高中函数的各种性质.docx

高中函数的各种性质.docx

《高中函数的各种性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中函数的各种性质.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中函数的各种性质

函数的基本性质

一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：

比较大小，解不等式，求最值。

定义：

（略）

定理1：

那么

上是增函数；

上是减函数.

定理2：

（导数法确定单调区间）若，那么

上是增函数；上是减函数.

1.函数单调性的判断（证明）

（1）作差法（定义法）

（2）作商法（3）导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：

（1）当和具有相同的增减性时，

①的增减性与相同，

②、、的增减性不能确定；

（2）当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：

①的增减性不能确定；

②、、为增函数，为减函数。

4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数的图象的对称性（自身）:

定理1:

函数的图象关于直对称

特殊的有：

①函数的图象关于直线对称。

②函数的图象关于轴对称（奇函数）。

③函数是偶函数关于对称。

定理2：

函数的图象关于点对称

特殊的有：

1函数的图象关于点对称。

2函数的图象关于原点对称（奇函数）。

3函数是奇函数关于点对称。

定理3：

（性质）

①若函数y=f（x）的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b（a不等于b）,那么f（x）为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f（x）的图像有一个对称中心M（m.n）和一条铅直对称轴x=a,那么f（x）为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y=f（x）图像同时关于点A（a,c）和点B（b,c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。

2.两个函数图象的对称性:

①函数与函数的图象关于直线（即轴）对称.

②函数与函数的图象关于直线对称.

特殊地:

与函数的图象关于直线对称

③函数的图象关于直线对称的解析式为

④函数的图象关于点对称的解析式为

⑤函数y=f（x）与a－x=f（a－y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

函数y=f（x）与x－a=f（y+a）的图像关于直线x－y=a成轴对称。

函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

3．奇偶函数性质

对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：

（1）满足定义式子（偶）（奇）

（2）在原点有定义的奇函数有

（3）当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数、也为奇函数；

简单地说：

奇函数±奇函数=奇函数，

偶函数±偶函数=偶函数，

奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.

②、为偶函数；

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数

（4）当和具有相异的奇偶性时，那么：

①、的奇偶性不能确定；

②、、为奇函数。

（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数

（8）图形的对称性关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数）

（9）若是偶函数，则必有

若是奇函数，则必有

（10）若为偶函数，则必有

若是奇函数，则必有

（11）常见的奇偶函数

三、函数的周期性

函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。

1.周期性的定义

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。

2.函数的周期性的主要结论：

结论1：

如果（），那么是周期函数，其中一个周期

结论2：

如果（），那么是周期函数，其中一个周期

结论3：

如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论4：

如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论5：

如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论6：

如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论7：

如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论8：

如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期

结论9：

如果或，那么是周期函数，其中一个周期

结论10：

如果或，那么是周期函数，其中一个周期

结论11：

如果，那么是周期函数，其中一个周期

例1：

定义在R上的非常数函数满足：

f（10+x）为偶函数，且f（5－x）=f（5+x）,则f（x）一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

（A）是偶函数，也是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数（D）是奇函数，但不是周期函数

解：

∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）=f（10－x）.

∴f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。

故选（A）

例6.求证:

若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。

证:

为奇函数-=

2=0即=0是方程=0的根

若是=0的根，即=0由奇数定义得=0

也是方程的根

即方程的根除=0外成对出现。

方程根为奇数个。

例2：

设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x－1）和g-1（x－2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：

∵y=f（x－1）和y=g-1（x－2）函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1（x－2）反函数是y=f（x－1），而y=g-1（x－2）的反函数是:

y=2+g（x）,∴f（x－1）=2+g（x）,∴有f（5－1）=2+g（5）=2001

故f（4）=2001,应选（C）

例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1－x）,当－1≤x≤0时，

f（x）=－x，则f（8.6）=_________（第八届希望杯高二第一试题）

解：

∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f（x）对称轴；

又∵f（1+x）=f（1－x）∴x=1也是y=f（x）对称轴。

故y=f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（－0.6）=0.3

例4.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=－f（x）,当0≤x≤1时，

f（x）=x，则f（7.5）=（）

（A）0.5（B）－0.5（C）1.5（D）－1.5

解：

∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f（x+2）=－f（x）=f（－x），即f（1+x）=f（1－x），∴直线x=1是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。

∴f（7.5）=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5故选（B）

一、反函数的性质和应用

（1）定义域值域相反

（2）图象关于对称（3）具有相同的单调性、奇偶性

（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数（5）原函数过则反函数过反之亦然

（6），，但仅当才成立

（二）奇偶函数性质

（1）满足定义式子

（2）在原点有定义的奇函数有（3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性

（三）周期性：

定义、判断

常见具有周期性的函数或

（四）对称性：

判断、性质

（1）一个函数的对称性：

1、函数关于对称或或显然：

特殊的有偶函数关于y（即x=0）轴对称，则有关系式；一般的有，函数关于直线对称

2、函数关于点对称

或显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

一般的有，函数关于点对称

3、函数自身不可能关于对称，曲线则可能

（2）两个函数的对称性：

1、与关于X轴对称。

2、与关于Y轴对称。

3、与关于直线对称。

4、与关于直线对称。

5、关于点（a,b）对称。

6、与关于直线对称。

7、关于直线对称

（四）三性的综合应用

（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且A

A.-2B.2C.-98D.98

（08四川卷）函数满足，若，则（C）

（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）

（2010安徽理数）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f

（1）=1，f

（2）=2则的值为（）A、B、1C、D、2

（09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（C）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

（09东兴十月）定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，，则_______

2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则

等于（B）

A.-1B.0C.1D.4

（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（D）A、2009B、-2009C、-2D.、2

若函数y=f（x）的图像有一个对称中心M（m.n）和一条铅直对称轴x=a,那么f（x）为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

∵函数y=f（x）图像既关于点A（a,c）成中心对称，

∴f（x）+f（2a－x）=2c，用2b－x代x得：

f（2b－x）+f[2a－（2b－x）]=2c………………（*）

又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

∴f（2b－x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c－f[2（a－b）+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2（a－b）+x]=2c－f[4（a－b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a－b）+x],故y=f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

例2.是定义在R上满足的函数且满足若时则时＿＿

解：

如图函数在

知识点及方法

对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想

二次函数