高考数学总复习 26 幂函数与函数的图象变换 新人教B版.docx

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高考数学总复习26幂函数与函数的图象变换新人教B版

2013年高考数学总复习2-6幂函数与函数的图象变换新人教B版

1.（2011·烟台拟）幂函数y＝f（x）的图象经过点（27，），则f（）的值为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　B

[解析]　设f（x）＝xα，由条件知f（27）＝，

∴27α＝，∴α＝－，∴f（x）＝x，

∴f（）＝（）＝2.

2．（文）（2011·聊城模拟）若方程f（x）－2＝0在（－∞，0）内有解，则函数y＝f（x）的图象可以是（　　）

[答案]　D

[解析]　由题意知函数y＝f（x）的图象与直线y＝2在（－∞，0）内有交点，观察所给图象可知，只有D图存在交点．

（理）（2011·陕西文，6）方程|x|＝cosx在（－∞，＋∞）内（　　）

A．没有根B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根D．有无穷多个根

[答案]　C

[解析]　在同一坐标系中，画出函数y＝|x|与y＝cosx的图象，易知有两个交点，即|x|＝cosx有两个根．

3．（文）（2011·山东济南调研）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（　　）

[答案]　B

[解析]　y＝x2为偶函数，对应②；y＝定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝均为奇函数，但y＝x3比y＝增长率大，故①对应y＝x3.

（理）给出以下几个幂函数fi（x）（i＝1,2,3,4），其中f1（x）＝x，f2（x）＝x2，f3（x）＝，f4（x）＝.若gi（x）＝fi（x）＋3x（i＝1,2,3,4）．则能使函数gi（x）有两个零点的幂函数有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]　B

[解析]　函数gi（x）的零点就是方程gi（x）＝0的根，亦即方程fi（x）＋3x＝0的根，也就是函数fi（x）与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi（x）（i＝1,2,3,4）的图象，可知只有f2（x）的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi（x）有两个零点的幂函数只有f2（x），选B.

4．（文）（2011·郑州一检）若0

A．3y<3xB．logx3

C．log4x

[答案]　C

[解析]　∵0

（理）（2011·天津理，7）已知a＝b＝c＝则（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．c>a>b

[答案]　C

[解析]　a＝b＝＝c＝＝显然有log23.4>log2>log2，由对数函数、指数函数单调性，有a>c>b，故选C.

5．（文）幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“区域”是（　　）

A．⑧，③B．⑦，③

C．⑥，①D．⑤，①

[答案]　D

[解析]　y＝是增函数，∵<1，∴其图象向上凸，过点（0,0），（1,1），故经过区域①，⑤.

（理）幂函数y＝xα　（α≠0），当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1,0），B（0,1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．无法确定

[答案]　A

[解析]　由条件知，M、N，

6．（文）（2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟）已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（其中a>b）的图象如下图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象是（　　）

[答案]　A

[解析]　∵f（x）＝（x－a）（x－b）的两个零点为a和b且a>b，由图象知0

（理）（2011·360题库网全国文，12）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1,1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个B．9个

C．8个D．1个

[答案]　A

[解析]　由y＝f（x）与y＝|lgx|图象（如图）可知，选A.

7．若幂函数f（x）的图象经过点A，则它在A点处的切线方程为________．

[答案]　4x－4y＋1＝0

[解析]　设f（x）＝xα，∵f（x）图象过点A，

∴α＝，∴α＝.∴f（x）＝，

∴f′（x）＝，∴f′＝1，

故切线方程为y－＝1×，

即4x－4y＋1＝0.

8．（文）（2011·淮北模拟）已知函数f（x）＝x－1，若f（a＋1）

[答案]　（－∞，－1）∪（3,5）

[解析]　由题意，得

或或

∴a<－1或3

（理）若函数f（x）＝（a、b、c，d∈R），其图象如图所示，则a:

b:

c:

d＝________.

[答案]　1:

（－6）:

5:

（－8）

[解析]　由图象知，x≠1且x≠5，

故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5.

∴，∴，

又f（3）＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a.

故a:

b:

c:

d＝1:

（－6）:

5:

（－8）．

9．若f（x）＝在区间（－∞，1）上是减函数，则a的取值范围是________．

[答案]　a>－1

[解析]　f（x）＝＝＝a＋.

∵f（x）在（－∞，1）上为减函数，

∴a＋1>0，∴a>－1.

