大学高数常用公式大全.docx
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大学高数常用公式大全
导数公式:
（tgx）=secx
（ctgx）二-csc2x（secx）=secxtgx（cscx）二-cscxctgx（axf-axlna
（logax）-
xlna
基本积分表：
三角函数的有理式积分:
Jtgxdx=—Incosx+C
Jctgxdx=1nsinx+C
Jsecxdx=Insecx+tgx+C
cscx「ctgx|“C
cscxdx二In
dx
22
ax
dx
.~22
x-a
dx
22
a-x
「dx
arctgCa
」In
2a
1
2a
In
x—a
+a
xC
-x
2
-x
a
.x+二arcsinC
a
In
2
二sinnxdx
0
cos
0
高等数学公式
（arcsinx）"=1
J1_x
（arccosx）'=——,1
心—x2
（arctgx）
1+x
1
1x2
（arcctgx）=
dx
J2~
cosx
dx
J_~2~
sinx
2
=secxdx=tgxC
2
=cscxdx=-ctgxC
secxtgxdx=secxC
cscxctgxdx二-cscxC
x
axdx—C
Ina
shxdx=chxC
chxdx=shxC
dx
.x2_a2
2u
sinx1u2，
x2a2
22
x-a
dx
dx
!
：
：
a2_x2dx
XdX2In,
n
2i
2a2aIn（x,x2a2）C
2
.2
x/22a
=—+x-a-一Inx
22
2
x22a.x
二a-xarcsinC
22a
.x2-a2
丄x,2duu=tg,dx2
1u2
一些初等函数:
两个重要极限:
x.x
双曲正弦：
shx=e-—
2
x,_x
双曲余弦：
chx=—-—
2
lim沁
x刃x
=1
lim（1］）x=e=2.718281828459045…jx
x_x
双曲正切:
thx二空=-x电chxe+e
arshx=1n（x..x21）
archx二ln（xx2-1）
arthx
21-x
三角函数公式:
•诱导公式：
-和差角公式:
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°-a
cosa
sina
ctga
tga
90°+a
cosa
-sina
-ctga
-tga
180°a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180-a
-sina
-cosa
tga
ctga
270-a
-cosa
-sina
ctga
tga
270-a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360-a
sina
cosa
tga
ctga
-和差化积公式:
sin（：
£二I）=sin：
cos"二cos：
sin:
cos（：
：
）=cos：
cos：
-sin：
sin:
Ra+Pa-P
sin：
sin2sincos——
22
tg；-tg:
1二tg：
tg：
ctg（二i）=
ctg：
ctg：
_1ctgi二ctg：
sin匚-sin:
Ct
二2cos
2
a-P
0111
2
cos：
cos：
a
+1
》0
E-P
=2cos
2
cos
2
COS；；-COS:
a
+Pa
-P
一2sin
2
-sin
2
•倍角公式:
sin2：
=2sin：
cos：
cos2：
22
=2cos1=1—2sincos
sin3：
=3sin二一4sin3:
2
_ctg1
2ctg:
-
cos3：
tg2,洱于
1-tga
3
3tga-tgatg3^―
1-3tg2a
a
1-cos：
sin
=斗
2
\2
a
1-cos：
tg2
=+i
；1cos：
-半角公式:
1-cosjsi
sin：
1cos：
1cos：
cos—
22
丄a：
1+cosa
1cos：
sin。
ctg
2.1-cos：
sin：
1-cos：
•余弦定理：
c2=a2•b2-2abcosC
•正弦定理：
—abc2R
sinAsinBsinC
-反三角函数性质:
Tt
arcsinx二arccosx
2
Tt
arctgxarcctgx
2
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
（uv）（n）八cnvn“）v（k）
k£
（n）丄（nJ）*丄n（n一0（n_2）丄…丄n（n一1厂'（n-k*1）（n_k）（k）丄…丄（n）
二uvnuvuvu十uv
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f（）（b-a）
柯西中值定理：
如IM二山
F（b）-F（a）F徉）
当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds=•.1•y2dx,其中y二tg〉
化量；」s：
MM弧长。
平均曲率：
«-「「「〉：
从M点到M点，切线斜率的倾角变直线：
K=0;
M点的曲率:
Aa
da
y
△s
nds
J（1
*‘2、3
+y）
K二叭
1
半径为a的圆：
K二一.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法：
f（x）
a
b-a
（y。
％ynj）
n
b
梯形法：
f（x）
a
:
口[by。
yJ%yZ
n2
b
抛物线法：
f（x）
a
b—a
[（yoyn）2（y2目4
3n
yn‘）4（yiy3yn」）]
定积分应用相关公式：
功：
W=Fs水压力：
F=pA
引力：
F=km^,k为引力系数。
r
函数的平均值:
b「a
b
f（x）dx
a
均方根:
b
f2（t）dt
a
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
d=M1M2=1（x2—X1）2+卜2-yJ2+（Z2—zi）2向量在轴上的投影：
PrjuAB二ABcos®严是AB与u轴的夹角。
Prju（Qa?
