⅱ）数学期望为．

（Ⅲ）所求的概率为．

12．（湖南卷）设随机变量服从标准正态分布，已知，

则=（）

A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975

解：

服从标准正态分布，

选C

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择

相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．

解：

任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机

培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）解法一：

任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：

任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是

0

1

2

3

0.001

0.027

0.243

0.729

的期望是．

（或的期望是）

13．（湖北卷）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量

的夹角为，则的概率是（）

A．B．C．D．

解：

由向量夹角的定