居余马线性代数第三章课后习题.docx

1、居余马线性代数第三章课后习题第三章课后习题及解答将1, 2题中的向量：表示成的线性组合：1:一 1,2,1,1 T,：厂 1,1,1,1T,：2 = 1,1,-1,-1 T,： 3 二 1,-1,1,-1 I 4 二 1，-1，-1,1T.2：=0,001,：! = 1,1,0,1,： 2 二 2,1,31,：3 二 1,1,0,0,： 4 二 0,1,-1,-1.解：设存在k1,k2,k3,k4使得二k1 k 2 k 3 k 4，整理得k1 k2 k3 k4 = 1k1k - k3 - k4k1- k? k3 - k4=1& -k2 -k3 k4 = 15 11 1解得 = , k2 = ,

2、 k3 _ -一，k4 -4 4 4 4 5所以-=冷4设存在 匕*2*3*4使得二-kr 1 k 2 k 3 k 4，整理得k1 2k2 k 0，k1 k2 k3 k 0，3k2 k4 = 0， k1 k k4 = 1.解得 k1 = 1,k2 二 0, k3 - -1, k4 =0.所以一 八 3.判断3, 4题中的向量组的线性相关性:3. :“ = ：1,1,1 丁，： 2 = 0,2,5 丁，： 3 = 1,3,6 T.4. r =(1,-1,2,4)T2 二 0,3,1,2 T,飞二 3,0,7,14 T.解：3.设存在 k|,k2,k3 使得 k-! k2： 2 k3： 3 = 0

3、，即k1 k3 = 0* 匕 + 2k2 + 3k3 = 0，由 +5k2 +6k3 =0 1解得k1,k2,k3不全为零,故：1, ：2,3线性相关.4.设存在 匕，k2, k3 使得 k1 11 k2 12 k3 = 0，即k +3k3 =0& +3k2 =02k1 k2 7k3 =04k1 2k2 14k3 =0可解得k1,k2,k3不全为零，故：1, ：2, ：3线性相关.5. 论述单个向量(a1,a2- ,an)线性相关和线性无关的条件.解：设存在k使得k- =0,若:-0，要使k- =0 ,当且仅当k =0，故，单个向量线性 无关的充要条件是 -0 ；相反，单个向量 :-(Q,a2

4、,，an)线性相关的充要条件是:-=0.6. 证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关证：设向量组1,2,-,n4,n线性无关，利用反证法,：i2， ，： ir (h n)1, 2,，：n”，n7. a1 l2ki,k2kT( 一讪心2) k2 (二2) = 0(ki k2)： i (ki：l/2ki k2ki - k?=0-0一1丿-1：1,1 *21 一 2-?2/121218.：l/2,：sa11ai2aisa21a22a2sa1 =a31tt2 =a 32-Qs =a3sa1 *2, 2 *3, 3 *1线性无关的充分必要条件是 123线性无关Z1 0 r证：方法 1，

5、（ct 1 +Ot2,ct2+a3,G3=（ct 1（2t3） 1 1 01 二22 *3,3 二1 的秩为 31 1所以1 *22 33 1线性无关线性无关；反之也成立方法2,充分性，设123线性无关，证明1 *2,2 *33 *1线性无关（k1 k3） （k1 k2）： 2 （k2 k3）二3 =0因为： 1-2-3线性无关，所以k| +k3 =0+k2 = 0，可解得 kj = k2 = k3 = 0，所以 aa2t2 +Ct3f.3 线性无关.k2 k3 =0必要性，（方法1）设1 22 3,3 1线性无关，证明1,23线性无关，假设：-1/2/3线性相关，则1,2,3中至少有一向量可

6、由其余两个向量线性表示，不妨设冷可由：.2,3线性表示，则向量组 ： 4心2,2匕3,3 勺可由2,3线性表示，且3 2，所以1比2,2 *3,3心1线性相关，与1心2,2心3,3 *1线性无关矛 盾，故12, ： 3线性无关.方法 2，令 -1 =1 八- ：J2， -：J3 , 3 = 3 ，设存在 , k? , k3使得kv 1 k 2 k 0，由打八1 *22 八 2 *3,订八 3 * 1 得勺J（耳2 +%）02 =2（ +陶- ）03 丄（B厂鷺-加，代入2 2 2kv 1 k 2 k3： 3 = 0得，k1 丄（I - -3）k2 1（ ：12 - k3（ - S23）= 0，

7、即2 2 2（k k2k3）| （七 k2 k3）匕（K k2 k3）”0| ki * k2 - k3 = 0Bi,%,% 匕 +k2+k3=0k k? + kg = 0k二 k2 二 k3 二 01,2, 310.1 G iS,，m m 2：3ct 1 =a 2，3 =TU丿口1,口2,3 1,2,口32 ai,2， mn2%,口2,3 口1,口203 ，口 21-2k1,k2匕 + 优 + k2 g2 +打=0：101 P 2k1 , k2k +k2a2 =0 kd +k2B2k1 , k2t1 , t2=0 鮎优+上22 =0.:1-a2 + ot 2 - 3 + a 3- = 02,