）=Prja1Prja?
ab=abcos^=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
COST
axbx+ayby+azbz
.a/a/a/..b^b/bz?
-ij
cuaFhaxay
bxby
k
az,c=|a，bsin。
.例：
线速度：
vnw^r.
bz
ax向量的混合积：
[abc]=（aHb）c=bx
Cx代表平行六面体的体积。
ayaz
bybz=a"cycz
平面的方程：
1点法式:
A（x-X。
）B（y-y°）C（z-Zo）=0,其中n={A,B,C},Mo（x°,y°,Zo）
2、一般方程：
AxByCz^0
3、截距世方程：
-
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d=咫+By°+CZo+D.
JA2+B2+C2
x=x0mt
空间直线的方程：
心0=士必=彳旦=t,其中二{m,n,p};参数方程：
y=y0+ntmnp
z=z0+pt
二次曲面：
222
1、椭球面:
笃.与刍=1
abc
22
2、抛物面：
xy=z,（p,q同号）
p2q八
3、双曲面：
222
单叶双曲面：
笃•％—刍=1
a2b2c2
222
双叶双曲面：
二生二=1（马鞍面）
a2b2c2
多元函数微分法及应用
全微分:
dz
dxdy
.:
x■:
y
du
dz
全微分的近似计算：
:
z:
dz二fx（x,y）：
xfy（x,y）：
y
多元复合函数的求导法：
dz
.:
v
/z
:
z
.:
u:
z
-：
v
z=f[u（x,y）,v（x,y）]
—•
——+——
f
.x
-u
:
x:
v
:
x
当u二u（x,y）,v=v（x,y）时，
cu亠e
:
v
:
v
dudxdy
x:
y
dv
=dx:
x
一dy■y
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=0,
dy_
Fx
d2y
柱
dx
Fy
dx2
:
X
隐函数F（x,y,z）二0,
:
z
Fx
/z
Fy
:
X
Fz
:
y
Fz
z=f[u（t）,v（t）]
dt:
u土
隐函数方程组：
F（x,y，u，v）=o
2（x,y,u,v）=0
j_”F,G）
.:
（u,v）
奇-alCG一cu
VV
FG
uu
FG
哥別CGCV
:
u
1
；:
（F,G）
:
v
1
；:
（F,G）
.X
j
：
：
（x,v）
:
X
j
：
:
（u,x）
.:
u
1
；:
（F,G）
.:
v
1
；:
（F,G）
y
j
汽y,v）
:
y
j
：
:
（u,y）
微分法在几何上的应用：
x=（t）
空间曲线y，（t）在点M（Xo,y°,Zo）处的切线方程：
兰（to）'■（to）（to）
Z=：
：
：
（t）
在点M处的法平面方程：
「（t0）（x「x0）•（t0）（y「y0）…「（to^z-Zo）=0
若空间曲线方程为：
伏y：
：
0,则切向量I
Fy
Fz
Fz
Fx
Fx
Fy
Gy
Gz
G
Gx,
Gx
Gy
}
曲面F（x,y,z）=0上一点M（xo,y°,Zo）,则:
1、过此点的法向量:
n叫Fx（X。
，yo,Zo）,Fy（X。
yo,Zo）,Fz（xo,yo,Zo）}
2、过此点的切平面方程:
Fx（xo,y°,Zo）（x-Xo）Fy（xo,y°,Zo）（y-yo）FZ（xo,yo,z°）（z-z°）=0
3、过此点的法线方程:
x-xoy-yoz-Zo
Fx（Xo,yo,Zo）Fy（xo,yo,Zo）Fz（x。
，y。
，Zo）
方向导数与梯度：
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
-ffco^fsin，
cldxcy
其中「为x轴到方向I的转角。
f:
f—
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）'i'j
excy
它与方向导数的关系是：
丄=gradf（x,y）e，其中e=cos，「sin「，为I方向上的
单位向量。
-f是gradf（x,y）在l上的投影。
-l
多元函数的极值及其求法：
fxy（Xo,yo）=B,fyy（Xo,yo）=C
设fx（xo,yo）=fy（xo,yo）=0，令：
fxx（xo,yo）=A,
AC-B2>0时,贝U:
{AC—B2£0时,
‘Aco,（xo,y°）为极大值
>0,（x0,y0）为极小值无极值
AC-B2=0时,
不确定
重积分及其应用:
11f（x,y）dxdy二f（rcosv,rsin"rdrdj
DD'
二f（x,y）的面积A二
②噹卜dy
JfxP（x,y）db“yP（x,y）db
平面薄片的重心：
_Mxd_Myd
x,y=
Mt（x,y）d匚MII：
（x,y）d-
DD
曲面z
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix=Uy?
