线性代数经济数学2习题集含答案.docx
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线性代数经济数学2习题集含答案
《线性代数（经济数学2）»课程习
题集
【说明】：
本课程《线性代数（经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有［计算题5］等试题类型未进入。
、计算题1
1.
设三阶行列式为D
求余子式
M1,
Mb，
Mb及代数余子式A1，A12，A3.
2.
3.
11
1
1
43
7
5
D4
169
49
15
6427
343
125
求解下列线性方程组：
2
n1
X1
a1X2
a1X3
a1Xn
2
n1
X1
a2X2
82X3
a21Xn
2
n1
X1
anX2
anX3
anXn
其中aiaj（i
j,i,j
1,2,
n）
用范德蒙行列式计算
4阶行列式
1
1
1
X2
X3
4.
问取何值时齐次线性方程组
X1
X1
X2
2X?
X3
0有非零解?
X3
（1）为2x24x30
5.问
取何值时齐次线性方程组
2x1（3）x?
x30有非零解?
%x2（1
）X30
的值。
的值。
、计算题2
6.计算D
2416
7.计算行列式D
1991
1992
1993
9.计算行列式
1994
1995
1996
1997
1998
1999
1
1
1
0
的值。
1
2
4
4
2X
12.A为任一方阵，证明A
At，AAt均为对称阵。
13.设矩阵
120
123
AB011
212
3
01
A的伴随矩阵A可逆，并求（A*）
求（ab）t和btat
15.用初等变换法解矩阵方程AX=B其中
1
1
1
11
A0
2
2
B
11
1
1
0
21
16.设矩阵
3
2
0
0
5
3
0
0
A
0
0
3
4
0
0
1
2
求A1
1
1
1
17.求A1
2
1的逆。
1
1
3
18.设n阶方阵A可逆，试证明
19.求矩阵
5
2
0
0
2
1
0
0
A
0
0
1
2
0
0
1
1
的逆。
12
20.求矩阵34
1
2的逆。
三、计算题3
21.设矩阵
11221
02151A
20313
11041
求矩阵A的秩R（A）。
22.
求向量组
1,2,3,
4的秩。
其中，
1（1,0,1），2（2,3,1），3（2,1,1），
4
（3,2,4）。
23.
设向量组
1，2，
3可由向量组
1，2，3线性表示。
1
123
2
123
3
123
试将向量1，
2，3由
1，2，3
线性表示。
24.问a取什么值时下列向量组线性相关？
TTT
a1（a11）a2（1a1）a3（11a）
25.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组
a1（1214）Ta2（9100104）Ta3（2428）T。
四、计算题4
26.求线性方和组的解
2x2x32
27.求解下列线性方程组
28.当a、b为何值时，线性方程组
x22x32x46x5b
有解，当其有解时，求出其全部解。
x12x25x32x40
29.求解齐次线性方程组2x1x23x35x40
5x17x2x40
30.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系
5x13x22x32x43
31.试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．
f（x1,x2,x3）2x12x224x1x24x2x3
32.设矩阵
101
A011
112
求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。
223
33.求一个正交变换将二次型f2x123x223x334x2x3化成标准形。
2222
34.求一个正交变换将二次型fx1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4化成标准形。
第5页共70页
2
2
0
35.试求一个正交的相似变换矩阵
，将对称阵2
1
2化为对角阵。
0
2
0
五、计算题5
（略）……
答案
、计算题1
1.解:
11
Aii
（1）M114,（3分）
13
M13
A13
（1）M135,（8分）
2.解：
对照范德蒙行列式，此处
a1=4,a2=3,a3=7,a4=-5（3分）
所以有
D4
佝aj）（5分）
4ij
1J
（a2
aj（a3aj（a4aj（a3
a?
）®a?
）®a?
）
（3
4）（74）（54）（73）（
53）（57）
=10368
（8分）
3.解：
写出系数行列式D
2n1
a〔a〔a〔
2n1
（3分）
a?
a?
a?
