完整版复数经典例题.docx
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完整版复数经典例题
经典例题透析
类型一：
复数的有关概念
z分别为:
（1）实数；
（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：
根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用
它们的充要条件可分别求出相应的a值.
解析:
（3）当z为纯虚数时,
a25a60
有a27a6a21
•••不存在实数a使z为纯虚数.
总结升华：
由于a€R,所以复数z的实部与虚部分为a27a6与a25a6.a21
1求解第
（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；
2求解第
（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
3求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0）,还需虚部不为0,两者缺一不可.
举一反三:
【变式1】设复数z=a+bi（a、b€R）,则z为纯虚数的必要不充分条件是（
A.a=0B.a=0且b工0C.a工0且b=0D.a工0且b^0
【答案】A;由纯虚数概念可知：
a=0且0是复数z=a+bi（a、b€
要条件•而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择
【变式2】若复数（a23a2）
（a1）i是纯虚数，则实数
a的值为
【答案】B；-
•-（a2
3a2）（a
1）i是纯虚数，•••
2
a3a2
0且a
【变式
3】如果复数
2
（mi）（1
mi）是实数，
则实数m=（
）
A.1
B
-1
C.
2
D
.
2
【答案】B；
【变式
4】求当实数
m取何值时,
复数
z（m2
m2）（m2
3m
（1）实数；
（2）
虚数；
（3）
纯虚数
【答案】
（1）当
2m
3m
2
0即m1或m
2时,
复数
z为实数；
（2）当
2m
3m
2
0即m1且m
2时,
复数
z为虚数；
（3）当
2m
m
2
0
即m
1时，复数
z为纯虚数•
2m
3m
2
:
0
类型二
:
复数的代数形式的四则运算
例2.
计算
:
（1）i
n（nN
）；
（2）
（1i
）8
（3）（1
2i）
（1
2i）;（4）
（1
4i）（1
i）
24i
3
4i
解析：
⑴•••i
2
1,••
・3
•i
・2
111
・4,i
i2i2
1,
同理可得：
当n
4k
1（k
N
）时，i4k1
・4k
i
4
i（i
）ki
i
当n
4k
2（k
N
\「・4k2
）时，i
4k
i
.2i
1,
或2D.-1
A.1B.2C.1
2）i分别是:
R）为纯虚数的充
A.
）
10，即a2.
当n
4k
3（k
N
）时:
.4，i
k3
.4k,
i1
.3.
i
当n
4k
4（k
N
）时:
，i
Ik
.4k.4
ii
4\k
（i）
i
（
n
4k
1,
k
N）
n
1
（
n
4k
2，
k
N）
.■11
--i
（
N）
（nN）
i
n
4k
3，
k
1
（
n
4k
4，
k
N）
（2）（1
i）8
[（1
i）2
!
]4
（2i）
4
24i4
16
⑶（1
2i）
（12i）
1
2i
（1
2i）（1
2i）
12
（2i）24i
34i
3
4
1
2i
（1
2i）（1
2i）
22
1（2i）
5
5
5
（4）（1
4i）（1
i）2
4i
1
4
3i2
4i
7
i（7i）（3
4i）
3
4i
34i
3
4i324
2
21
43i
28i
25
25i
1i.
2525
总结升华：
熟练运用常见结论：
1）in的“周期性”（nN）
2）（1
i）2
2i
3）（a
bi）（a
bi）
a2b
举一反三：
【变式1】
计算：
（1）（5—
6i）+（—
2—i）
—（3+4i）
（2）（1
2i）（3
4i）（2
i）
（3）ii2
i3L
.100
i
（4）（1
（1
i）3（1
i）2（1
i）3
i）2
；
【答案】
（1）（5—
6i）+（—
2—i）
—（3+4i）
=[（5—2）+（—6—1）i]—（3+4i）
=（3—7i）—（3+4i）
=（3—3）+（—7—4）i=—11i.
（2）（12i）（34i）（2i）（112i）（2i）247i
（3）ii2i3L
i100
i12L100
i5050
4、1262
（i）
i2
i2
22
（1i）（1i）（1i）（1i）
【变式2】复数
2i
2i（
2i）
4i
A.4
B.4
C.
4i
D.4i
【答案】A;2i
2
i2i1
2i
2i
2i
4i24
【变式3】复数
A.iB.-i
1
3-i
C.
3i
'3i等于（
1
【答案】A；'_
船-i
1
【变式4】复数（i-）3等于（）
i
i
1、3i
D.
、、3-i
A.8
-i（1③
B.—8
1
-i
C.8i
故选A
D.—8i
133
（i—）3（2i）3
类型三：
复数相等的充要条件
【答案】D;（i$3
i
8i38i.
