全国大学生数学建模大赛试题解法.docx

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全国大学生数学建模大赛试题解法

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

天津理工大学

参赛队员（打印并签名）：

1.张志鹏

2.刘磊磊

3.陈文广

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

黄旭剑

日期：

2011年9月12日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

城市表层土壤重金属污染分析

摘要

随着人类活动对城市环境的影响，重金属对城市表层土壤污染日益成为人们关注的问题。

本文对八种主要重金属对五个不同功能的城区的土壤污染进行了分析，使用层次分析的方法找出重金属对土壤污染程度的判定依据。

通过对重金属对土壤不同位置、不同海拨采样点数据的分析，我们给出了城区内不同区域重金属的污染程度。

通过八种重金属对每个区域影响程度的高低，分析出五个不同功能区土壤污染的主要原因。

根据重金属污染主要分为空气传播与液体传播两种不同的传播特征，相应建立两种不同的传播模型。

铅、汞等重金属主要依靠空气传播，通过数据的分析，我们得到了近正态分布的模型，而对于如铜、锌等重金属主要依靠液体传播，进一步进行数据拟合，我们做出了反比例分布模型。

关键字：

数据整合层次分析法浓度梯度正态分布扩散模型

一、问题重述与分析：

1.1问题背景

土壤是人类赖以生存的主要自然资源之一，也是人类生态环境的重要组成部分。

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

其中工业、城市污染的加剧和农用化学物质种类、数量的增加，土壤重金属污染日益严重，土壤重金属是指由于人类活动将金属加入到土壤中，致使土壤中重金属明显高于原生含量（背景值）、并造成生态环境质量恶化的现象。

如何做出城市土壤重金属空间分布，并就污染程度进行定量的分析与评价，将进一步有利于对人类活动影响下城市地质环境的演变模式进行分析与探讨。

我们就所给数据对此城区的污染程度进行评价与分析，此城区按功能可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等。

问题一：

由于这8种重金属对土壤的污染程度是不一样，建立合理的评价体系并对该城区每个功能区进行评价。

二、模型假设：

1、8种重金属在不同功能区的加权系数是一样的，即重金属的污染的程度只与其本身的机理性质有关。

2、每种重金属的浓度与背景值浓度的比值大于1.1时即可认为污染。

三、符号假设：

A：

各个指标权重的对比矩阵

λ：

对于矩阵A的自大特征根

W：

矩阵A归一化的特征向量记为权向量

CI：

判断矩阵偏离一致性指标

RI:

判断矩阵随机一致性指标

CR：

判断矩阵一致性比率

Cij:

第i个重金属在第j区的采样浓度

Bi：

第i个重金属采样背景值中的平均值

Mi:

第i个重金属的权重系数

三、模型建立：

通过土壤重金属标准含量的查询可对其中六种进行排序：

Cd>Pb>Ni>Cu>As>Zn

，而Hg与Cr并没有确切的的说明，我们可认为Hg与Cr在平常土壤的影响小于Zn，故可得出Cd>Pb>Ni>Cu>As>Zn>Hg>Cr。

运用层次分析法计算各种重金属的权重的大小，将8个判定指标分别两两因素成对比较。

【采用1—9】尺度。

{CdPbNiCuAsZnHgCr}形成对比矩阵A

A=[12356799;

1/21233455;

1/31/2122333;

1/51/31/211122;

1/61/31/211122;

1/71/41/311111;

1/91/51/31/21/2111;

1/91/51/31/21/2111]

进行求解可得：

f=[0.80750.44790.27530.14960.14620.11180.08750.0875]

λ=8.00647

W=[0.38210.21190.13030.07080.06920.05290.04140.0414]