2n1
ananan
D为n阶范德蒙行列式，据题设aaj（ij）
D（aaj）0（5分）
1ijn
由克莱姆法则知方程组有唯一解。
易知
D1D,D20,...,Dn0
X11,X2
Xn0
（8分）
4.解系数行列式为
D1
1
令D0得
0或
于是当0或
11
1（4分）
21
1（6分）
1时该齐次线性方程组有非零解
（8分）
5.解系数行列式为
1
2
4
1
3
4
D
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
（4分）
（1）3（3）4
（1）2
（1）（3+）
（1）32
（1）23（6分）
令D0得
02或3
于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解
（8分）
'、计算题2
6.解：
4分）
8分）
7.解
2分）
6分）
=-60（10分）
8.解：
（10分）
1991
1992
1993
有
1994
1995
1996
1997
1998
1999
9.解：
对于行列式，使用性质进行计算。
（第3列减第2列）（3分）
1991
1992
1
1994
1995
1
1997
1998
1
（第2列减第1列）（6分）
199111
199411（由于2,3列对应相等）（8分）
199711
4
1
2
4
4
1
2
10
4
1
10.解
1
2
0
2
C2C3
1
2
0
2
1
2
10
5
2
0
C47C3
10
3
2
14
10
3
0
1
1
7
0
0
1
0
4
1
10
C2C3
9
9
10
1
2
2
C1I
0
0
2
0
（10分）
10
3
14
C3
17
仃
14
11.解
将上述等式看成
A2X
B
（2分）
由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律,
得
=0（10分）
10
2
14
AB2X
（1）43（5分）
1X
2
（AB）（4分）
1
2
1
1
=2[
3
1
1
43
11
1622
3]（6分）
3
（8分）
311
（10分）
202
4分）
8分）
13.解AB
2分）
8分）
14.解
3分）
6分）
10分）
15.解
1分）
3分）
7分）
•••X=A-1B
（10分）
16.解：
A
1（2分）
A1
（4分）
（6分）
A21
（8分）
于是
_1
3
5
典1
A
i
A
A21
0
0
2
0
0
3
0
0
0
1
2
（10分）
0
1
3
2
2
17.解:
7分）
18.证：
因为A可逆，所以|A|工0,（1分）
于是有A*=|A|A-1（3分）
对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质
（2）（注意|A|是一个数）得
|A*|=||A|A-1|=|A|n|A-1|（5分）
又因
|A-1|工0（VA可逆，由定义知A可逆）
•••|A*|丰0
所以A*是可逆的.（6分）
因为
可知
10分）
19.解：
令A1
52
21,A2
2分）于是A
A10
0A2
1
A101
0A2
用伴随矩阵极易写出A11,A21
A11
12
25
（6分）
1
2
A21
112
3
3（8分）
311
1
1
3
3
（10分）
12
20.解A34
54
1
2|A|20故A存在（2分）因为
1
An
A21
A31
4
2
0
A*
A12
A22
A32
13
6
1（6分）
A3
A23
A33
32
14
2
2
1
0
所以
A1
1
A*
13
3
1
（10分）
|A|
2
2
16
7
1
、计算题3
21.解：
对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有
2分）
4分）
（8分）最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R（A）=3（12分）
的矩阵A（2分）
这是一个"下三角形"矩阵
12分）
来。
6分）
（10分）
所以
11
1
22
11
—2—
22
11
212
2
3（12分）
24.解以所给向量为列向量的矩阵记为A（2分）由
a11
|A|1a1a（a1）（a1）（8分）
11a
1
9
2
1
9
2
1
9
2
2
100
4r
0
82
0r
0
1
0
（a1,a2,a3）
（7分）
1
10
2
0
19
0
0
0
0
4
4
8
0
32
0
0
0
0
知当a1、0、1时R（A）3此时向量组线性相关（12分）
25.解由
知R（a1a2as）2因为向量个最大无关组（12分）
a1与a2的分量不成比例
故a1a2线性无关所以a1a2是
四、计算题4
第36页共70页
26.解：
3分）
6分）
方程有解
视x3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）（15分）
27.解：
3分）
到此，r（A）r（A）3n5,导出组基础解系含5—2=3个基础解向量.导
出组有2个自由未知量•由最后的矩阵看取x2,x3为自由未知量.（8分）
