例5、满足的x的集合为A；满足的x的集合为B。
1?
、若A?
B求a的取值范围2?
、若A?
B求a的取值范围
3?
、若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
解：
A=[1,2]B={x|（x-a）（x-1）≤0}
当a≤1时B=[a,1]当a>1时B=[1,a]
当a>2时A?
B当1≤a≤2时A?
B当a≤1时A∩B仅含一个元素
例6、方程有相异两实根，求a的取值范围。
解：
原不等式可化为，令：
则
设又∵a>0
五、作业：
1．
2．若
求a的取值范围（a≥1）
3．
4．
5．当a在什么范围内方程：
有两个
不同的负根
6．若方程的两根都大于2，求实数m的范围。
选修4_5不等式选讲
课题：
第07课时不等式的证明方法之一：
比较法
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设，求证：
。
例2、若实数，求证：
证明：
采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
讨论：
若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：
1）差值比较法：
注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：
设
故原不等式得证。
注：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：
作差（或作商）、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。
如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：
设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。
要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。
解：
设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，
从而，
其中都是正数，且。
于是，即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：
如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例5、设求证；对任意实数，恒有
（1）
证明考虑
（1）式两边的差。
＝
＝
（2）
即
（1）成立。
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）与；
（2）与.
2．已知求证：
（1）
（2）
3．若，求证
4．比较a4-b4与4a3（a-b）的大小．
解：
a4-b4-4a3（a-b）=（a-b）（a+b）（a2+b2）-4a3（a-b）=（a-b）（a3+a2b+ab2+b3-4a3）
=（a-b）[（a2b-a3）+（ab3-a3）+（b3-a3）]=-（a-b）2（3a3+2ab+b2）
=-（a-b）2（当且仅当d＝b时取等号）
∴a4-b44a3（a-b）。
5．比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小．
6．已知x≠0，比较（x2+1）2与x4+x2+1的大小．
7．如果x>0，比较与的大小．
8．已知a≠0，比较与的大小．
9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．
说明：
"变形"是解题的关键，是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是"变形"的常用方法。
阅读材料：
琴生不等式
例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义：
设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有
（1）
则称为[a,b]上的凸函数。
若把
（1）式的不等号反向，则称这样的为[a,b]上的凹函数。
凸函数的几何意义是：
过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。
其推广形式是：
若函数的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数，都有
（2）
当且仅当时等号成立。
一般称
（2）式为琴生不等式。
更为一般的情况是：
设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有
其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。
如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。
其推广形式，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，
当且仅当时等号成立。
若是凹函数，则上述不等式反向。
该不等式称为琴生（Jensen）不等式。
把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。
选修4_5不等式选讲
课题：
第08课时不等式的证明方法之二：
综合法与分析法
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。
而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是"由因及果"，后一种是"执果索因"。
打一个比方：
张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是"综合法"；而张三自己找路，直至回到驻地，这是"分析法"。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。
特别的，是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：
例1、都是正数。
求证：
证明：
由重要不等式可得
本例的证明是综合法。
例2、设，求证
证法一分析法
要证成立.
只需证成立，又因，
只需证成立，又需证成立，
即需证成立.而显然成立.由此命题得证。
证法二综合法
注意到，即，
由上式即得，从而成立。
议一议：
根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都是正数，并且求证：
（1）
证法一要证
（1），只需证
（2）
要证
（2），只需证（3）
要证（3），只需证（4）
已知（4）成立，所以
（1）成立。
上面的证明用的是分析法。
下面的证法二采用综合法。
证法二因为是正数，所以
两边同时加上得两边同时除以正数得
（1）。
读一读：
如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是
（1）
而采用综合法的证法二就是
如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上
例4、证明：
通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：
当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。
设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。
所以本题只需证明。
证明：
设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。
只需证明：
。
为了证明上式成立，只需证明。
两边同乘以正数，得：
。
因此，只需证明。
上式显然成立，所以。
这就证明了：
通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：
。
证法一因为
（2）
（3）
（4）
所以三式相加得（5）
两边同时除以2即得
（1）。
证法二因为
所以
（1）成立。
例6、证明：
（1）
证明
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（5）显然成立。
因此
（1）成立。
例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？
分析：
本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明：
=
=
由于都是正数，所以而，
可知
即（等号在时成立）
探究：
如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？
并利用得到的结果证明不等式：
，其中是互不相等的正数，且.
三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。
这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、练习：
1、已知求证：
2、已知求证
3、已知求证
4、已知求证：
（1）
（2）
5、已知都是正数。
求证：
（1）
（2）
6、已知都是互不相等的正数，求证
选修4_5不等式选讲
课题：
第09课时不等式的证明方法之三：
反证法
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：
若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题"若p则q"，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步作出与所证不等式相反的假定；
第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：
例1、已知，求证：
（且）
例1、设，求证
证明：
假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不
等式成立。
例2、设二次函数，求证：
中至少有一个不小于.
证明：
假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、
（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：
诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：
一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例3、设0（1?
a）b,（1?
b）c,（1?
c）
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