大学物理授课教案第十二章机械振动.docx

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大学物理授课教案第十二章机械振动

第四篇振动与波动

第十二章机械振动

§11-1简谐振动

一、简谐振动的特征及其表达式

1、弹簧振子运动

2、简谐振动动力学特征

由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）：

（11-1）

式中：

当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即

为弹簧的倔强系数，“—”号表示力F与位移x（相对O点）反向。

定义：

物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。

由定义知，弹簧振子做谐振动。

3、简谐振动运动学特征

由牛顿第二定律知，加速度为

（为物体质量）

∵∴

∵、均大于0，∴可令

可有：

（11-2）

式（12-2）是谐振动物体的微分方程。

它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为

（11-3）

或（11-4）

式（11-3）（11-4）是简谐振动的运动方程。

因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。

本书中用余弦形式表示谐振动方程。

3、谐振动的速度和加速度

物体位移：

速度：

（12-5）

加速度：

（12-6）

可知：

、、曲线如下

说明：

（1）是谐振动的动力学特征；

（2）是谐振动的运动学特征；

（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。

二、谐振动的振幅周期角频率位相

上节我们得出了谐振动的运动方程，现在来说明式中各量意义。

1、振幅

做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。

反映了振动的强弱。

2、角频率（圆频率）

为了定义角频率。

首先定义周期和频率。

物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用表示；

在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。

由上可知：

或

∵为周期，∴

∵从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，∴（余弦函数周期为）

可见：

表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）

∵

∴

对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。

因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。

3、位相

在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。

由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。

是时的位相，称为初相。

4、、的确定

对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出、。

初始条件：

时由、表达式有

即

即

（12-6）

（12-7）

值所在象限：

1），：

在第Ⅰ象限

2），：

在第Ⅱ象限

3），：

在第Ⅲ象限

4），：

在第Ⅳ象限

5、两个谐振动物体在同一时刻位相差

设物体1和2的谐振动方程为图12-4

任意时刻二者位相差为

：

2的位相比1超前

：

2、1同位相

：

2的位相比1落后

例12-1：

如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，，试求下列情况下的振动方程。

（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；

（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。

解：

（1）的运动方程为

由题意知：

初始条件：

时，，

可得：

图12-5

∵，，∴

2）初始条件：

时，，

∵，，∴

可见：

对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。

例12-2：

如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。

（1）证明：

当摆角很小时小球做谐振动；

（2）求小球振动周期。

证：

（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅

直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由

转动定律：

有

图12-6

即

∵很小。

∴

∵这是谐振动的微分方程（或与正比反向）

∴小球在做谐振动。

（2）

（注意做谐振动时条件，即很小）

§12-3表示谐振动的旋转矢量方法

在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。

一、旋转矢量

自ox轴的原点o作一矢量，其模

为简谐振动的振幅，并使在图面内

绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动

角频率，矢量称为旋转矢量。

二、简谐振动的旋转矢量表示法图12-7

（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为

（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。

（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。

说明：

（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。

（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。

旋转矢量与谐振动曲线的对应关系（设）

图12-8

三、旋转矢量法应用举例

例12-3：

一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。

时，位移为，且向x轴正向运动。

（1）求物体振动方程；

（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。

解：

（1）设物体谐振动方程为

由题意知

〈方法一〉用数学公式求

∵,

∴

∵

∴

〈方法二〉用旋转矢量法求

根据题意，有如左图所示结果

∴图12-9

由上可见，〈方法二〉简单

（2）〈方法一〉用数学式子求

由题意有：

（∵∴）

或

∵此时

∴

设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，

有：

或（∵∴）

∵

∴

〈方法二〉用旋转矢量法求

由题意知，有左图所示结果，M1为时刻

末端位置，M2为时刻末端位置。

从

内转角为

显然〈方法二〉简单。

图12-10

例12-4：

图为某质点做谐振动的曲线。

求振动方程。

解：

设质点的振动方程为

由图知：

图12-11

用旋转矢量法（见上页图）可知，（或）

例12-5：

弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。

O为原点。

试求各种情况下初相。

图12-12

§12-4谐振动的能量

对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）

已知：

物体位移

物体速度

（11-8）

说明：

（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。

原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。

（2）与互相转化。

当时，，。

在处，，。

例12-6：

一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。

试求的位置。

解：

设弹簧的倔强系数为，系统总能量为

在时，有

∴

例12-7：

如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。

现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。

解：

系统的总能量为

（此时）

不致从上滑落时，须有

图12-13

极限情况

即

§12-5同方向同频率两谐振动合成

一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。

如：

在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。

又如：

两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。

在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。

取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。

振动方程为

、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。

是两振动的角频率。

由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即

为简单起见，用旋转矢量法求分振动。

图12-14图12-15

如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。

∵、以相同角速度转动，∴转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。

任意时刻，矢端在x轴上的投影为：

因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，为合振动振幅，为合振动初相。

合振动方程为：

（仍为谐振动）

由图中三角形知：

（12-9）

由图中三角形知：

（12-10）

讨论：

（1）时（称为位相相同）

（2）时（称为位相相反）

例12-8：

有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，若第一振动的振幅为，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。

解：

（1）

（2）∵∴

图12-16

例11-9：

一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为，，，试用振幅矢量方法求合振动方程。

解：

如左图，（、、、构成一等腰梯形）

图12-17