居余马线性代数第三章课后习题.docx
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居余马线性代数第三章课后习题
第三章课后习题及解答
将1,2题中的向量：
•表示成的线性组合：
1•:
一1,2,1,1T,：
厂1,1,1,1T,：
2=1,1,-1,-1T,：
3二1,-1,1,-1I4二1，-1，-1,1T.
2・：
=0,001,：
!
=1,1,0,1,：
2二2,1,31,：
3二1,1,0,0,：
4二0,1,-1,-1.
解：
设存在k1,k2,k3,k4使得〉二k「1k^2k^3k^4，整理得
k1k2k3k4=1
k1
k^-k3-k4
k1
-k?
k3-k4
=1
&-k2-k3k4=1
5111
解得«=—,k2=—,k3_-一，k4--—-
44445
所以-=—冷
4
设存在匕*2*3*4使得二-kr1k^2k^3k^4，整理得
k12k2k^0，k1k2k3k^0，
3k2~'k4=0，k1k^~k4=1.
解得k1=1,k2二0,k3--1,k4=0.所以「「一八3.
判断3,4题中的向量组的线性相关性:
3.:
“=：
'1,1,1丁，：
2=0,2,5丁，：
3=[1,3,6T.
4.r=（1,-1,2,4）T「2二0,3,1,2T,飞二3,0,7,14T.
解：
3.设存在k|,k2,k3使得k-!
k2：
2k3：
3=0，即
k1k3=0
*匕+2k2+3k3=0，由
«+5k2+6k3=01
解得k1,k2,k3不全为零,
故：
1,：
2,〉3线性相关.
4.设存在匕，k2,k3使得k111k212k3=0，即
k+3k3=0
—&+3k2=0
2k1k27k3=0
4k12k214k3=0
可解得k1,k2,k3不全为零，故
：
1,：
2,：
3线性相关.
5.论述单个向量〉（a1,a2^-,an）线性相关和线性无关的条件.
解：
设存在k使得k-=0,若:
-0，要使k-=0,当且仅当k=0，故，单个向量线性无关的充要条件是--0；相反，单个向量:
-（Q,a2,…，an）线性相关的充要条件是
:
-=0.
6.证明：
如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关
证：
设向量组〉1,〉2,-,〉n4,〉n线性无关，利用反证法,
：
i2，，：
ir（h—n）
>1,>2,…，：
n”，n
7.a1^l2
ki,k2
kT（一讪心2）k2（二2）=0
（kik2）：
i（ki
：
'l/'2
kik2
ki-k?
=0
-0
一1丿
-1
：
'1,
>1*2「1一>2
-?
2/'1
―〉2」1
〉2「1
8.
：
'l/'2,
：
s
a11
ai2
ais
a21
a22
a2s
a1=
a31
・■
tt2=
a32
-
…Qs=
a3s
a
laksJ
laks
（j=12,s）所组成的k-m维向量，证明：
⑴若'冷，、丫-2,…，、'-s线性无关，则怙，卜‘2,…，b's线性无关；
⑵若：
1,：
2,…，:
s线性相关，则〉1,〉2「，〉s线性相关.
证：
证法1，
（1）设A=0i,〉2,…，〉s,Bh]7i,：
2,…，：
s，因为〉1,〉2「，〉s线性无关，所以齐次线性方程AX=0只有零解，即r（A）二s,且r（B）二s，■-1/-2r-,■-s线性无
关•
证法2,因为〉1,〉2,—，亠线性无关，所以齐次线性方程AX=0只有零解，再增加方程的
个数，得BX=0，该方程也只有零解，所以r「2,-,1s线性无关.
⑵利用反证法可证得，即假设^，:
七,…，：
'线性无关，再由
（1）得「厂2,…，飞线性无
关，与「，：
2,…，：
s线性相关矛盾.
9.证明：
>1*2,>2*3,>3*1线性无关的充分必要条件是〉1「2「3线性无关•
■Z10r
证：
方法1，（ct1+Ot2,ct2+a3,G3=（ct1^（2^t3）110
<011」
1
因为G仆勺，〜线性无关，且1
0
01
10=2=0，可得>1二2「2*3,〉3二1的秩为3
11
所以>1*2」2〉3」3•>1线性无关•线性无关；反之也成立
方法2,充分性，设〉1」2「3线性无关，证明>1*2,〉2*3」3*1线性无关•
（k1k3）®（k1k2）：
2（k2k3）二3=0
因为：
■1^-2^-3线性无关，所以
k|+k3=0
+k2=0，可解得kj=k2=k3=0，所以a^a2^t2+Ct3^f.3线性无关.
k2k3=0
必要性，（方法1）设＞1•〉2「2•〉3,〉3•＞1线性无关，证明〉1,〉2「3线性无关，
假设：
-1/'2/'3线性相关，则〉1,〉2,〉3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨
设冷可由：
.2,〉3线性表示，则向量组：
•4心2,〉2匕3,〉3"勺可由〉2,〉3线性表示，且
32，所以＞1比2,〉2*3,〉3心1线性相关，与＞1心2,〉2心3,〉3*1线性无关矛盾，故〉1」2,：
3线性无关.
