线性代数经济数学2习题集含答案.docx

1、线性代数经济数学2习题集含答案线性代数（经济数学2）课程习题集【说明】：本课程线性代数（经济数学2）（编号为01007）共有计算题1,计 算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有计 算题5等试题类型未进入。、计算题11.设三阶行列式为D求余子式M1,Mb，Mb及代数余子式A1，A12，A3.2.3.1 1114 375D416 9491564 27343125求解下列线性方程组：2n 1X1a1X2a1X3a1 Xn2n 1X1a2X282X3a21 Xn2n 1X1anX2anX3an Xn其中 ai aj (ij,i, j1,2,n)用范德蒙行列式计算4阶行列

2、式111X2X34.问 取何值时齐次线性方程组X1X1X22 X?X30有非零解?X3(1 )为 2x2 4x3 05.问取何值时齐次线性方程组2x1 (3 )x? x3 0有非零解?% x2 (1)X3 0的值。的值。、计算题26.计算D24 167.计算行列式D1991199219939.计算行列式1994199519961997199819991110的值。12442X12. A为任一方阵，证明 AAt， AAt均为对称阵。13.设矩阵12 012 3A B 0 1 121230 1A的伴随矩阵A可逆，并求(A*)求(ab)t 和 bt at15. 用初等变换法解矩阵方程 AX=B 其中

3、11111A022B111102116. 设矩阵32005300A00340012求A 111117. 求 A 121 的逆。11318.设n阶方阵A可逆，试证明19. 求矩阵52002100A00120011的逆。1220. 求矩阵 3 412 的逆。三、计算题 321. 设矩阵1 1 2 2 10 2 1 5 1 A20 3 1 31 1 0 4 1求矩阵A的秩R(A)。22.求向量组1, 2, 3 ,4 的秩。其中，1 (1,0, 1) ， 2 ( 2,3,1)， 3 (2,1, 1)，4(3,2, 4) 。23.设向量组1 ， 2 ，3 可由向量组1 ， 2 ， 3 线性表示。1123

4、21233123试将向量 1 ，2 ， 3 由1 ， 2 ， 3线性表示。24. 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？TTTa1 (a 1 1) a2 (1 a 1) a 3 (1 1 a)25. 求下列向量组的秩 , 并求一个最大无关组a1 (1 2 1 4) T a2 (9 100 10 4) T a 3 ( 2 4 2 8) T。四、计算题 426. 求线性方和组的解2x2 x3 227. 求解下列线性方程组28. 当 a、b 为何值时，线性方程组x2 2x3 2x4 6x5 b有解，当其有解时，求出其全部解。x1 2x2 5x3 2x4 029. 求解齐次线性方程组 2x1 x2 3

5、x3 5x4 05x1 7x2 x4 030. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系5x1 3x2 2x3 2x4 331. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵f (x1, x2, x3) 2x12 x22 4x1x2 4x2x332. 设矩阵101A 0 1 1112求 A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵 P。2 2 333. 求一个正交变换将二次型 f 2x12 3x22 3x33 4x2x3 化成标准形。 222234. 求一个正交变换将二次型 f x1 x2 x3 x4 2x1x2 2x1x4 2x2x3 2x3x4 化成标准形。第 5 页 共 7

6、0 页22035.试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵 212化为对角阵。020五、计算题5（略）答案、计算题11.解:1 1Aii ( 1) M11 4 , (3 分)1 3M 13A13 ( 1) M 13 5 , ( 8 分)2.解： 对照范德蒙行列式，此处a1=4, a2=3, a3=7, a4=-5 （3 分）所以有D4佝 aj） （5分）4 i j1 J(a2aj(a3 aj(a4 aj(a3a?) a?) a?)(34)(7 4)( 5 4)(7 3)(5 3)( 5 7)=10368（8分）3.解：写出系数行列式 D2 n 1a a a2 n 1（3 分）a? a? a?2 n

7、 1an an anD为n阶范德蒙行列式，据题设 a aj(i j)D （a aj） 0 （5 分）1 i j n由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知D1 D, D2 0,., Dn 0X1 1,X2Xn 0（8 分）4.解系数行列式为D 11令D 0得0或于是当 0或1 11 ( 4 分)2 11 ( 6 分)1时该齐次线性方程组有非零解（8 分）5.解系数行列式为124134D231211111101（4分）(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3+ )(1 ) 3 2(1 )2 3 (6 分)令D 0得0 2或 3于是当 0 2或 3时 该齐次线性方程组有非零解（8 分）、计算

8、题26.解：4分）8 分）7. 解2 分）6 分）=-60 （10 分）8. 解：（10 分）199119921993有1994199519961997199819999.解：对于行列式，使用性质进行计算。（第 3 列减第 2 列）（ 3 分）199119921199419951199719981（第 2 列减第 1 列）（ 6 分）1991 1 11994 1 1 （由于2, 3列对应相等）（8分）1997 1 14124412104110.解1202C2 C312021210520C4 7C3103214103011700104110C2 C39910122C1 I0020（10 分）10

9、314C317仃1411.解将上述等式看成A 2XB（2 分）由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律,得=0 （10 分）10214A B 2X（1）4 3 （ 5 分）1 X2（A B） （4 分）1211=23114 31 11 6 2 23 （6 分）3（8 分）3 1 1（10 分）2 0 24 分）8 分）13. 解 AB2分）8 分）14. 解3 分）6 分）10 分）15. 解1 分）3 分）7 分） X=A-1B（10 分）16.解：A1 （ 2 分）A1（4分）（6分）A2 1（8 分）于是_ 135典1AiAA2 100200300012（10 分）0132217. 解:7 分）

