南开大学级概率论与数理统计模拟试题A答案.docx

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南开大学级概率论与数理统计模拟试题A答案

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20XX级概率论与数理统计模拟试题A答案

一、填空题

1设A、B是两个随机事件，pApABpA|BpA|B1则pAB____

1答案是:

分析由于P（A）=P（AB）+P（AB）=P（AB）=因此P（AB）=可见P（B）与P（B）均大于零对于B有

P（AB）+P（AB）=1○1

于是P（AB）=P（AB）因此A与B相互独立

P（B）=

P（AB）

=P（A）

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=

注:

能够考虑到条件概率的性质

P（AB）+P（AB）=1（P（B）>0）

从而结合题设条件P（AB）+P（AB）=1导出等式

P（AB）=P（AB）○2

这是解题的首要一步能从式中○2导出P（AB）=P（A）P（B）即A与B独立需要用到条件概率的概念无论是式○1还是式○2的成立应首先考虑它们对于事件AB关系的影响即式○1或式○2的成立都可证明A与B是相互独立的

2每天某种商品的销售量（件）服从参数为的泊松分布，随机选取4天，其中恰有一天的销售量为5件的概率是________

分析：

本题涉及两个离散型随机变量的常见分布：

二项分布和泊松分布解：

C1（1

5

3

5!

e）

5

设X为某商品每天的销售量，则X~（），于是p=P（X=5）=

5!

e

设Y为销售量为5件的天数，则Y~B（4p），从而得所求的概率P（Y=1）=P

（1）=C1

44

p1（1p）41

5

=C1（1

5

3

5!

e）

211

3设相互独立的两个随机变量X，Y具有相同的分布，且X~，则

Z=（X2，Y2）~________

分析：

本题参考两个离散型随机变量的函数的极值分布，一般的方法是先求出随

机变量函数的分布，再求函数的极值的分布

41

解：

2方法1：

由X，Y独立同服从分布律可推出X，Y也独立且

4同服从分布律，于是得的联合分布律为

Y2\X2

14

1

4

41

由此得Z=（X2，Y2）~

方法2：

X的可能取值为-1，1，2，则X2的可能取值为1，4由于X，Y独立

41

同分布，故X2，Y2也独立同分布，分布律为，

从而Z=（X2，Y2）的可能取值为1，4，且

P（Z=1）=P（X2=1Y2=1）=P（X2=1）P（Y2=1）==，P（Z=4）=P（X2=4Y2=1）+P（X2=1Y2=4）

=P（X2=4）P（Y2=1）+P（X2=1）P（Y2=4）+P（X2=4）P（Y2=4）=++=

4已知随机变量X1与X2相互独立其分布函数分别为0x00x011x

F1x0x1F2x0x1

421x11x1则X1X2分布函数F3x

0x01x0x18

4答案是：

F3（x）

23x1x281x2

1

分析由于F~N，Z=X–Y，则

2

=________

分析本题主要涉及协方差的性质以及协方差与方差=、相关系数三者之间的关系

1

解由XY）N（14;14;）可得

2

122

（XZ）（XX-Y）（XX）DX（XY）422（XY）DXDYxy44

6设随机变量

1

1

21

且协方差（XY）则X与Y的联合分布为_

8

6答案是:

X

01Y

0

10

0X1

410，Y1342

pi

1

434

pj

分析由题设易知

141412

1212

EY又XY

故

1

2

1

由于XY仅取0与1两个值，所以1PXY1PX1Y1，再根据

2

联合分布与边缘分布关系即可求出X与Y的联合分布注：

本题主要考察联合分布于边缘分布的关系我们知道，由联合分布可以求出边缘分布，反之不然但是在给出边缘分布的条件下，如果再附加些条件，如相互独立、相互系数值，或者某些概率值，则可求出联合分布

7设k个正态总体N（i2）（i1k）相互独立，从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1Xi2并且各样本之间相互独立，设1

Xi

ni

k

ni

i1j1

X

j1

ni

ij

（i1k）nni

i1

n

则W（Xi）2/2的分布

[分析]

因为W是随机变量的平方和，是2分布的模式，利用2分布的性质来讨论

[解]

