命题定理证明备课素材.docx

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命题定理证明备课素材

5.3.2　命题、定理、证明

情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣

置疑导入　以下6个句子，有什么不同，你能对它们进行分类吗？

如果你能分类，分类的依据是什么？

（1）熊猫没有翅膀；

（2）对顶角相等；（3）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）你喜欢数学吗？

（5）作线段AB＝CD；（6）清新的空气；（7）不许讲话．

指出像这样判断一件事情的语句，叫做命题．

[说明与建议]说明：

将不同类型的句子放在一起，通过学生的分类、比较，理解命题与非命题的区别．建议：

学生分类的标准可能不同，只要自己能讲出道理即可，不必强求统一，而后教师引导．

复习导入　由学生叙述平行线的判定方法及平行线的性质、等式的性质、对顶角的性质，指出像这样判断一件事情的语句，叫做命题．

[说明与建议]说明：

既复习了已学知识，又让学生认识了命题的多种表现形式，从而使学生明白命题我们都学过，只是没有从概念上加以澄清，从而消除学生对新知识的恐惧感，增加亲切感．建议：

选择的复习内容既能体现命题的不同表现形式，又能让学生认识命题的叙述形式的多样性．

[命题角度1]命题的判断与识别

看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明确的判断，是不是一个完整的句子．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，它就不是命题．这里强调了“判断”这个条件，也就是说命题是带有肯定或否定语气、完整的陈述语句，其他形式的句子，如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．

例　判断下列语句是不是命题．

（1）延长线段AB；（）

（2）两条直线相交，只有一个交点；（）

（3）画线段AB的中点；（）

（4）若|x|＝2，则x＝2；（）

（5）角平分线是一条射线．（）

[解析]

（1）延长线段AB只是文字叙述，没有作出判断，不是命题；

（2）两条直线相交，得到只有一个交点的判断，是命题；（3）画线段AB的中点，也只是文字叙述，没有判断，不是命题；（4）若|x|＝2，则x＝2，得到了一个判断，虽然此判断是错误的，但此判断仍是命题；（5）角平分线是一条射线得到了一个判断，是一个命题．

[答案：

（1）不是　

（2）是　（3不是　（4）是　（5）是]

　　[命题角度2]确定命题的题设和结论

确定一个命题的题设和结论时，若命题是“如果……那么……”的形式，则“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．如果命题不具有“如果……，那么……”的形式，那么先将命题改写成“如果……那么……”的形式，再来确定命题的题设和结论．改写要求：

（1）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；

（2）改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部分．

例　分别指出下列各命题的题设和结论．

（1）两点确定一条直线；

（2）等角的补角相等．

解：

（1）改写成“如果过两点作直线，那么能够作而且只能作一条直线．”

条件是过两点作直线；结论是能够作而且只能作一条直线．

（2）改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等．”

条件是两个角相等；结论是它们的补角也相等．

[命题角度3]确定命题的真假

要判断一个命题是真命题，需要利用学过的定义、公理、定理进行说明；判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．判断时不能认为肯定的命题就是真命题，否定的命题就是假命题．

例　下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？

（1）如果a＞0，b＞0，那么a＋b＞0；

（2）能被3整除的数，一定能被6整除．

解：

（1）是真命题．因为两个正数的和仍是正数．

（2）是假命题．能被3整除的数，不一定能被6整除，如15是能被3整除的数，但不能被6整除．

[教材习题答案]详见光盘内容

5.3.2命题、定理、证明

1.下列语句：

 ①直角都相等；②等角的补角相等吗；③画两个相等的角；④同旁内角的平

分线互相垂直.其中是命题的有（）

A.①④B.①③④C.②③④D.①③

2.下面说法错误的是（）

A.定理一定是真命题B.真命题一定是定理

C.不是真命题一定不是定理D.经过推理证明的真命题是定理

3.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．

其中是真命题的是___________（填写所有真命题的序号）.

