高中理科数学立体几何复习讲义.docx

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高中理科数学立体几何复习讲义

高中理科数学立体几何复习讲义

题型一：

三视图

1．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）

A．2，2B．2，2C．4，2D．2，4

2．已知某三棱锥的三视图（单位：

cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）

A．B．C．D．

3．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）．

A．B．C．D．

4．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

（A）（B）（C）（D）

6．如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A．7πcm2B．8πcm2C．9πcm2D．11πcm2

7．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

8．一个空间几何体的三视图如下图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）

A．B．C．D．

9．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）

A．B．4C．D．

10．若某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则此几何体的体积

A．B．C．D．

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）

（A）1（B）2（C）4（D）8

12．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A．B．C．D．

13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

（A）（B）（C）（D）

14．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A.B.C.D.

15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为

（A）（B）（C）（D）

题型二：

线线，线面和面面关系判断

1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，则D．若，，则

2．设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

（A）若（B）若，则

（C）若，则（D）若，则

3．设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（）

①若，则与相交②若则

③若||，||，，则④若||，，，则||

A．1B．2C．3D．4

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l则

（）

（A）α∥β且∥α（B）α⊥β且⊥β

（C）α与β相交，且交线垂直于（D）α与β相交，且交线平行于

题型三：

三种角的计算

1．如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）

A．与垂直B．与垂直C．与异面D．与异面

2．四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，则CQ与平面DBC所成的角的正弦值（）

A．B．C．D．

2．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是

Ａ.Ｂ.平面

C.直线∥平面Ｄ.

3．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。

4．如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在

线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

5．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN

所成的角的余弦值为（）

A.B.C.D.

6．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。

设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.

7．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于________________。

题型四：

面积体积问题计算

1．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）

A．1B．C．2D．

2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）

A．B．C．D．

3．棱长均为的三棱锥，若空间一点满足则的最小值为（）

A、B、C、D、

4．圆柱的一个底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）

A．B．C．D．

五．计算解答题

1．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：

平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

2.如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：

PB∥平面AEC；

（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

4．如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）证明：

//平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

5．如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

（Ⅰ）证明：

为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

6．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为

（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

（2）证明：

直线平面

（3）求二面角的余弦值.

7．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.

（1）证明：

为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值.

8．（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，。

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？

若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的大小。

9．（本小题满分12分）

如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

，。

（Ⅰ）证明：

四点共面；

（Ⅱ）设，求二面角的余弦值。

10．（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：

平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

11．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：

;

（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

12．如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.

（1）证明：

；

（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

13．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．

（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：

SA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：

平面BDE⊥平面SAC；

（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

立体几何练习题

1．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

2．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB、BC、A1C1的中点。

（Ⅰ）证明：

EF//平面A1CD；

（Ⅱ）证明：

平面A1CD⊥平面ABB1A1。

3．如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点．

（Ⅰ）证明：

∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

4．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点、、分别是线段、、的中点．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面．

5．如图所示，直三棱柱的各条棱长均为，是侧棱的中点．

（1）求证：

平面平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小．

6．如图甲，⊙的直径，圆上两点在直径的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．为上的动点，根据图乙解答下列各题：

（1）求点到平面的距离；

（2）在弧上是否存在一点，使得∥平面？

若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

7．如图，在三棱台中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若平面，，，求平面与平面所成角（锐角）的大小．

8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．

（1）求证：

PN⊥AM；

（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

9．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，．

（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，垂直于，并证明你的结论．

10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=PC=2．E是PB的中点．

（1）求证：

平面EAC⊥平面PBC；

（2）求二面角P—AC—E的余弦值；

（3）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

11．（本小题满分12分）如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.

（Ⅰ）求证:

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

12．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．