因为

Vi

2

1

2

k

（X

j1ni

ni

ij

Xi）22（ni1）i1k

且V12，V22，Vk2相互独立，由2分布的性质知W（Xi）2/2

i1j1k

Vi（（ni1））

2

i1

i1

k

2（nk）即W服从参数为nk的2分布

二、选择题

1设ABC为随机事件若P（C）＞0且P（A∪B|C）=P（A|C）+P（B|C）

则下列结论正确的是（）

（A）P（A∪BC）=P（AC）+P（BC）（B）P（A∪B）=P（A|C）+P（B|C）

（C）P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）（D）P（C（A∪B））+P（AC）+P（BC）

分析本题考查条件概率的定义和性质的理解若令事件A=B则题中条件与结论都可以简化便于选择解选D

由题设可有P（A∪BC）=P（AC）+P（BC）-P（）=P（AC）+P（BC）

P（）=

P（）

P（C）

P（）=0从而

P（C（A∪B））=P（AC）+P（BC）-P（）

=P（AC）+P（BC）所以选D

2一正立方体容器盛有34的液体，假设在其四个侧面和底面随机部位出现了一个小孔，液体经此小孔流出，最后剩余液体液面的高度X是一随机变量，则其分布函数F（x）（）A是连续型的B至少有两个间断点C是离散型的D恰好有一个间断点

分析应该选考虑事件{X=0}和{X=34}其中事件{X=0}表示小孔出现在底面，而{X=34}表示小孔出现在容器上部14的侧面上，因此

41

P{X=0}=P{X}

从而随机变量X的分布函数至少有两个间断点，于是，是正确选项此外，易见X既不是离散型的也不是连续型随机变量，因为不但F（x）有间断点，且在区间上的任意数都是X的可能值，于是其余三个选项都不正确

说明：

不难写出随机变量X的分布函数F（x）不妨假设正立方体容器的边长为1引进事件：

A={X=0}，即事件A表示“小孔出现在容器的下底面”由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见P（A）=15从而，1

5

对于任意x<0显然F（x）=0;而F（0）=15，由于小孔出现的部位是随机性的，可见P{X=0}=P（A）=对于任意x（0）有

14x14x

F（x）P{X0}+P{0

该式中，4x表示容器的四个侧面x以下的总面积，而容器4个侧面和1个底面的总面积等于5

对于任意x显然F（x）=1于是，最后得0x<0

1+4x

F（x）=0x

51x由此可见x=0x=是F（x）的两个间断点

该题是由XX年全国硕士研究生入学统一考试“数学四”的一道计

题改编的，原题是“假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=18P{X=1}=14;在{-1

①X的分布函数F（x）=P{Xx};②X取负值的概率”

