高考文数考点解析导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.docx

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高考文数考点解析导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

1、填空题

1.（2017·全国乙卷理科·T16）如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积（单位:

cm3）的最大值为　　　　.

【命题意图】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导方式进行解决.

【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,OD⊥BC,

OG=错误！

未找到引用源。

BC,

设OG=x,则BC=2错误！

未找到引用源。

x,DG=5-x,

三棱锥的高h=错误！

未找到引用源。

=错误！

未找到引用源。

=错误！

未找到引用源。

S△ABC=2错误！

未找到引用源。

x·3x·错误！

未找到引用源。

=3错误！

未找到引用源。

x2,

则V=错误！

未找到引用源。

S△ABC·h=错误！

未找到引用源。

x2·错误！

未找到引用源。

=错误！

未找到引用源。

·,

令f错误！

未找到引用源。

=25x4-10x5,x∈,f'错误！

未找到引用源。

=100x3-50x4,

令f'错误！

未找到引用源。

>0,即x4-2x3<0,x<2,

则f错误！

未找到引用源。

≤f错误！

未找到引用源。

=80,

则V≤错误！

未找到引用源。

×=4

所以体积最大值为4错误！

未找到引用源。

cm3.

答案:

4错误！

未找到引用源。

cm3

2.（2017·天津高考文科·T10）已知a∈R,设函数f（x）=ax-lnx的图象在点（1,f

（1））处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　.

【命题意图】考查用导数求曲线切线的方法.

【解析】f

（1）=a,切点为（1,a）,f'（x）=a-错误！

未找到引用源。

则切线的斜率为f'

（1）=a-1,切线方程为y-a=（a-1）（x-1）,令x=0得出y=1,l在y轴的截距为1.

答案:

1

2、解答题

3.（2017·全国乙卷理科·T21）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性.

（2）若f（x）有两个零点,求a的取值范围.

【命题意图】本题主要考查含有参数问题的函数单调性问题及利用函数的零点确定参数的取值范围.

【解析】

（1）由于f错误！

未找到引用源。

=ae2x+错误！

未找到引用源。

ex-x,

故f'错误！

未找到引用源。

=2ae2x+错误！

未找到引用源。

ex-1=错误！

未找到引用源。

1a≤0时,aex-1<0,2ex+1>0.从而f'错误！

未找到引用源。

<0恒成立.

f错误！

未找到引用源。

在R上单调递减.

2a>0时,令f'错误！

未找到引用源。

=0,从而aex-1=0,得x=-lna.

x

（-∞,-lna）

-lna

（-lna,+∞）

f'错误！

未找到引用源。

-

0

+

f错误！

未找到引用源。

单调减

极小值

单调增

综上,当a≤0时,f（x）在R上单调递减;

当a>0时,f（x）在（-∞,-lna）上单调递减,在（-lna,+∞）上单调递增.

（2）由

（1）知,当a≤0时,f错误！

未找到引用源。

在R上单调减,故f错误！

未找到引用源。

在R上至多一个零点,不满足条件.

当a>0时,f（x）min=f（错误！

未找到引用源。

=1-错误！

未找到引用源。

+lna.

令g错误！

未找到引用源。

=1-错误！

未找到引用源。

+lna错误！

未找到引用源。

则g'错误！

未找到引用源。

=+错误！

未找到引用源。

>0.从而g错误！

未找到引用源。

在错误！

未找到引用源。

上单调增,而g=0.故当0

未找到引用源。

<0;当a=1时g错误！

未找到引用源。

=0;当a>1时g错误！

未找到引用源。

>0.

若a>1,则f（x）min=1-错误！

未找到引用源。

+lna=g错误！

未找到引用源。

>0,故f错误！

未找到引用源。

>0恒成立,从而f错误！

未找到引用源。

无零点,不满足条件.

若a=1,则f（x）min=1-+lna=0,故f错误！

未找到引用源。

=0仅有一个实根x=-lna=0,不满足条件.

若0

未找到引用源。

+lna<0,注意到-lna>0.

f错误！

未找到引用源。

=++1->0.

故f错误！

未找到引用源。

在上有一个实根,

而又>ln=-lna.

且f

=-ln错误！

未找到引用源。

=·-ln

=-ln>0.

故f在上有一个实根.

又f在上单调减,在单调增,故f在R上至多两个实根.

又f在及上均至少有一个实数根,故f在R上恰有两个实根.

综上,a的取值范围为.

4.（2017·全国乙卷文科·T21）已知函数f（x）=ex（ex-a）-a2x.

（1）讨论f（x）的单调性.

（2）若f（x）≥0,求a的取值范围.

【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范围问题,主要考查考生解决问题的综合能力.

【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（-∞,+∞）,

f'（x）=2e2x-aex-a2=（2ex+a）（ex-a）,

①若a=0,则f（x）=e2x,在（-∞,+∞）单调递增.

②若a>0,则由f'（x）=0得x=lna.

当x∈（-∞,lna）时,f'（x）<0;当x∈（lna,+∞）时,

f'（x）>0,所以f（x）在（-∞,lna）单调递减,在（lna,+∞）单调递增.

③若a<0,则由f'（x）=0得x=ln错误！

未找到引用源。

.