对对比矩阵A进行一致性分析：

CI=（λ-n）/（n-1）=0.0647/7=0.0092

从而计算出比较矩阵A的一致性比率CR：

CR=CI/RI=CI/1.41=0.0066<0.1

由于CR<0.1，从而可以用其特征向量作为权向量。

Cd

Pb

Ni

Cu

As

Zn

Hg

Cr

0.3821

0.2119

0.1303

0.0708

0.0692

0.0529

0.0414

0.0414

其分布：

而后对每一区的各种重金属数据进行加权求和：

即可得出每个区的综合污染指数：

区域

生活

工业

山区

交通

绿化

综合指数

2.28

3.87

1.189

2.915

1.996

当综合评定后将处于1.1-2.0的视为轻度污染，2.0-3.0的为中度污染，3.0-4.0的视为重度污染，超过4.0的为超重污染。

四、结论：

山区与绿化区为轻度污染，交通区与生活区为中度污染，工业区为重度污染。

可进一步算出每个区中各个重金属所占的污染比重如下：

编号

As

Cd

Cr

Cu

Hg

Ni

Pb

Zn

生活

1.74

2.23

2.23

3.74

2.66

1.49

2.23

3.45

工业

2.01

3.02

1.72

9.66

18.35

1.61

3.00

4.02

山区

1.12

1.17

1.26

1.13

1.17

1.26

1.18

1.06

交通

1.59

2.77

1.87

4.71

12.77

1.43

2.05

3.52

绿化

1.74

2.16

1.41

2.29

3.29

1.24

1.96

2.24

五、对每个区分析确定各区重金属污染的主要原因：

5.1生活区：

（表一）

（表二铜的分布）

（表三

（1）生活区分布）（表三

（2）交通区分布）

生活区中的重金属污染有一部分来源于生活区本身排放的生活污水导致，而就（表一）可看出，在生活区铜与锌的污染度很大，就可能由其它区的影响，我们先分析铜，就铜污染而言，由图（表二）可以看出主要分布在生活区右下角部分，而这一部分与交通区紧密挨着，而就交通运输特别是汽车运输对土壤造成严重污染，主要以Pb、Zn、Cd、Cr、Cu等的污染为主，故生活区这一部分的铜、铅重金属污染主要是是交通运输导致的。

就锌污染而言，当然也由交通区造成，但除此之外就功能区分布图来看，生活区的一部分也与工业区与山区相连，可能在附近山区有锌矿，或者附近工业区有炼锌矿厂，从而导致该部分生活区锌金属污染。

（表四锌的分布）

（表六山区分布）

（表五工业区分布）

5.2工业区：

在工业区中污染途径主要有工业排出的重金属固体与排出的含有重金属的污水，而由此图可看出在工业区汞的污染程度远远超出范围，可见有可能受到其它的影响，而由（表五工业区分布）可

（表七城市地形图——高度分布图）

（表八汞的分布）

知工业区在（14000，8000）到（15000，10000）内有一汞的污染源，而对比地形图可看出在此范围内的地形海拨很高，而工厂是不可能建在高达250米的地方，故可知在此高山上含有作为工业矿物原料具有开采价值的辰砂、黑辰砂，此中富含汞，故此污染可能的主要原因是由于此矿的影响。

5.3山区：

（表九）

由山区重金属污染程度表可看出污染程度都为中等污染或在中等污染以下，且程度比较均匀，故山区的污染可能是由于周边地区重金属污染的扩散原因造成的。

（表六山区分布图）（表七海拨分布图）可以看出山区的海拨很高，故大部分污染是由于空气传播而造成的。

大气中的重金属主要来源于能源、运输、冶金和建筑材料生产产生的气体和粉尘。

除汞以外，重金属基本上是以气溶胶的形态进入大气，经过自然沉降和降水进人土壤。

据查资料知，煤含Ce、Cr、Pb、Hg等金属，石油中含有相当量的Hg（O.02～30mg/kg），这类燃料在燃烧时，部分悬浮颗粒和挥发金属随烟尘进入大气，其中1O%～30%沉降在距排放源十几公里的范围内。

如镍，燃烧生成的镍粉尘遇到热的一氧化碳，会生成易挥发的、剧毒的致癌物羰基镍［Ni（CO）4］石油中镍的含量为1.4～64ppm，大部分煤也含有微量镍,通过燃烧过程被释放出来,这是大气中镍的主要来源。

在冶炼镍矿石及其他含镍金属矿石（特别是冶炼钢铁）时，部分矿粉会随气流进入大气。

5.4交通区：

交通区中铜、汞、锌的污染程度相对比较大，对于交通区，前面提到汽车运输对大气和土壤造成严重污染主要以Pb、Zn、Cd、Cr、Cu等的污染为主。

它们来自于含铅汽油的燃烧和汽车轮胎磨损产生的粉尘。

而对于汞来说，其污染程度已远远超标，故其受到其它因素的污染，对比表三

（2）交通区分布图与表八汞分布图、表二铜的分布图、表四锌的分布图可以明显看到，在交通区的范围内有两个汞的污染源，一个铜的污染源与两个锌的污染源，现分析这些污染源的情况：

对于汞，先前已说明过位于（12000，8000）的汞矿，而经过分析位于（13000，3000）处也是一个高地，情况与其类似，同样可能也是一个矿区。

对于锌污染，比较表十、表三

（2）交通区分布、表五工业区可知，在（14000，9800）附近区域处于工业区与交通区的旁边，而且又与空间海拨图相较，所以可能由于工业区有矿厂的原因，由合金厂、冶金联合企业、镀锌厂、有机合成工厂和造纸厂等排放的工业废水中,含有大量锌化合物。

而且由于汽车中如橡胶轮胎的磨损或煤的燃烧产生锌污染的原因。

（表十锌空间的分布）

5.5绿化区：

在绿化区内，可看出各种重金属的污染程度相对比较均匀，对于绿化区出现重金属污染现有以下分析：

对照表三

（2）交通区分布、表五工业区分布可知，这此绿化区集中在有交通要道和工厂的地方，可知这些是部分工厂与长途车道建立的绿化带，故在此区域分布结合了交通区与工业区的特点。

六、建立确定污染源的位置模型

6.1问题提出与分析：

在有一座工厂不按照国家规定的排放量进行排放“三废”时，废物不断的排