方法2，令-1=「1八-：
J2，■^~■'^'-：
J3,'3='3'，设存在«,k?
k3使得
kv1k^2k^^0，由打八1*2「2八2*3,订八3*1得
勺J（耳」2+%）02=2（+陶-％）03丄（B厂鷺-加，代入
222
kv1k^2k3：
3=0得，
k1丄（I-■-3）k21（：
1「2-k3（-S「2「3）=0，即
222
（kk2—k3）|（七k2k3）匕（K—k2k3）”0
|ki*k2-k3=0
Bi,%,%—匕+k2+k3=0
k〔—k?
+kg=0
k［二k2二k3二0
〉1,〉2,>3
10.
1GiS,…，°mm>2
：
3
ct1=
a2』，3=
T
◎
U丿
口1,口2,°3°1,°2,口3
2ai,°2，…，％mn2
%,口2,°3口1,口203
⑶％，口2
1-2
k1,k2
匕％+优+k2g2+打=0
：
1
01P2
k1,k2
k"+k2a2=0kd+k2B2
k1,k2
t1,t2
=0鮎优+上2^2=0
⑷.
:
'1
-a2+ot2-□3+a3-°^=0
>2,>2一>3,>3一〉1
〉1,〉2,>3,>4
：
1*2,〉2*3,〉3*4,〉4*1
M■：
'2^'2
*3,>3*4,〉4*1
⑹.
■■1/'2/'3,
:
'1*2,〉2*3,
：
'1/'2/'3,
：
n
：
'1/'2/'3,
-1
：
<：
'2/'2
*3,
〉n」*n,〉n*1
11.
kv1
>1*2,>2*3,
m3,>4
〉1」2」3,：
4
：
n
kv1k^2k3：
3k「4=0.
ki,k2,k3,k4
所以该命题成立
12.若＞1,…「r线性无关，证明：
-/r线性无关的充分必要条件是'■不能
由:
j,：
2…，：
r线性表示.
证：
必要性，假设-能由_：
冷，二2,…，则：
，-X,二2，…，-“线性相关与
：
〉1,〉2,—,〉r线性无关矛盾，故:
不能由〉l,〉2,—,〉r线性表示•
充分性，设存在k0,k1,k2,kr使得k0P+kp1+k2G2+k^t3+…+krOr=0,
若ko=0，则1能由＞1,＞2,＞3,…，〉r线性表出，矛盾，所以ko=0,
因此，k「1•k2〉2•k3〉3•k「r=0，又因为〉1」2,…「r线性无关，
所以k1=k2二…=kr=0，故，：
，＞1,^2,…，〉r线性无关.
13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表
示：
（1）二=（6,4,1,9,2）,：
七=（1,0,2,3,-4）,：
乜=（1,4,一9,一6,22）,：
厂（7,1,0,-1,3）;
（2）-=（1,-1,2,4）,：
2=（0,3,1,2）,J=（3,0,7,14）,：
4=（2,1,5,6）,：
飞=（1,-1,2,0）;
（3）G1=（1,1,1）,
。
2=（1,1,0）,
◎3=（1,0,0）,
（1,2-3）.
6
1
1
7、
q
0
1
0、
4
0
4
1
0
1
-5
0
解：
（1）&T血
TT\
。
3,。
4）=
1
2
-9
0
TT
0
0
0
1
9
3
-6
-1
0
0
0
0
<2
-4
22
3丿
<0
0
0
0丿
所以，
向量组的秩为
3,码，。
2,口4
为
•个极大线性无关组，
"1
—5
2.
：
-1/'2/-4为一个极大线性无关组，且
〉3二3〉1皿；2，〉5=〉4-「"I-「2.
（3）类似
（1），可求得向量组的秩为
3，1,2,〉3为一个极大线性无关组,
14.设向量组:
1=（1,-1,2,4）,2=（0,3,1,2）,3二
（3,0,7,14）,5二（2,1,5,6）,4二（1,-1,2,0）,5二（2,1,5,6）.