8、2 一 3, 3 一11,2, 3, 4：1 *2,2 *3,3 *4,4 *1M ：22* 3, 3 *4,4 *1.1/2/3,:1 *2,2 *3,：1/2/3,：n：1/2/3,-1：1 *2, 2 *3,m3, 4123, ： 4：nkv1 k 2 k3： 3 k4 = 0.ki, k2, k3, k4所以该命题成立12. 若1, r线性无关，证明： -/ r线性无关的充分必要条件是 不能由:j, ：2，：r线性表示.证：必要性，假设-能由_：冷，二2,，则：，-X,二2，-“线性相关与：,1,2, ,r线性无关矛盾，故:不能由l,2, ,r线性表示充分性，设存在 k0 ,k1, k

9、2 ,kr 使得 k0 P + kp 1 + k2G 2 + kt 3 + krO r = 0 ,若ko = 0，则1能由1, 2, 3,，r线性表出，矛盾，所以 ko =0 ,因此，k1 k22 k33 kr = 0，又因为12,r线性无关，所以k1 = k2二=kr = 0，故，：，1,2,，r线性无关.13. 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：(1) 二=(6,4,1,9,2), ：七=(1,0,2,3,-4),：乜=(1,4,一9,一6,22),：厂(7,1,0,-1,3);(2) - =(1,-1,2,4),： 2 =(0,3,1,2),

10、J =(3,0,7,14),： 4 =(2,1,5,6),：飞=(1,-1,2,0);(3) G1 =(1,1,1),。2 =(1,1,0), 3 = (1,0,0),(1,2-3).6117、q010、404101-50解：(1) &T 血T T ,。3 ,。4 )=12-90T T000193-6-100002-4223丿0000丿所以，向量组的秩为3,码，。2,口4为个极大线性无关组，152 .：-1/2/-4为一个极大线性无关组，且3 二 31 皿；2， 5 =4 -I -2 .(3)类似(1)，可求得向量组的秩为3，1, 2,3为一个极大线性无关组,14.设向量组:1 =(1,-1,

11、2,4), 2 =(0,3,1,2), 3 二(3,0,7,14), 5 二(2,1,5,6), 4 二(1,-1,2,0), 5 二(2,1,5,6).(1)证明1， 2线性无关;(2)求向量组包含 ,的极大线性无关组1,(1)证：设存在k1, k2,使得k1 1 - k1 J = 0，求得 = k? = 0，所以1, 2线性无关;(2)2,3,4广10312广1030仁-130-11T T01101217250001142140600000丿7 二所以，1, 2, 4为包含1,2的一个极大线性无关组15.设A, B皆为n阶矩阵,r(A) _ n, r(B) _ n，证明:(1)= r(A)

12、 r(B);(2)_r(A) r(B)，C为任意n阶矩阵.证:(1)设r(A)二1,r(B)二D，则存在n阶可逆矩阵P,Q , P ,Q ,PAQ =En 0)riP BQErBQr(AB)乞 min( r(A), r(B).ABm n,n s*1 -2bnb21bi2b22bn1bn2r(AB) (B)1. A,Br(AB) = ABm n,n m(AB)X =0r(AB)乞 min( r( A), r(B)乞 n ： mA r2 二 r(A) r(B).-r(A) r(B).b1sb2sbns:mAB=0= r(A)(AB)X =018.设A是一个s n矩阵，B是由A的前m行构成的m n矩

13、阵证明：若A的行向量组的秩为 r，则 r(B) _ r ms.：mmdl证：设 _：订=(a-i,色2,，am),i =1,2，s.设r(B)二p，于是，B的行向量组的极大线性无关组 丨n,冷2， *含P个向量。因此，A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组 , ,，ip ,m1,，s 的一个子集，所以它所含向量个数 p (s - m)，即r (A)二r乞p (s - m)，从而，r(B)二p_r m-s.求下列(19 22题)矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式:广1 2 3 4 5 0 012 -319. .0 0 0 0 4卫0 1 2-112345、1q2345、解：00-1-

14、2-3200-1-2-3T T0000440000-22012T3e02-13一2所以，矩阵的秩为 3。32-12-13:-14式0为一个最咼阶的非零子式。45-51100、211022.02110021丿23.(11=0r(A) : n.AXAj =0, j =1,2, ,sAX =0I =024. A, BAB(1=0r(A) ： nr(A) ： n .r(A) =r,r(B) = pA 0, jr(A)=R AQ1Er0F2 BQ2 =Ep 00 0r(A)= r(B)R AQ-i =Ern矩阵(men), r(A)=m，证明：存在n=m矩阵B使得AB = I证：因为r (A)二m，所以