4.（2013•佛山）命题“对顶角相等”的条件是____________________．

5.甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、物理、化学、英语，甲老师可以教物理、化学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、物理、化学；丁老师只能教化学，为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是___丙_____老师．

答案

1.A

2.B

3.①②④

4.两个角是对顶角

5.丙

费马大定理

当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程xn+yn=zn无正整数解。

这个定理，本来又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。

虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。

在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。

但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1994年成功证明。

证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。

而安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles）由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

四种命题

1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。

3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

怎样确定命题的题设和结论

判断一件事情的语句叫做命题.无论命题的叙述长短与否，它一定是由题设和结论两部分组成，并且每一个命题都一定能用“如果……那么……“的形式来叙述。

“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论".下面分四种情况举例说明.

1.用“如果……那么……”叙述的命题•

例1命题”如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”,题设是“两条直线都和第三条直线平行，结论是“这两条直线互相平行“。

这种一般形式的命题题设、结论比较明显，但要注意不要把题设理解为“如果两要直线都和第三条直线平行”，不应带上“如果”二字。

2．有的命题叙述时中间有逗号，我们一般就认为逗号前是“题设”，逗号后是“结论”。

例2命题“两直线平行，同位角相等”。

题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”。

3．几何中的命题有时叙述非常简单

例3命题“同角的余角相等”。

若机械地把“同角的余角”作为题设，“相等”作为结论就不妥当。

最后是把它先改写为“如果……，那么……”的形式：

“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，再确定题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”。

4．有的命题较复杂，题设和结论分法不惟一

例4命题“两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的平分线互相平行”,题设可以看做是“两条平行线被第三条直线所截“，结论是“一组同位角的平分线互相平行”;题设也可以看做是“两条直线被第三条直线所截,有一组同位角的平分线”,结论是"这两条平分线互相平行'

例5命题“等角的补角相等".题设可看做是“两个角分别是相等的两个角的补角”,结论是“这两个角相等”;题设也可看做是“两个角相等”,结论是“这两个角的补角也相等

课题

5.3.2　命题、定理、证明

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　掌握命题、定理的概念，并能分清命题的题设和结论，判定真命题和假命题；能根据已知条件对简单问题进行证明.

数学思考

　　通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.

问题解决

　　用类比的方法，经历自主学习、合作探究，领悟命题的有关概念.

情感态度

　　在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质，培养合作、交流的能力，从活动中体会学习的快乐.

（续表）

教学

重点

掌握命题、定理的概念，并能分清命题的组成.

教学

难点

分清命题的组成，并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.

授课

类型

新授课

课时

教具

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

以下6个句子，有什么不同？

你能对它们进行分类吗？

如果你能分类，分类的依据是什么？

（1）熊猫没有翅膀；

（2）对顶角相等；（3）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）你喜欢数学吗？

（5）作线段AB＝CD；（6）清新的空气；（7）不许讲话．

指出像这样判断一件事情的语句，叫做命题．

　　既复习了已学知识，又让学生认识了命题的多种表现形式.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

　　【探究1】命题的概念

下列句子中，哪些是命题？

①直角三角形中的两个锐角互余；

②正数都大于0；

③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补；

④太阳不是行星；

⑤对顶角相等吗？

⑥作一个角等于已知角．

分析：

①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是命题，只表示疑问，并未作出判断；⑥不是命题，只是描述了一个作图的过程，设有做出判断．

解：

①②③④是命题，⑤⑥不是命题．

师生共同总结判断命题的依据：

对事件做出了肯定或否定的判断的句子为命题，否则不是命题．

【探究2】命题的题设和结论

命题由题设和结论两部分组成，其中“题设”是已知事项，即命题中的已知条件；“结论”是由已知事项推出的事项，即结论是在已知条件的前提下可得到的结果．命题的表述形式有标准形式：

“如果……那么……”，另外还有“若……则……”等，一般地，“如果……”和“若……”是题设部分，“那么……”和“则……”是结论部分．一些命题前面的“附加部分”属题设．要准确找出一个命题的题设和结论，特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题．

　　1.通过各类型的语句探究命题的概念.

（续表）

活动

二：

实践

探究

交流

新知

　　例2　判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否是真命题．

（1）画射线AC；

（2）同位角相等吗？

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

（4）任意两个直角都相等；

（5）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；

（6）若|x|＝|y|，则x＝y.

解：

（1）

（2）不是命题；

（3）题设是两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论是这两条直线平行，是真命题；

（4）题设是两个角是直角，结论是这两个角相等，是真命题；

（5）题设是两条直线相交，结论是它们只有一个交点，