届高考数学理第一轮复习学案函数的单调性与最值.docx

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届高考数学理第一轮复习学案函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数

减函数

定义

设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

二、函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

①对于任意x∈I，都有f（x）≤M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M

①对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

[小题能否全取]

1．（2012·陕西高考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．y＝x＋1　　　　　　　　B．y＝－x3

C．y＝D．y＝x|x|

解析：

选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y＝（2k＋1）x＋b在（－∞，＋∞）上是减函数，则（　　）

A．k>B．k<

C．k>－D．k<－

解析：

选D　函数y＝（2k＋1）x＋b是减函数，

则2k＋1<0，即k<－.

3．（教材习题改编）函数f（x）＝的最大值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　∵1－x（1－x）＝x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤.

4．（教材习题改编）f（x）＝x2－2x（x∈[－2,4]）的单调增区间为________；f（x）max＝________.

解析：

函数f（x）的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f（x）max＝f（－2）＝f（4）＝8.

答案：

[1,4]　8

5．已知函数f（x）为R上的减函数，若m

（1），则实数x的取值范围是______．

解析：

由题意知f（m）>f（n）；

>1，即|x|<1，且x≠0.

故－1

答案：

>　（－1,0）∪（0,1）

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

[例1]　证明函数f（x）＝2x－在（－∞，0）上是增函数．

[自主解答]　设x1，x2是区间（－∞，0）上的任意两个自变量的值，且x1

则f（x1）＝2x1－，f（x2）＝2x2－，

f（x1）－f（x2）＝－

＝2（x1－x2）＋

＝（x1－x2）

由于x10，

因此f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）

故f（x）在（－∞，0）上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

（1）结合定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）证明；

（2）可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．

解：

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1

则g（x1）－g（x2）＝－

＝，

由于1

所以x1－x2<0，（x1－1）（x2－1）>0，

因此g（x1）－g（x2）<0，即g（x1）

故g（x）在（1，＋∞）上是增函数．

求函数的单调区间

典题导入

[例2]　（2012·长沙模拟）设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk（x）＝取函数f（x）＝2－|x|.当k＝时，函数fk（x）的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，0）　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

[自主解答]　由f（x）>，得－1

所以f（x）＝

故f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）．

[答案]　C

若本例中f（x）＝2－|x|变为f（x）＝log2|x|，其他条件不变，则fk（x）的单调增区间为________．

解析：

函数f（x）＝log2|x|，k＝时，函数fk（x）的图象如图所示，由图示可得函数fk（x）的单调递增区间为（0，]．

答案：

（0，]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

（4）导数法：

利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

2．函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是（　　）

A．[1,2]B．[－1,0]

C．[0,2]D．[2，＋∞）

解析：

选A　由于f（x）＝|x－2|x＝

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

单调性的应用

典题导入

[例3]　

（1）若f（x）为R上的增函数，则满足f（2－m）

（2）（2012·安徽高考）若函数f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞），则a＝________.

[自主解答]　

（1）∵f（x）在R上为增函数，∴2－m

∴m2＋m－2>0.∴m>1或m<－2.

（2）由f（x）＝可得函数f（x）的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.

[答案]　

（1）（－∞，－2）∪（1，＋∞）　

（2）－6

由题悟法

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：

一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．

以题试法

3．

（1）（2013·孝感调研）函数f（x）＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．

（2）已知函数f（x）＝－（a>0，x>0），若f（x）在上的值域为，则a＝__________.

解析：

（1）∵f′（x）＝－<0，∴f（x）在[2,3]上为减函数，∴f（x）min＝f（3）＝＝，f（x）max＝＝1.

（2）由反比例函数的性质知函数f（x）＝－（a>0，x>0）在上单调递增，

所以即解得a＝.

答案：

（1）　1　

（2）

1．（2012·广东高考）下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝ln（x＋2）　　　　　　B．y＝－

C．y＝xD．y＝x＋

解析：

选A　选项A的函数y＝ln（x＋2）的增区间为（－2，＋∞），所以在（0，＋∞）上一定是增函数．

2．若函数f（x）＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞）上递增，在（－∞，－2]上递减，则f

（1）＝（　　）

A．－7B．1

C．17D．25

解析：

选D　依题意，知函数图象的对称轴为x＝－＝＝－2，即m＝－16，从而f（x）＝4x2＋16x＋5，f

（1）＝4＋16＋5＝25.

3．（2013·佛山月考）若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上是（　　）

A．增函数B．减函数

C．先增后减D．先减后增

解析：

选B　∵y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上为减函数．

4．“函数f（x）在[a，b]上为单调函数”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　若函数f（x）在[a，b]上为单调递增（减）函数，则在[a，b]上一定存在最小（大）值f（a），最大（小）值f（b）．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f（x）＝x2－2x＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f（x）在[a，b]上单调”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．

5．（2012·青岛模拟）已知奇函数f（x）对任意的正实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1－x2）（f（x1）－f（x2））>0，则一定正确的是（　　）

A．f（4）>f（－6）B．f（－4）

C．f（－4）>f（－6）D．f（4）

解析：

选C　由（x1－x2）（f（x1）－f（x2））>0知f（x）在（0，＋∞）上递增，所以f（4）f（－6）．

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x<0时，f（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上有（　　）

A．最小值f（a）B．最大值f（b）

C．最小值f（b）D．最大值f

解析：

选C　∵f（x）是定义在R上的函数，且

f（x＋y）＝f（x）＋f（y），

∴f（0）＝0，令y＝－x，则有f（x）＋f（－x）＝f（0）＝0.

∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）是R上的奇函数．设x1

＝f（x1－x2）>0.

∴f（x）在R上是减函数．∴f（x）在[a，b]有最小值f（b）．

7．函数y＝－（x－3）|x|的递增区间是________．

解析：

y＝－（x－3）|x|

＝

作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.

答案：

8．（2012·台州模拟）若函数y＝|2x－1|，在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．

解析：

画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是（－∞，0]，

依题意应有m≤0.

答案：

（－∞，0]

9．若f（x）＝在区间（－2，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：

设x1>x2>－2，则f（x1）>f（x2），

而f（x1）－f（x2）＝－

＝

＝>0，则2a－1>0.

得a>.

答案：

10．求下列函数的单调区间：

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）y＝a1－2x－x2（a>0且a≠1）．

解：

（1）由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

（2）令g（x）＝1－2x－x2＝－（x＋