15、，存在可逆矩阵 P,Q ,使得PAQ=：lm 0，所以有AQ =PIm 0 ,AQ Im 0 =(PJ 0)，(1)(1)右端乘nxm阶矩阵TP ,得AQT = lm，令QT = B, 丿故,AB26.证明：若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为n - r的n阶方阵B，使得BA = 0.证：因为n阶方阵A的秩为r，所以AT的秩为r，则ATX = 0的基础解系含有 n-r个线 性无关的解向量，取这n-r个线性无关的解向量X,，Xn_r为Bt的列向量，则 r(BT)= n-r -r(B).因此，该命题得证.27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于 r个秩为1 的矩阵之和

16、.证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵P,Q 使得 PAQ 二Er 00 0所以，A吒0,Br为秩为1的矩阵二P(Bi BJQ二PBrQ,其中因此，任何秩为r的矩阵可以表示为 r个秩为1矩阵之和.后部的证明，(反证法)假设 A为秩为r的矩阵，能表示为少于 r个秩为1的矩阵之和，不 妨设A能表示为 p个秩为1的矩阵之和，其中， p r，设A = (Bi -Bp),其中B,Bp是秩为1的矩阵.r(A)汀(B)亠亠r(Bp) = p ： r，与r(A) =r矛盾.28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:X x2 +5x3 X4 =0Xr +x2 _2x3 +3X4 =0(1)3% _x2

17、 +8x3 +x4 =0x1 3x29x3 7x4 二 0解:1 13 -1J 35 -1-2 3T8 1-9 7310 120 1 -7 220 0 0 0I。0 0 0取x3,x4为自由未知量，令x3 = 1,x4 = 0和x3 = 0, % = 1，得原方程组的一个基础解系为X1*2,7,1,0)T;X2 十 1,-2,0,1)丁，因此,，z_3 2-1 7-2X =k1X1 +k2X2=k12+ k2010U丿般解为其中k1,k2为任意常数21-8212-2-3-721111234-5J-521631019_百3-812017-825810000000000X3 = ,X4 = O,x

18、5 = 1X! =，78,1,0,0)t, X28 8X3=1,x4 =0,X5=0 X3=0,X4 =03 25 1 1(8，t0,1,0)T, X3 十齐，0,0讥=k1X1 k2X2 k3X3ri9、/ 3 / i、88-2725i8_ 821+ k20+ k300100j 0-kiki,k2,kJ +x2 8x3 +2x4 +x5 =0(2).丿2论2x2 3x3 7x4 +2x5 =0x1 +11x2 -12x3 +34x4 -5x5 =0x1 5x2 +2x3 16x4 +3x5 =029.2x-i 7x2 3x3 x4 = 61 卫 0 0 00X2,X3X。=(8,0,0厂 1

19、0)t所以，方程组的一般解为 X =X0 k1X1 k2X2，其中k1,k2为任意常数Xi +X2 +X3 +X4 +X5 =73捲 +2x2 +x3 +x4 3x5 = -2 (2)x2 +2x3 +2 沧 +6x5 =235x1 4x2 3x3 3x4 -x5 = 12*1111 171 0 -1 -1 -5-163211-3-20 12 2 623T T0 12 2 6230 0 0 0 00 4 3 3 1120 0 0 0 00 解:取X3，X4，X5，为自由未知量，令X3 =X5 =0 ,得方程组的一个特解：X。=(-16,23,0,0,0)T ；再取 X3 =1,X4 =0, X

20、5 =0，X3 =0, X4 =1,X5 =0 和 X3 二 0,X4 =0,X5 =1 得其导出组的一个基础解系：Xi =(1,-2,1,0,0)t,X2 =(1,2,0,1,0)t,X3 =(5,6,0,0,1)t所以，方程组的一般解为 X =X0 kiXi k2X2 k3X3，其中ki,k2,k3为任意常数30.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解(p 3)Xi X2 2x3 = p(1) pxi (p -1)X2 X3 =2p3( p 1)xi px2 (p 3)X3 =3S+312pp+312p解：pP 112pT T_ p2 十 p +303_p2 _3p+6C(p+1)pp+331 P2(P-1)00p3 +3p2_15p+9 所以，p = 0或p =1时，该方程组无解,* p +3 1 2p 、2一 p + p +3 0 32-p _3 p + 621 p (p1) 0 03 2p +3p 15p +9 j有唯一解是X1p3 3p2 -15p 9p2(p -1)X2p3 12p-9p2(p-1)X3p3 书2p_9 010p2 (p J)3 2p3 3p2 12p_9P2 (P)p3 3p2_15p：；9P2 (P)3 2_4p 3p 12p _9P2(