（1）
证明1，2线性无关;
（2）
求向量组包含],\的极大线性无关组•
1,
（1）
证：
设存在k1,k2,使得k11-k1J=0，
求得
«=k?
=0，所以1,2线性无关;
（2）
2,3,4
广1
0
3
1
2
广1
0
3
0
仁
-1
3
0
-1
1
T■"T
0
1
1
0
1
2
1
7
2
5
0
0
0
1
1
<4
2
14
0
6」
<0
0
0
0
0丿
7二
所以，1,2,4为包含1,
2的一个极大线性无关组
15.设A,B皆为n阶矩阵,
r（A）_n,r（B）_n，证明:
（1）
=r（A）r（B）;
（2）
_r（A）r（B），C为任意n阶矩阵.
证:
（1）设
r（A）二「1,r（B）二D，则存在n阶可逆矩阵P,Q,P,Q,
PAQ=
'En0）
ri
PBQ
'Er
<0
0、
0A
'丨
P人0
16.
AB
0、
'P
AC-r（A）,
E「2
0
0
0>
BQ
r（AB）乞min（r（A）,r（B））.
AB
mn,ns
*1-2
'bn
b21
bi2
b22
bn1
bn2
r（AB）"（B）
1.A,B
r（AB）=AB
mn,nm
（AB）X=0
r（AB）乞min（r（A）,r（B））乞n：
m
Ar2二r（A）r（B）.
-r（A）r（B）.
b1s
b2s
bns
:
:
m
AB
=0
=r（A）
（AB）X=0
18.设A是一个sn矩阵，B是由A的前m行构成的mn矩阵•证明：
若A的行向量组的
秩为r，则r（B）_r•m「s.
：
'm
"mdl
证：
设_：
订=（a-\i,色2,…，am）,i=1,2，…，s.
设r（B）二p，于是，B的行向量组的极大线性无关组丨n,冷2，…，〉\*含P个向量。
因此，
A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组〔％,〉^,…，〉ip,〉m・1,…，〉s'的一个子集，所
以它所含向量个数从而，r（B）二p_rm-s.
求下列（19—22题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式:
广12345'
00—1—2-3
19..
00004
卫012-1』
‘1
2
3
4
5、
1
q
2
3
4
5、
解：
0
0
-1
-2
-3
2
0
0
-1
-2
-3
TT
0
0
0
0
4
4
0
0
0
0
-2
2
0
1
2
T」
3
<0
0
0
0
0」
所以，矩阵的秩为3。
1
3
5
0
-1
-3
--4式0为一个最高阶的非零子式。
0
0
4
（1
3
0
0
1丿
广1
-1
2
1
0
1
-1
2
1
0'
2
-2
4
-2
0
4
0
3
0
0
1
解：
T…T
3
0
6
-1
1
3
0
0
0
—4
0
3
0
0
1
■■
2
0
0
0
°」
20.
3
0
6
-1
1
所以,
矩阵的秩为
3。
-1
=12+0为一个最高阶的非零子式。
3
2
-1
-3
-2
2
-1
3
1
-3
14
5
-5
6
1」
21.
2
-1
-3
-2'
q
3
-4
9
3、
解：
2
-1
3
1
-3
TT
0
-7
13
—17
-9
5
-5
6
1>
e
0
—2
-13
一2」
所以，矩阵的秩为3。
3
2
-1
2
-1
3
—
:
-14式0为一个最咼阶的非零子式。
4
5
-5
'1
1
0
0、
2
1
1
0
22.
0
2
1
1
<0
0
2
1丿
23.
（1
—1=0
r（A）:
:
:
n.
AX
A^j=0,j=1,2,,s
AX=0
I=0
24.A,B
AB
（1
=0
r（A）：
：
n
r（A）：
：
n.
r（A）=r,r（B）=p
「°
A—0,j
r（A）=
RAQ1
Er
0
F2BQ2=
Ep0
00
r（A）
=r（B）
RAQ-i=
Er
<0
=F2BQ2
AB=0
AB=0
"0
1,2，…，S
r（B）.
R,B,Q1,Q2
「Ep0
\00」
（P2）丄RAQQz'uB,令（Rj/RhP’QjQ：
=Q,故，PAQ=B
因此，A与B相抵•
必要性，因为A与B相抵，所以，存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ=B,
因此，r（A）二r（B）.
25.设A是m>存在n=证：
因为r（A）二m，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=：
〔lm0，所以有
AQ=P」Im0,
AQIm0=（PJ0），
（1）
（1）右端乘nxm阶矩阵T」P,得AQT=lm，令QT=B,丿
故,
AB
26.证明：
若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为n-r的n阶方阵B，使得BA=0.