P（x,y）dDD
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a■0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz}，其中:
l£“P（x,y）xdbl£“P（x,y）ydb厂—tP（x,y）xdb
Fx二f3，Fy二f3，Fz二-fa3
D/222㊁D/222空D/222勺
（xya）?
（x■y■a）2（xya）2
柱面坐标和球面坐标：
x=rcos日
hif（x,y,z）dxdydz：
iiiF（rj,z）rdrdnd乙
柱面坐标：
y=rsin^,
z=z
其中：
F（rj,z）=f（rcos’rsin^,z）
x二rsin「cos^
球面坐标：
y=rsin^sin。
dv=rd®rsin^d&dr=r2sin^dr^d^
z=rcos申
-
2兀JT「（初
f（x,y,z）dxdydz二F（r,门）r2sindrddd「F（r,:
j）r2sindr
000
其中M=x：
iHdv
Q
lz=...（x2y2r-dv
Q
111
重心：
xx】dv,yy「dv,zz「dv,
M五MMq
转动惯量：
Iin（y2z2）;?
dv,Iin（x2z2）;?
dv,
QQ
曲线积分:
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
x（t）
（a<^P）,则：
P）特殊情况：
"x=t
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
丿x/）,
y=w（t）P
f（x,y）ds「f［「（t）；（t）］「2（t）'-2（t）dt（:
:
:
L：
■
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
X=e（t），则：
y」（t）
P
二{p[：
：
（t）,（t）r':
（t）-q[（t）r-（t）}dta
系：
Pdx亠Qdy=（Pcos：
：
£亠Qcos|.'）ds，其中
L
的方向角。
设L的参数方程为
P（x,y）dx■Q（x,y）dyl'
两类曲线积分之间的关
:
.和『'分别为
L上积分起止点处切向量
格林公式：
ii（竺
Dex
当P-_y,Q=x,即:
；:
y
；:
Q
）dxdy=Pdx-.-Qdy
L
格林公式:
平面上曲线积分与路径
1、G是一个单连通区域;
=2时，得到
；x:
y
无关的条件：
D的面积:
=PdxQdy
L
1
=dxdyxdy—ydx
2L
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数
，且
竺=空。
注意奇点，女口（0,0），应
；:
x；:
y
减去对此奇点的积分，
二元函数的全微分求积
在=上时，Pdx:
:
Qdy才是二元函数;:
x:
y
（x,y）
u（x,y）二P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设
注意方向相反!
u（x,y）的全微分，其中:
X。
=yo=0。
（xo，y°）
曲面积分:
JJf（x,y,z）ds=fff[x,y,z（x,y）]J+z；（x,y）+z：
（x,y）dxdy
ZDxy
11P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy，其中：
z
!
!
R（x,y,z）dxdyR[x,y,z（x,y）]dxdy，
ZDxy
!
」P（x,y,z）dydz二P[x（y,z）,y,z]dydz，
ZDyz
iiQ（x,y,z）dzdx：
：
iiQ[x,y（z,x）,z]dzdx，
Z
对面积的曲面积分:
对坐标的曲面积分:
取曲面的上侧时取正
取曲面的前侧时取正
取曲面的右侧时取正
Dzx
号;
号;
号。
两类曲面积分之间的关系：
iiPdydzQdzdx-Rdxdy=（Pcos二亠Qcos）亠Rcos）ds
zz
高斯公式：
FPEQFR
iii（）dv=「PdydzQdzdxRdxdy二（Pcos>「Qcos：
Rcos）ds
「:
x:
yz<
高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
div=———,即：
单位体积内所产生的流体质量，若di^0,则为消失…
excycz
通量：
iiAnds二Andsii（Pcos=，Qcos：
Rcos）ds，
zzz
因此，高斯公式又可写成：
divAdv二山Ands
QZ
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:
（RrQcPcRcQcP
!