当x∈错误！

未找到引用源。

时,f'（x）<0;

当x∈错误！

未找到引用源。

时,f'（x）>0,

故f（x）在单调递减,

在单调递增.

（2）①若a=0,则f（x）=e2x,所以f（x）>0.

②若a>0,则由

（1）得,当x=lna时,f（x）取得最小值,最小值为f（lna）=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即0

③若a<0,则由

（1）得,当x=ln时,f（x）取得最小值,最小值为f=a2.从而当且仅当a2≥0,即0>a≥-2时f（x）≥0.

综上,a的取值范围为.

5.（2017·全国甲卷理科·T21）（12分）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx,且f（x）≥0.

（1）求a.

（2）证明:

f（x）存在唯一的极大值点x0,且e-2

【命题意图】导数在研究函数的单调性和最值中的应用,函数的极值,意在考查学生的推理论证能力和分类讨论的思想方法.

【解析】

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,设g（x）=ax-a-lnx,

则f（x）=xg（x）,f（x）≥0等价于g（x）≥0,

因为g

（1）=0,g（x）≥0,故g'

（1）=0,而g'（x）=a-,

g'

（1）=a-1,得a=1.

若a=1,则g'（x）=1-.当01时,g'（x）>0,g（x）单调递增.所以x=1是g（x）的极小值点,故g（x）≥g

（1）=0.

综上,a=1.

（2）由

（1）知f（x）=x2-x-xlnx,f'（x）=2x-2-lnx,设h（x）=2x-2-lnx,h'（x）=2-错误！

未找到引用源。

当x∈时,h'（x）<0;当x∈时,h'（x）>0,所以h（x）在上单调递减,在上单调递增.又h（e-2）>0,h错误！

未找到引用源。

<0,h

（1）=0,所以h（x）在错误！

未找到引用源。

上有唯一零点x0,在错误！

未找到引用源。

上有唯一零点1,且当x∈（0,x0）时,h（x）>0;当x∈（x0,1）时,h（x）<0,当x∈（1,+∞）时,h（x）>0.

因为f'（x）=h（x）,所以x=x0是f（x）的唯一极大值点,

由f'（x0）=0得lnx0=2（x0-1）,故f（x0）=x0（1-x0）,由x0∈得f（x0）<错误！

未找到引用源。

因为x=x0是f（x）在（0,1）的最大值点,由e-1∈（0,1）,f'（e-1）≠0得f（x0）>f（e-1）=e-2,所以e-2

6.（2017·全国甲卷文·T21）（12分）设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）讨论f（x）的单调性.

（2）当x≥0时,f（x）≤ax+1,求a的取值范围.

【命题意图】导数的计算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力.

【解析】

（1）f'（x）=（1-2x-x2）ex,另f'（x）=0得x=-1±,当x∈（-∞,-1-）时,f'（x）<0;当x∈（-1-,-1+）时,f'（x）>0;当x∈（-1+,+∞）时,f'（x）<0;所以f（x）在（-∞,-1-）,（-1+,+∞）上单调递减;在（-1-,-1+）上单调递增.

（2）令g（x）=f（x）-ax-1=（1-x2）ex-（ax+1）,

令x=0,可得g（0）=0,

g'（x）=（1-x2-2x）ex-a,

令h（x）=（1-x2-2x）ex-a,h'（x）=-（x2+4x+1）ex,

当x≥0时,h'（x）<0,h（x）单调递减,故h（x）≤h（0）=1-a,即g'（x）≤1-a,

要使f（x）-ax-1≤0在x≥0时恒成立,需要1-a≤0,

即a≥1,此时g（x）≤g（0）=0,故a≥1,

综上所述,a的取值范围是[1,+∞）

7.（2017·天津高考理科·T20）设a∈Z,已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间（1,2）内有一个零点x0,g（x）为f（x）的导函数.

（1）求g（x）的单调区间.

（2）设m∈[1,x0）∪（x0,2],函数h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）,求证:

h（m）h（x0）<0.

（3）求证:

存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且错误！

未找到引用源。

∈[1,x0）∪（x0,2],满足错误！

未找到引用源。

≥错误！

未找到引用源。

.

【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调区间以及以函数为背景利用导数证明某些不等式,主要考查导数的综合应用.考查综合应用能力及运算能力.

【解析】

（1）由f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得

g（x）=f'（x）=8x3+9x2-6x-6,

进而可得g'（x）=24x2+18x-6.令g'（x）=0,解得x=-1,或x=错误！

未找到引用源。

.

当x变化时,g'（x）,g（x）的变化情况如下表:

x

（-∞,-1）

g'（x）

+

-

+

g（x）

↗

↘

↗

所以,g（x）的单调递增区间是（-∞,-1）,错误！

未找到引用源。

单调递减区间是错误！

未找到引用源。

.

（2）由h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）,得h（m）=g（m）（m-x0）-f（m）,

h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）.

令函数H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x）,则H'1（x）=g'（x）（x-x0）.由

（1）知,当x∈[1,2]时,g'（x）>0,故当x∈[1,x0）时,H'1（x）<0,H1（x）单调递减;当x∈（x0,2]时,H'1（x）>0,H1（x）单调递增.因此,当x∈[1,x0）∪（x0,2]时,H1（x）>H1（x0）=-f（x0）=0,可得H1（m）>0,即h（m）>0.

令函数H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x）,则H