例5、满足的x的集合为A;满足的x的集合为B。
1?
、若A?
B求a的取值范围2?
、若A?
B求a的取值范围
3?
、若A∩B为仅含一个元素的集合,求a的值。
解:
A=[1,2]B={x|(x-a)(x-1)≤0}
当a≤1时B=[a,1]当a>1时B=[1,a]
当a>2时A?
B当1≤a≤2时A?
B当a≤1时A∩B仅含一个元素
例6、方程有相异两实根,求a的取值范围。
解:
原不等式可化为,令:
则
设又∵a>0
五、作业:
1.
2.若
求a的取值范围(a≥1)
3.
4.
5.当a在什么范围内方程:
有两个
不同的负根
6.若方程的两根都大于2,求实数m的范围。
选修4_5不等式选讲
课题:
第07课时不等式的证明方法之一:
比较法
一、引入:
要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:
二、典型例题:
例1、设,求证:
。
例2、若实数,求证:
证明:
采用差值比较法:
=
=
=
=
∴
∴
讨论:
若题设中去掉这一限制条件,要求证的结论如何变换?
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:
1)差值比较法:
注意到要证的不等式关于对称,不妨设
,从而原不等式得证。
2)商值比较法:
设
故原不等式得证。
注:
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是:
作差(或作商)、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度行走,另一半时间以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走。
如果,问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析:
设从出发地点至指定地点的路程是,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。
要回答题目中的问题,只要比较的大小就可以了。
解:
设从出发地点至指定地点的路程是,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为,根据题意有,,可得,,
从而,
其中都是正数,且。
于是,即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论:
如果,甲、乙两人谁先到达指定地点?
例5、设求证;对任意实数,恒有
(1)
证明考虑
(1)式两边的差。
=
=
(2)
即
(1)成立。
五、作业:
1.比较下面各题中两个代数式值的大小:
(1)与;
(2)与.
2.已知求证:
(1)
(2)
3.若,求证
4.比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
解:
a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)
=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)
=-(a-b)2(当且仅当d=b时取等号)
∴a4-b44a3(a-b)。
5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
6.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
7.如果x>0,比较与的大小.
8.已知a≠0,比较与的大小.
9.设x1,比较x3与x2-x+1的大小.
说明:
"变形"是解题的关键,是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是"变形"的常用方法。
阅读材料:
琴生不等式
例5中的不等式有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系,也是琴生(Jensen)不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义:
设函数的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数,都有
(1)
则称为[a,b]上的凸函数。
若把
(1)式的不等号反向,则称这样的为[a,b]上的凹函数。
凸函数的几何意义是:
过曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。
其推广形式是:
若函数的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数,都有
(2)
当且仅当时等号成立。
一般称
(2)式为琴生不等式。
更为一般的情况是:
设是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点,有
其中,则称是区间[a,b]上的凸函数。
如果不等式反向,即有则称是[a,b]上的凹函数。
其推广形式,设,是[a,b]上的凸函数,则对任意有,
当且仅当时等号成立。
若是凹函数,则上述不等式反向。
该不等式称为琴生(Jensen)不等式。
把琴生不等式应用于一些具体的函数,可以推出许多著名不等式。
选修4_5不等式选讲
课题:
第08课时不等式的证明方法之二:
综合法与分析法
一、引入:
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等式。
而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是"由因及果",后一种是"执果索因"。
打一个比方:
张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是"综合法";而张三自己找路,直至回到驻地,这是"分析法"。
以前得到的结论,可以作为证明的根据。
特别的,是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题:
例1、都是正数。
求证:
证明:
由重要不等式可得
本例的证明是综合法。
例2、设,求证
证法一分析法
要证成立.
只需证成立,又因,
只需证成立,又需证成立,
即需证成立.而显然成立.由此命题得证。
证法二综合法
注意到,即,
由上式即得,从而成立。
议一议:
根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗?
例3、已知a,b,m都是正数,并且求证:
(1)
证法一要证
(1),只需证
(2)
要证
(2),只需证(3)
要证(3),只需证(4)
已知(4)成立,所以
(1)成立。
上面的证明用的是分析法。
下面的证法二采用综合法。
证法二因为是正数,所以
两边同时加上得两边同时除以正数得
(1)。
读一读:
如果用或表示命题P可以推出命题Q(命题Q可以由命题P推出),那么采用分析法的证法一就是
(1)
而采用综合法的证法二就是
如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有,那么我们就说命题P与命题Q等价,并记为在例2中,由于都是正数,实际上
例4、证明:
通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析:
当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。
设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形为,截面积为。
所以本题只需证明。
证明:
设截面的周长为,则截面是圆的水管的截面面积为,截面是正方形的水管的截面面积为。
只需证明:
。
为了证明上式成立,只需证明。
两边同乘以正数,得:
。
因此,只需证明。
上式显然成立,所以。
这就证明了:
通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明:
。
证法一因为
(2)
(3)
(4)
所以三式相加得(5)
两边同时除以2即得
(1)。
证法二因为
所以
(1)成立。
例6、证明:
(1)
证明
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(5)显然成立。
因此
(1)成立。
例7、已知都是正数,求证并指出等号在什么时候成立?
分析:
本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明:
=
=
由于都是正数,所以而,
可知
即(等号在时成立)
探究:
如果将不等式中的分别用来代替,并在两边同除以3,会得到怎样的不等式?
并利用得到的结果证明不等式:
,其中是互不相等的正数,且.
三、小结:
解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。
这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、练习:
1、已知求证:
2、已知求证
3、已知求证
4、已知求证:
(1)
(2)
5、已知都是正数。
求证:
(1)
(2)
6、已知都是互不相等的正数,求证
选修4_5不等式选讲
课题:
第09课时不等式的证明方法之三:
反证法
一、引入:
前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。
也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。
其中,反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明:
若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。
具体地说,反证法不直接证明命题"若p则q",而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:
第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;
第二步作出与所证不等式相反的假定;
第三步从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;
第四步断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。
二、典型例题:
例1、已知,求证:
(且)
例1、设,求证
证明:
假设,则有,从而
因为,所以,这与题设条件矛盾,所以,原不
等式成立。
例2、设二次函数,求证:
中至少有一个不小于.
证明:
假设都小于,则
(1)
另一方面,由绝对值不等式的性质,有
(2)
(1)、
(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。
注意:
诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法进行。
议一议:
一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点?
例3、设0(1?
a)b,(1?
b)c,(1?
c)