!
（）dydz（）dzdx（）dxdy二：
PdxQdyRdz
t^y^
cz次
ex
cy
r
dydz
dzdx
dxdy
cosot
cosP
cosY
上式左端又可写成：
II
=fj
E
J』工
次
旁
cz
I
ex
cz
P
Q
R
P
Q
R
空间曲线积分与路径
无
关的•
条件：
cRcQ
cP
cRcQ
5
dP
cz.
i—.i—.
dxex
i
旋度：
rotA=—
dx
P
k
.:
z
R
向量场A沿有向闭曲线
-的环流量：
-PdxQdyRdz二■-Atds
1、
正项级数的审敛法
根植审敛法（柯西判
'Pc1时，级数收敛
设
P=lim叮叮，贝9<
n—
P>1时，级数发散
kP=1时，不确定
2、
比值审敛法：
11
|><1时，级数收敛
设
p=iimU^L，则n^C（Jn
^p>1时，级数发散
v/n
P=1时，不确定
3、
定义法：
n
sn=u1•U2亠'亠u
;lim.sn存在，则收敛；否则发
别法）：
散。
rr
常数项级数:
等比数列：
n
1qq2、，q2=q
1-q
等差数列：
（n1）n
123亠亠n=
2
调和级数：
1丄丄…——1是发散的
23n
级数审敛法:
交错级数u^u2u3-U4•…（或-U,U^U<,Un0）的审敛法莱布尼兹定理：
如果交错级数满足（Un占Un；，那么级数收敛且其和s兰u,,其余项rn的绝对值rn兰Un+。
limun=0nr：
：
n
绝对收敛与条件收敛：
（1）比*U2亠■Un•…，其中Un为任意实数;
（2）5+U2|+比|+…+|Un+…
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果
（2）发散，而
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
调和级数：
a1发散，而a收敛；
nn
级数：
a—收敛；
n
p级数：
P乞1时发散
p.1时收敛
幕级数:
1XX2x3xn
X：
：
：
1时，收敛于
X兰1时，发散
1
1-X
对于级数（3）a0•-a2x2亠■亠anxn•…，如果它不是仅在原点
收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存
/|xcR时收敛
在R,使｛|x>R时发散\x=R时不定
其中R称为收敛半径。
求收敛半径的方法：
设
=『，其中
an，
an.1是（3）的系数，则
?
-0时，R=±
P
r-0时，R二•：
：
—•:
:
时，r=0
函数展开成幕级数:
（n）
函数展开成泰勒级数:
f（x）=f（xo）（x-xo）¥（x-X0）2「屮（x-X0）n
余项：
R
f（n4）（、
-^^（x-x0）n1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
］im._Rn=0
x0=0时即为麦克劳林公式:
f（x）二f（0）f（0）x~^x2:
;…川
2!
如n,.
n!
些函数展开成幕级数:
mm（m-1）2
（1x）1mxx
2!
35
.X丄X丄n」‘、
sinx=x''（_1）
3!
5!
（2n—1）!
亠.亠m（m-1）（m-n1）訂.
n!
（―1:
:
X<1）
X2n」
ix.ix
e十e
cosx=
2
ix-ix
e-esinx二
欧拉公式：
ix
ecosxisinx
三角级数:
af（t）=Ao…二Ansin（n，t：
In）?
…二（ancosnxbnsinnx）
n_12n_1
其中，ao=aAo,an=Ansinn,b^Ancos\,t=x。
正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在［-二，二］
上的积分=0。
傅立叶级数：
f（x）—7（ancosnx-bnsin
2n1
1■:
f（x）cosnxdx
1■:
f（x）sinnxdx
nx），周期=2二
r
an
（n=0,1,2…）
其中
bn
（n=1,2,3…）
正弦级数:
an=0,
余弦级数:
bn=0，
周期为21
8
兀
24
2
JI
1
.尹
1
2
bn
an
11
.11
223^4^
2二f（x）sinnxdx
■:
0
2■:
f（x）cosnxdx
二0
-2
-（相加）
6
-2
-（相减）
12
n=
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