写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以
表示）得:
x-i32k1k2
X20ki
第40页共70页
x41
x52（12分）
x1
3
2
1
x2
0
1
0
即
x3
0
k10
k21（15分）
x4
1
0
0
x5
2
0
0
28.解：
3分）
10分）
29.解
1
2
5
2
A2
1
3
5
（第1行乘-2,-5分别加到第2,
3行）（1分）
5
7
0
1
1
2
5
2
0
3
7
1
（第2行乘-6加到第3行）
（2分）
0
17
25
9
1
2
5
2
0
3
7
1
（第2行与第3行交换）（3分）
0
1
17
15
1
2
5
2
0
1
17
15
（第2行乘3加到第3行）
（4分）
0
3
7
1
1
2
5
2
1
（第3行乘）（5分）
0
1
17
15
44
0
0
44
44
1
2
5
2
0
1
17
15
（第3行乘17加到第2行）
（6分）
0
0
1
1
第47页共70页
1252
0102（第2行乘-2加到第1行）（7分）0011
1052
0102（第3行乘5加到第1行）（8分）0011
1003
0102（9分）
0011
因为R（A）3，nr431，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应含有一个解向量．（10分）
与原方程同解的方程组有
30.解对增广矩阵进行初等行变换
B2
13（3分）
与所给方程组同解的方程为
x1
x3
x2
x3
13
6分）
x4
当x30时得所给方程组的一个解与对应的齐次方程组同解的方程为
1302）
9分）
x1
x3
x2
x4
x3
0
12分）
当x31时得对应的齐次方程组的基础解系
10）T（15分）
31.解
2分）
4分）
（8分）对应的特征向量
10分）
标准化
12分）
正交变换阵为
CTAC
15分）
32.解
（1）
第57页共70页
2分）
•••A的特征值是
得A的正交相似的对角阵
4分）
6分）
得基础解系
8分）
得基础解系
得基础解系
10分）
特征值
其标准化，得
的特征向量，它们必正交．将
第66页共70页
（12分）
（14分）
（5）有
1
1
1
1
1
1
13
品
731
0
1
丽
72
<6
i
1
1
1
1
PAP=
石
00
1
1
72
v'6
i
1
21
1
2
1
c
2
V6
<6
0
V6
0
0
o
0
1
o
（15分）
0
0
3
2
00
33.解二次型的矩阵为
A
0
32
由
0
23
2
0
0
AE
0
3
2
（2）（5
）（1
）
0
23
得A的特征值为
122
5
31
（3分）
当i2时，解方程（A2E）x0
由
00
0
012
A2E
01
2
^~
001
02
1
000
第68页
共
70
页
得特征向量（100）T取pi（100）T（6分）
当25时解方程（A5E）x0由
3
0010
022000
31时解方程（A日x0
由
1
0
0
1
0
0
AE
0
2
2〜0
1
1
0
2
2
0
0
0
（12分）
11
得特征向量（011）T取p3（0,
于是有正交矩阵T（P1P2P3）和正交变换xTy使
f
2y12
2
5y2
2
y3
（15分）
1
1
0
1
34.解
二次型矩阵为A1
1
1
0
由
0
1
1
1
1
0
1
1
11
0
1
11
1
0
2
AE
（
1）（
3）
（1）（3分）
01
1
1
10
1
1
得A的特征值为
1
1233
41
当1
1时可得单位特征向量
P1
（丄
1
1
-）
t（6分）
2
2
2
2
当2
3时可得单位特征向量
P2
（丄,
1
1
J
!
）T
（9分）
2
2
2
2
当341时可得线性无关的单位特征向量
P3
（12,0,
0）T
P4
（0,
（12分）
于是有正交矩阵
T（p1P2P3P4）和正交变换xTy使
-2222
fy13y2y3y4（15分）
35.解：
将所给矩阵记为A由
第69页共70页
2
2
0
AE
2
1
2
（1
）（4）
（2）
0
2
得矩阵A的特征值为
12
2
134（3分）
对于i2
解方程（A2E）x0即
4
2
0
x
0
2
3
2
X2
0
0
2
2
X3
0
得特征向量（1
22）
T
单位化得P1
（1,
2
亠J
2
）T
（6分）
3
3
3
对于21,
解方程（AE）
x
0即
1
2
0
x
0
2
0
2
X2
0
0
2
1
x3
0
T
2
1
2
T
得特征向量（2
12）单位化得P2
（3
3
7
3
）（9分）
对于34,
解方程（A4E）x
0即
2
2
0
x
0
2
3
2
x2
0
0
2
4
x3
0
T
2
2
1
T
得特征向量（2
21）单位化得P3
（-
J
）（12分）
3
3
3’
1
于是有正交阵P（pip2p3）使PAPdiag（214）（15分）
五、计算题5
（略）……
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