3设随机变量X和Y在圆x2y21上均匀分布则（在区间[11]上均匀分布和Y不相关在区间[11]上均匀分布和Y相互独立

）

答案：

选B

4假设随机变量X在区间[11]上均匀分布，则U和V的相关系数等于A1

分析

应该选（A）由于U和V有明显的线性关系：

2

可见U和V相关系数的绝对值等于1因为和增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定1说明

解该题应靠直观判断选出正确选项，而要尽量回避计算当然，通过直接计算U和V的相关系数可以得同样结果事实上，（UV）（）（）

2

（）D（

）

2

（UV）1

5设X1X2Xnn2是来自标准正态总体N的简单随机样本，X是样本均值，S2是样本方差，则A．nX服从标准正态分布NB．nS2服从自由度为n的x2分布C．

，

n1X

S

服从自由度为n-1的t分布

n1X12

D．

X

i2

n

服从自由度为的F分布

21

分析应该选该题宜用直选法，因为选项显然成立，亦可用排除法，但是后者运算量较大

直选法由服从F分布的随机变量的典型模式知，随机变量F服从自由度为（f1f2）的F分布，如果它可以表示为

x12/f1

F2

x2f2

2

其中随机变量x12和x2相互独立，都服从x2分布，自幅度分别为f1和f2由于

X1X2Xn独立同服从标准正态分布，故服从x2分布随机变量的典型模式知，随机变量

xx和xX12

21

22

22

i2

n

都服从x2分布，自由度分别为f11和f2n1，并且相互独立因此

n1X12

X

i2

n

21

x12/f12Fx2/f2

服从自由度为的F分布于是，是正确选项

排除法对于选项，易见X~N0nnX~N0n，因此选项错误；对于选项中标准正态分布的样本方差S2，熟知

n1S2n1S2

2

服从自由度为n-1的x2分布，因而选项错误，对于选项，由服从t分

布的随机变量的典型模式短，随机变量

X

SS/n

服从自由度为n-1的t分布，从而选项错误于是，只有是正确选项

6设总体X～N，其中数学期望0；已知X1X2Xn是来自Ｘ的简单随机样本X是样本均值统计量1n

DXiX

ki1

是总体标准差的无偏估计量则k=（

）D

n（n1）

B

2n（n1）

C

n

分析应该选这是一道计算性单项选择题为确定正确答案，只需计算统计量

D的数学期望设

YX

i

j

i

X（i12n）则

1n

YiXinXj1

n11n111

ji1

X

n

j

E（XiX）0

2y

D（XiX）

2

i1

n

2

i

2

j

2

j

（n1）D11DX（n1）n1n1nnn

j1

j11

2

2

2

2

2

2

由此可见Yi（i12n）服从正太分布Ｎ（0y）其中

2

E

2

y

n1

n

2

2

此外有

XiX

2

12

y

y

ye22

2

2

22

y2yy222

yy0e220e2yd2

y2y

2

2yy22（n1）2

e2y0y

n212n（n1）

k因此如果k

2n（n1）

则统计量D是总体标准差的无偏估计量于是（B）是正确选项

7关于泊松随机质点流的强度每分钟出现的随机质点的期望数有两个必居其一的假设，H0:

和H1:

1；以10表示10分钟出现的随机质点数设检验规则为：

当107时否定H0接受H1以和分别表示检验的第一类错误概率和第二类错误概率，则A

8

ek!

k8

k

B

8

55

ek!

k8

k

Ce

k0k!

10k10

De

k0k!

分析：

应该选B10服从参数为10的泊松分布，则5k

P107e

k8k!

P1011

1010

ek0k!

7k

由此可见，B是正确选项，C和D以及A都是错误选项

三、计算题

1、在某通信渠道中传送的字符为，，三者之一假定传送这三组字符的概率分别为，由于通道噪声的干扰，每个字母被正确接收的概率为，而被错接收为其他两个字母的概率均为假定前后字母是否被歪曲互不影响若接收到的字母为，求被传送的字符为的概率

分析本题考查全概率公式和贝叶斯公式的应用前一公式用于求复杂事件的概率后一公式用于求条件概率

解设事件A为接收到字母，事件Bi（i123）分别为

传送字符于是B1B2B3，且PB1PAB1;PB2PAB2;PB3PAB3;由全概率公式可得

PAPBiP;