10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．

[解析]　如图，设左侧射线对应的解析式为：

y＝kx＋b（x≤1），将点（1,1），（0,2）代入得，解得，所以左侧射线对应的函数解析式是y＝－x＋2（x≤1）；同理，x≥3时，函数解析式为：

y＝x－2（x≥3）；再设抛物线段的解析式为y＝a（x－2）2＋2（1≤x≤3，a<0），将（1,1）代入得，a＋2＝1，∴a＝－1，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2（1≤x≤3）．

综上知，函数解析式为

y＝.

11.（文）（2011·山东济宁一模）函数f（x）＝2|log2x|的图象大致是（　　）

[答案]　C

[解析]　f（x）＝2|log2x|＝，

∴f（x）＝

（理）（2011·威海模拟）设函数y＝x3与y＝（）x－2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）

A．（0,1）B．（2,3）

C．（1,2）D．（3,4）

[答案]　C

[解析]　设f（x）＝x3－x－2，则f

（1）＝－1<0，f

（2）＝7>0，所以x0在区间（1,2）内．

12．（文）（2011·淮南模拟）函数y＝lncosx（－

[答案]　A

[解析]　由已知得0

（理）（2011·青岛模拟）现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是（　　）

[答案]　C

[解析]　根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．

13．（文）（2011·安徽省淮南市模拟）已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD（　　）

A．相交，且交点在坐标原点

B．相交，且交点在第Ⅰ象限

C．相交，且交点在第Ⅱ象限

D．相交，且交点在第Ⅳ象限

[答案]　A

[解析]　易求得两直线方程分别为AB：

y＝x、CD：

y＝x，则其交点为坐标原点．如图所示．

（理）（2011·山东淄博一模）设动直线x＝m与函数f（x）＝x3，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为（　　）

A.（1＋ln3）B.ln3

C.（1－ln3）D．ln3－1

[答案]　A

[解析]　设u（x）＝x3－lnx，则u′（x）＝3x2－.

令u′（x）＝0，得x＝.

当0

当x>时，u′（x）>0，u（x）单调递增．

所以，当x＝时，u（x）取到最小值，

此极小值即为u（x）在（0，＋∞）上的最小值．

∴|MN|＝|－ln|＝（1＋ln3）．

14．（文）已知函数f（x）＝－xm，且f（4）＝－.

（1）求m的值；

（2）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并给予证明．

[解析]　

（1）∵f（4）＝－，∴－4m＝－.

∴m＝1.

（2）f（x）＝－x在（0，＋∞）上单调递减，

证明如下：

任取0

＝（－x1）－（－x2）＝（x2－x1）（＋1）．

∵00，＋1>0.

∴f（x1）－f（x2）>0，∴f（x1）>f（x2），

即f（x）＝－x在（0，＋∞）上单调递减．

（理）（2011·山东烟台调研）设函数f（x）＝p－2lnx，g（x）＝.（p是实数，e是自然对数的底数）

（1）当p＝2e时，求f（x）＋g（x）的单调区间；

（2）若直线l与函数f（x），g（x）图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1,0），求p的值．

[解析]　

（1）当p＝2e时，

f（x）＋g（x）＝2e－2lnx＋＝2ex－2lnx，

则（f（x）＋g（x））′＝2e－.

故当x>时，f（x）＋g（x）是增函数；

当0

综上，f（x）＋g（x）的单调增区间为[，＋∞），

f（x）＋g（x）的单调减区间为（0，]．

（2）∵f′（x）＝p＋－，∴f′

（1）＝2（p－1）．

设直线l：

y＝2（p－1）（x－1），

由得（p－1）（x－1）＝，

即（p－1）x2－（p－1）x－e＝0.

当p＝1时，方程无解；

当p≠1时，∵l与g（x）图象相切，

∴Δ＝（p－1）2－4（p－1）（－e）＝0，得p＝1－4e.

综上，p＝1－4e.

15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；

（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．

问用哪种方案处理较为合理？

请说明你的理由．

[解析]　

（1）y＝50x－[12x＋×4]－98

＝－2x2＋40x－98.（x∈N*）

（2）解不等式－2x2＋40x－98>0得，

10－

∵x∈N*，∴3≤x≤17.

故从第三年起该机床开始盈利．

（3）①∵＝－2x＋40－＝40－≤40－2＝12，当且仅当2x＝，即x＝7时，等号成立．

∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元．

②y＝－2x2＋40x－98＝－2（x－10）2＋102，

当x＝10时，ymax＝102.

故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．

因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．

1．若函数y＝f