10、18.证：因为A可逆，所以|A|工0,（ 1 分）于是有A*=|A|A-1 （ 3分）对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（ 2）（注意|A|是一个数）得|A*|=|A|A -1| =|A| n|A-1| （ 5 分）又因|A-1|工0 （VA可逆，由定义知A可逆）|A*| 丰 0所以A*是可逆的. （6分）因为可知10 分）19. 解：令 A1522 1 ,A22 分）于是 AA1 00 A21A1 0 10 A2用伴随矩阵极易写出 A1 1,A2 1A111 22 5（6分）12A2 11 1 233 （8 分）3 1 11133（10 分）1 220.解 A 3 45 412| A|

11、2 0故A存在 （2分）因为1AnA21A31420A*A12A22A321361 （6 分）A3A23A3332142210所以A 11A*1331（10 分）|A|221671、计算题321. 解： 对 A 作初等行变换，将它化为阶梯形，有2 分）4 分）（8 分） 最后阶梯形矩阵的秩为 3，所以 R（A）=3 （12 分）的矩阵 A（2 分）这是一个 下三角形 矩阵12 分）来。6 分）（10 分）所以1 11221 12 221 12 1 223（12 分）24.解以所给向量为列向量的矩阵记为 A （2分）由a 1 1|A| 1 a 1 a（a 1）（a 1） （8 分）1 1 a19

12、219219221004 r0820 r010（a1 , a2 , a3）（7 分）110201900004480320000知 当a 1、0、1时R（A） 3此时向量组线性相关 （12分）25.解由知R（a1 a2 as） 2因为向量 个最大无关组 （12分）a1与a2的分量不成比例故a1 a2线性无关所以a1 a2是四、计算题4第36页共70页26. 解：3 分）6 分）方程有解视 x 3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一） （15 分）27. 解：3分）到此，r（A） r（A） 3 n 5 ,导出组基础解系含 5 2=3个基础解向量.导出组有2个自由未知量由最后的矩阵看取 x2

13、, x3为自由未知量.（8分）写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以表示）得:x-i 3 2k1 k2X2 0 ki第40页共70页x4 1x5 2（12 分）x1321x2010即x30k1 0k2 1 （ 15 分）x4100x520028. 解：3分）10 分）29.解1252A 2135（第1行乘-2 , -5分别加到第2,3行）（1分）570112520371（第2行乘-6加到第3行）（2分）01725912520371（第2行与第3行交换）（3分）0117151252011715（第2行乘3加到第3 行）（4分）037112521（第3行乘 ）（5分）011

14、715440044441252011715（第3行乘17加到第2行）（6分）0011第47页共70页1 2 5 20 1 0 2 （第 2 行乘 -2 加到第 1 行）（ 7 分） 0 0 1 11 0 5 20 1 0 2 （第 3 行乘 5 加到第 1 行）（8 分） 0 0 1 110030 1 0 2 （9分）0011因为 R（A） 3， n r 4 3 1，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应 含有一个解向量 （10 分）与原方程同解的方程组有30. 解 对增广矩阵进行初等行变换B213 （3 分）与所给方程组同解的方程为x1x3x2x3136 分）x4当 x3 0 时 得所

15、给方程组的一个解 与对应的齐次方程组同解的方程为13 0 2）9 分）x1x3x2x4x3012 分）当 x3 1 时 得对应的齐次方程组的基础解系1 0） T （15 分）31. 解2 分）4 分）（8 分） 对应的特征向量10 分）标准化12 分）正交变换阵为CTAC15 分）32. 解（1）第 57 页 共 70 页2 分） A的特征值是得 A 的正交相似的对角阵4 分）6 分）得基础解系8 分）得基础解系得基础解系10 分）特征值其标准化，得的特征向量，它们必正交将第 66 页 共 70 页（12 分）(14 分)(5)有11111113品73 101丽726i1111P AP =石0

16、 01172v6i12 1121c2V660V600o01o（15 分）00320 033.解二次型的矩阵为A03 2由02 3200A E032(2 )(5)(1)02 3得A的特征值为1 2 253 1（3分）当i 2时，解方程（A2E）x 0由0 000 1 2A 2E0 120 0 10 210 0 0第68页共70页得特征向量(1 0 0) T取pi (1 0 0) T (6 分)当2 5时解方程(A 5E)x 0由30 0 1 00 2 2 0 0 03 1时解方程（A日x 0由100100A E022011022000( 12 分)1 1得特征向量（0 1 1） T取p3 （0,

17、于是有正交矩阵 T （ P1 P2 P3）和正交变换x Ty使f2y1225y22y3（15 分）110134.解二次型矩阵为A 1110由011110111 1011 1102A E(1)(3)( 1) ( 3 分)0 1111 011得A的特征值为11 2 3 34 1当11时可得单位特征向量P1（丄11-)t （ 6 分）2222当23时 可得单位特征向量P2(丄,11J!)T（9分）2222当3 41时可得线性无关的单位特征向量P3(12, 0,0)TP4(0,(12 分)于是有正交矩阵T ( p 1 P2 P3 P4)和正交变换x Ty使- 2 2 2 2f y1 3y2 y3 y4

18、 ( 15 分)35.解：将所给矩阵记为 A由第69页共70页220A E212(1)(4)( 2)02得矩阵A的特征值为1 221 3 4 ( 3 分)对于i 2解方程（A 2E）x 0即420x0232X20022X30得特征向量（12 2)T单位化得P1(1,2亠 J2)T（6分）333对于2 1,解方程（A E）x0即120x0202X20021x30T212T得特征向量（21 2） 单位化得P2(3373）（9 分）对于3 4,解方程（A 4E）x0即220x0232x20024x30T221T得特征向量（22 1） 单位化得P3(-J）（12 分）3331于是有正交阵 P(pi p2 p3)使 PAPdiag( 2 1 4) (15 分)五、计算题5（略）