i13

由贝叶斯公式可得所求条件概率PAB2

PB2PAB2PA

点评本题虽然得分率较高，但还会出现一些不应有的错误例如，误认为传送

1

每种字符时等概率的：

PBi这是由于读题不仔细造成的失误又如

3

2

，PAB1，PAB2，PAB3，错误接收字母的概率为何还要相加？

若每个字母正确接收和错误接收的概率都是，按上述方法计算将出现概率大于1的严重错误：

PAB1这里假设字符有6个字母组成，仅一个被正确接收

Ae（2x3y）x0y02设（XY）的联合密度函数p（xy）

0其他

试求

1常数A;X的边缘密度；p{xy2}（4）条件密度p（xy）;（5）p{X2Y1}30解

（1）因为

1=

+

-

+

-

p（xy）Ae2e3

0

0

A

6

所以A6

（2）px（x）

p（xy）dy6e（2x3y）dy6e2xe32e2x（x0）

0

0

20

（3）PXY26

2x

0

22x

e（2x3y）dx6e3ye2xe3dx

00

21

6e2x（1e3x6）dx13e42e6

03

（4）因为

py（y）6e（2x3y）dx6e3ye23e3y（y0）

0

0

所以当y0时

6e（2x3y）2x

2ex0x0p（xy）

p（xy）3e3y

py（y）0x0

0x0

（5）因为px<2y>1

px2y1

而

py1

px<2y<1

2

0

6e

1

（2x3y）

6e3（1e4）（1e3）

0

0

2

2x

1

px2y13e31e3

所以

（1e4）（1e3）4

px<2y<11e3

1e

3设随即变量X，Y的联合密度函数1

xy2x2y2，

fxy2

其他0

求：

ZXY的分布密度函数

分析本题考查两个连续型随机变量之和的分布密度的计算，一般有两种方法求解：

分布函数法和公式法

解方法1分布函数法FzPZzPXYz

XYz

fxy

当z<2时Fz0;当z4时Fz1;当2z<4时由左图可得

2z-x11

Fzdxdydxdy

02-x2z-22-x21zz2

（z-2）dx2z

0

4

1z4

z2

2

y

2

y=z-x

y=2-x

o

z-22

x

P93

故Z的分布密度函数

1

2z（2z4）

f（z）F2（其他）0

方法2公式法

f（z）f（xzx）dx

xzx2

考虑被积函数取非零值的区域x2解得0

zx2

Z轴上的分界点为2和4

当z2或z4时不等式组无解f（z）=0

11dx2zx

所以Z=X+Y的分布密度函数

当2z4时f（z）

2

1

2z（2z4）

f（z）F2

（其他）0

点评显见方法2优于方法1本题得分率不高尤其是用方法1求解时错误百出

主要是不会划定正确的积分范围以及分限定错

4．设随机变量X服从指数分布，=5，求随机变量Y={X，2}的分布函数

由X~E，=函数定义来计算即可

1

知

1

，Y={X2}不单调，因此用分布5

解当X<2时Y=X<2当X2时Y=2由于

11

X~E（）5

5

x5

P{Xx}1e

0

x0

x0

因此，随机变量Y的取值一定大于0且不大于2，即P0Y21从而当y0时

FY（y）P{Yy}P{Xy}0当y>2时

FY（y）P{Yy}P{Y2}1当0y2时

FY（y）P{Yy}P{Xy}1e故Y的分布函数为

y00

y

FYy1e50y2

1y2

y5

5设随机变量（XY）在区域xy0x20y1服从均匀分布令0（XY）0（X2Y）UV

1（XY）1（X2Y）

求：

（1）（UV）的联合分布律；

（2）UV的相关系数UV

分析：

本题是关于离散型随机变量和连续型随机变量的综合题题设离散型随随机变量U，V是连续型随机变量X，Y的函数，求的联合分布律时，需将有关U，V的事件等价地转化为X，Y的事件，从而求出U，V的联合概率

解：

由题设可知的联合密度函数

1

0

二维随机因变量可能取，，四对值，取这些值的概率分别是

P（U0V0）P（XYX2Y）P（XY）

f（xy）dxdy

0x24xyP（U0V1）P（XYX2Y）P（）0P（U1V0）P（XYX2Y）P（YX2Y）12y11

f（xy）dydx

0x24yx2yP（U1V1）P（XYX2Y）P（X2Y）

所以

（00）（01）（10）（11）

（UV）~0

2

x

20

x2y

f（xy）dx

0

11dy22

由题求得的联合分布律易得如下分布律：

0

14

Vp

112

则有E（U）=

E（V）E（UV）

D（U）D（V）

（UV）E（UV）E（U）E（V）

（UV）38所以

UV3D（U）D（V）31

点评：

本题得分率不高由于题有难度，正确求出联合分布律的不多，而题的计算依赖于题的结果，故题的得分率就更低了题的主要难点：

①如何计算P（X

②相应的二重积分f（xy）的积分限如何确定这两个难点都可以通过作图帮助解决，如图所示

y=x

y=x

2

o

12

6．设总体X的密度函数为

32

x0x

fx;3

0其他

0为未知参数，X1X2Xn为来自总体X的样本YnX1X2Xn

证明：

33n1X和Yn都是的无偏估计量；43n

比较这两个估计量，哪一个更有效？

要比较两个估计量看哪一个更有效，只要算出它们的方差，方差越小，越有效

证⑴因为

EXxfxdxx

0

32

43

3

于是

44

EXEX

33

又总体的分布函数为

0x0

3x

Fx30x

1x

因此，Yn的密度函数为

x3nnx3n12

3xn0x3fnx3n

0其他

于是

EYn

因此

xdxx

0

3nx3n1

3n

dx

3n

3n1

3n13n3n13n1

EYnEYn

3n3n3n13n

故

43n1

X与Yn均是的无偏估计量33n

2

由于方差越小，估计量越有效因而只需要算出这两个估计量的方差即可又

0

x

2

3x2

3

3

dx2

5

2

3332

DX2EX22

4

则

416

DXDXDXn29nn

又

EY

2n

0

x

2

3nx3n1

DYn2EYn

3n

dx

2

3n

2

3n2

3n3n23n23n1

23n

3n23n12

则

2

23n13n1DYnDYn2

3n3n29n3n

2

因此

3n14

DYnDX3n3

也就是

3n14

Yn比X有效3n3