思路点拨：
因x€R,y是纯虚数，所以可设y=bi（b€R且b丰0）,代入原式，由复数相
例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x—1）+（3—y）i=y—i，求x、y.
等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果
解析：
■/y是纯虚数，可设y=bi（b€R,且b丰0）,
则（2x—1）+（3—y）i=（2x—1）+（3—bi）i=（2x—1+b）+3i,
y—i=bi—i=（b—1）i
由（2x—1）+（3—y）i=y—i得（2x—1+b）+3i=（b—1）i,
由复数相等的充要条件得
2x1b0
b13
b4
3，
x
2
3
二x,y4i.
2
总结升华：
1.复数定义:
“形如zabi（a,bR）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这
形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实,
把复数问题转化为
实数问题来研究•这是解决复数问题的常用方法
2.复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di（a,b,c,d
€R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.
3.注意左式中的3—y并非是（2x—1）+（3—y）i的虚部，同样，在右边的y—i中y也并
非是实部•
举一反三:
【变式1】设x、y为实数，且—y—，则xy
1-i1-2i1-3i
xy5xy5
3i）
【答案】由得一（1i）（12i）（1
1-i1-2i1-3i2510
即5x（1+i）+2y（1+2i）=5（1+3i）,
即（5x+2y-5）+（5x+4y-15）i=0,
【答案】设z=a+bi（a,b€R），贝卩（3+z）i=-b+（3+a）i=1
由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3，即z=-3-i.
12i
【变式3】设复数z满足1Zl
i，则z
（）
z
A.2
iB.2i
C.2
iD.2
【答案】
12ii（12i）
i22
i，故选C.
i1
1
类型四：
共轭复数
例4：
求证：
复数z为实数的充要条件是zz
思路点拨：
需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念
解析：
设zabi（a，b€R，则zabi
充分性：
Qzzabia-bib-bb0zR;
必要性：
QzR,b0abia-bizz
综上，复数z为实数的充要条件为zz
举一反三:
【变式1】x,yR，复数（3x2y）5xi与复数（y2）i18的共轭复数相等，求x，y.
【答案】（y2）i1818（2y）i
18-（y-2）i（3x
2y）5xi
3x2y18
x
y
-2
12
2-y
5x
【变式2】
若复数z
同时满足z
z
2i,z
iz
（i为虚数单位），则z=
【答案】-
-1+i
【变式3】
已知复数
z=1+i，求实数
a、b使
az
2bz
（a
2z）2.
【答案】•
•'z=1+i,•
■.az2bz
（a
2b）
（a
2b）i,
a2z）2
（a2）2
44（a
2）i
（a24a）4（a2）i
2
•••a、b都是实数，.••由az2bz（a2z）得
2
a2ba4a,
a2b4（a2）.
两式相加，整理得a2+6a+8=0
解得ai=—2,a2=—4,
对应得bi=—1,b2=2.
•••所求实数为a=—2，b=—1或a=—4，b=2.
类型五：
复数的模的概念
例5、已知数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.
法一：
设z=a+bi（a,b€R）,则|z|..a2b2,代入方程得abi\a2b228i.
•aa2圧2，解得a15
b8b8
•z=—15+8i
法二：
原式可化为：
z=2—|z|+8i,
€R,「.2—|z|是z的实部.
于是|z|...（2|z|）282，即|z|2=68—4|z|+|z|2,
•••|z|=17，代入z=2-|z|+8i
得z=-15+8i.
举一反三：
类型六：
复数的几何意义
22
Z,
例6、已知复数z（m2m3）（m4m3）i（m€R）在复平面上对应的点为求实数m取什么值时，点Z
（1）在实轴上；
（2）在虚轴上；（3）在第一象限.
思路点拨：
根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.
解析：
（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，
由m-4m30m3或m1
•••当m3或m1时，点Z在实轴上.
（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0,
故m22m30m-1或m3
•••当m-1或m3时，点Z在虚轴上.
3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0
2
丄m2m30&/口亠
由，解得m<—1或m>3
2
m4m30
•••当m<—
终结升华：
1或m>3时，点Z在第一象限.
复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的
特征.
举一反三：
【变式1】在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于（）
A.第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
限，求m的取值范围.
限，求实数a的取值范围•
由题意得
•z42i
2
•••（zai）
（124a
8（a2）i,
根据已知条件有12
8（a
4a
•实数a的取值范围是
2）
0，解得2a
0
（2,6）.
【变式4】已知复数z对应的点在第一象限的角平分线上,
求复数
z-在复平面上
z
对应的点的轨迹方程•
【答案】设z=a+ai（a>0）
1111贝Uz（aai）a（a）i
zaai2a2a
1
xa
令2a，消a得x2—y2=2（x.2）.
1
ya
2a
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