证：
因为n阶方阵A的秩为r，所以AT的秩为r，则ATX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，取这n-r个线性无关的解向量X,，…，Xn_r为Bt的列向量，则r（BT）=n-r-r（B）.因此，该命题得证.
27.证明：
任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于r个秩为1的矩阵之和.
证：
设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵
P,Q使得PAQ二
Er0
00「
所以，A吒0]
…,Br为秩为1的矩阵
二P」（BiBJQ」二P」BrQ」,其中
因此，任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和.
后部的证明，（反证法）假设A为秩为r的矩阵，能表示为少于r个秩为1的矩阵之和，不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和，其中，pr，设A=（B^i-Bp）,其中
B,…,Bp是秩为1的矩阵.r（A）汀（B）亠•亠r（Bp）=p：
：
：
r，与r（A）=r矛盾.
28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:
X—x2+5x3—X4=0
Xr+x2_2x3+3X4=0
（1）
3%_x2+8x3+x4=0
x13x2「9x37x4二0
解:
11
3-1
J3
5-1
-23
T
81
-97」
3
10—1
2
01-72
2
0000
I。
000』
取x3,x4为自由未知量，令
x3=1,x4=0和x3=0,%=1，得原方程组的一个基础解系为
X1*2,7,1,0）T;
X2十1,-2,0,1）丁，
因此,
，z_3'
2
"-1'
7
-2
X=k1X1+k2X2=k1
2
+k2
0
1
<0」
U丿
般解为
其中k1,k2为任意常数
2
1
-8
2
1
2
-2
-3
-7
2
1
11
12
34
-5
J
-5
2
16
3」
1
0
19
_百
3
-8
1
2
0
1
7
-8
25
~8
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X3=°,X4=O,x5=1
X!
=¥，78,1,0,0）t,X2
88
X3=1,x4=0,X5=0X3=0,X4^=0
32511
（8，t0,1,0）T,X3十齐，0,0讥
=k1X1k2X2k3X3
ri9、
/3\
/i、
8"
8
-2
7
25
i
8
_~8~
2
1
+k2
0
+k3
0
0
1
0
<0j
<0」
-ki
ki,k2,k
J+x2—8x3+2x4+x5=0
（2）.丿
2论—2x2—3x3—7x4+2x5=0
x1+11x2-12x3+34x4-5x5=0
x1—5x2+2x3—16x4+3x5=0
29.
[2x-i'7x23x3x4=6
1<3羽+5x2+2x3+2x4=4
9x14x2x37x4=2
'2731
6
‘1940
8'
3522
4
TT
0-11-51
-10
^9417
2>
卫000
0」
X2,X3
X。
=（8,0,0厂10）t
所以，方程组的一般解为X=X0k1X1k2X2，其中k1,k2为任意常数
Xi+X2+X3+X4+X5=7
3捲+2x2+x3+x4—3x5=-2
（2）
x2+2x3+2沧+6x5=23
5x14x23x33x4-x5=12
*11111
7
■‘10-1-1-5
-16"
3211-3
-2
01226
23
TT
01226
23
00000
0
©433—1
12」
00000
0>
解:
取X3，X4，X5，为自由未知量，令X3=X5=0,得方程组的一个特解：
X。
=（-16,23,0,0,0）T；
再取X3=1,X4=0,X5=0，X3=0,X4=1,X5=0和X3二0,X4=0,X5=1得其导出组的一个
基础解系：
Xi=（1,-2,1,0,0）t,X2=（1,2,0,1,0）t,X3=（5,—6,0,0,1）t
所以，方程组的一般解为X=X0•kiXik2X2k3X3，其中ki,k2,k3为任意常数
30.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解
（p3）XiX22x3=p
（1）pxi（p-1）X2X3=2p
3（p1）xipx2（p3）X3=3
S+3
1
2
p
'p+3
1
2
p
解：
p
P—1
1
2p
TT
_p2十p+3
0
3
_p2_3p+6
C（p+1）
p
p+3
3」
1P2（P-1）
0
0
p3+3p2_15p+9’
所以，p=0或p=1时，该方程组无解,
*p+312
p、
2
一p+p+303
2
-p_3p+6
2
1p（p—1）00
32
p+3p—15p+9j
有唯一解是
X1
p33p2-15p9
p2（p-1）
X2
p312p-9
p2（p-1）
X3
p3书2p_90
1
0
p2（pJ）
32
」p33p212p_9
P2（P」）
p33p2_15p：
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P2（P」）
32
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P2（
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