大学高数常用公式大全.docx

1、大学高数常用公式大全导数公式:(tgx) =sec x(ctgx)二-csc2 x (secx) = secx tgx (cscx)二-cscx ctgx (axf-axln a(log ax)-xln a基本积分表： 三角函数的有理式积分:Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx =1 n sin x +CJsecxdx = In secx+tgx +Ccscxctgx| “Ccscxdx 二 Indx2 2a xdx.2 2x -adx2 2a -x dxarctg C aIn2a12aInx a+ ax C-x2-xa.x + 二arcs in CaIn2二 sinn xdx

2、0cos0高等数学公式(arcsin x) = 1J1 _ x(arccos x)=,1心x2(arctgx)1 +x11 x2(arcctgx)=dxJ 2cos xdxJ_2sin x2=sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx Csecx tgxdx = secx Ccscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx CIn ashxdx = chx Cchxdx = shx Cdx.x2 _ a22usinx 1 u2，x2 a22 2x -adxdx! ：a2 _x2dxXdX 2 In,n 2 i 2 a2 a In(x , x2 a2) C2. 2x/2

3、 2 a=+ x -a -一In x2 2 2x 2 2 a . x二 a - x arcs in C2 2 a.x2 - a2丄 x , 2du u = tg , dx 21 u2一些初等函数:两个重要极限:x . x双曲正弦：shx=e -2x , _x双曲余弦：chx=-2lim沁x刃x=1lim （1 ）x =e =2.718281828459045 j xx _x双曲正切:thx二空=-x电 chx e +earshx =1 n（x . x2 1）archx 二 ln（x x2 -1）arthx2 1 -x三角函数公式:诱导公式：-和差角公式:函数角Asincostgctg-a-si

4、n acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 - a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 - asin acos atg actg a-和差化积公式:sin（： 二 I ） =sin ： cos二cos： sin : cos（： ：） =cos： cos ：

5、 -sin ： sin :R a + P a - Psin ： sin 2sin cos2 2tg ； -tg :1 二 tg： tg ：ctg（二 i ）=ctg ： ctg ： _1 ctgi 二ctg：sin 匚-sin :Ct二 2cos2a - P011 12cos： cos：a+ 1 0E-P=2cos2cos2COS； -COS :a+ P a-P一 2sin2-sin2倍角公式:sin 2： = 2sin ： cos：cos2：2 2= 2cos 1 =1 2 sin cossin3：=3sin二一4sin3:2_ ctg 12ctg :-cos3：tg2,洱于1 -tg a3

6、3tga -tg a tg3 1-3tg2aa1 -cos：sin=斗 2 2a1 - cos：tg2=+ i ；1 cos：-半角公式:1-cosj sisin ： 1 cos：1 cos：cos 2 2丄 a ：1+cosa1 cos：si n。ctg2 . 1 - cos：si n：1 - cos：余弦定理：c2 = a2 b2 -2abcosC正弦定理：a b c 2Rsin A sin B sin C-反三角函数性质:Ttarcs in x 二 arccosx2Ttarctgx arcctgx2高阶导数公式 莱布尼兹( Leibniz )公式：n(uv)(n)八 cnvn“)v(k)

7、k(n)丄(nJ) * 丄 n(n 一0 (n_2) 丄丄 n(n 一1厂(n-k*1) (n_k) (k)丄丄(n)二u v nu v u v u 十 uv2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) = f ()(b-a)柯西中值定理：如IM二山F(b)-F(a) F 徉)当F(x) =x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds = . 1 y 2dx,其中y二tg化量；s： MM弧长。平均曲率：-：从M点到M点，切线斜率的倾角变 直线：K =0;M点的曲率:Aa daysn dsJ(1* 2、3+ y )K二叭1半径为a的圆：K二一.a定积

8、分的近似计算:b矩形法：f(x)ab - a(y。 ynj)nb梯形法：f (x)a:口by。yJ % yZn 2b抛物线法：f (x)ab a(yo yn) 2(y2 目43nyn)4(yi y3 yn)定积分应用相关公式：功：W = F s 水压力：F = p A引力：F =km,k为引力系数。r函数的平均值:babf(x)dxa均方根:bf2(t)dta空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d = M1M2 =1(x2 X1)2 +卜2 -yJ2 +(Z2 zi)2 向量在轴上的投影：PrjuAB二AB cos严是AB与u轴的夹角。Prju(Q a?) =Pr ja1 Pr ja?a

9、b = a b cos =axbx +ayby +azbz,是一个数量,两向量之间的夹角:COSTaxbx+ayby +azbz. a/ a/ a/ . b b/ bz?-i jcuaFhax aybx bykaz,c=|a，bsi n。.例：线速度：vnwr.bzax 向量的混合积：abc =(aHb) c = bxCx 代表平行六面体的体积。ay azby bz =a0时, 贝U: AC B2 0时,A co,(xo,y)为极大值 0, (x0, y0 )为极小值 无极 值AC - B2 =0 时,不确定重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy 二 f(rcosv,rsin rdrd

10、 jD D 二f (x, y)的面积A二噹卜dyJfxP(x,y)db “yP(x,y)db平面薄片的重心：_ Mx d _ M y dx , y =M t(x, y)d匚 M I I ： (x, y)d-D D曲面zD平面薄片的转动惯量： 对于x轴I x = Uy? P(x, y)dr, 对于y轴I y = |/x(x, y)dcD D平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:l “ P(x,y)xdb l “ P(x,y)ydb 厂 t P(x,y)xdbFx 二 f 3， Fy 二 f 3， Fz 二-fa 3D/222 D/

11、222 空 D/2 22 勺(x y a )? (x y a )2 (x y a )2柱面坐标和球面坐标：x = r cos日hi f(x,y,z)dxdydz： iii F(r j,z)rdrdnd乙柱面坐标：y =r sin,z = z其中：F(rj,z) = f (r cosr sin,z)x 二 rsincos球面坐标：y=rsinsin。, dv = rd rsin d& dr=r2sindrdz = r cos申-2兀JT (初f (x,y,z)dxdydz二 F(r,门)r2sin drd d d F(r, :j)r2 sin dr0 0 0其中 M =x： iHdvQlz =

12、. (x2 y2r-dvQ111重心：x x】dv, y ydv, z zdv,M 五 M M q转动惯量：I in (y2 z2) ;?dv, I in (x2 z2) ;?dv,Q Q曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：x (t)(a Qcos： Rcos )ds:x :y z 高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：div= ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若di 0,则为消失ex cy cz通量：iiA nds 二 Ands ii(Pcos=，Qcos： Rcos )ds，z z z因此，高斯公式又可写 成： div Adv二山AndsQ Z斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积

13、分的关系:(R rQ cP cR cQ cP! !( )dydz ( )dzdx ( )dxdy 二：Pdx Qdy Rdztycz 次excyrdydzdzdxdxdycosotcos PcosY上式左端又可写成：II=fjEJ 工次旁czIexczPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：cR cQcPcR cQ5dPcz.i. i.dx exi旋度：rotA = dxPk.:zR向量场A沿有向闭曲线-的环流量：-Pdx Qdy Rdz 二- A tds1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判Pc1时，级数收敛设P = lim叮叮，贝9 1时，级数发散k P =1时，不确定2、比值审敛法：

14、1 1|1时，级数发散v/ nP=1时，不确定3、定义法：nsn = u1 U 2 亠亠 u;lim .sn存在，则收敛；否则发别法）：散。r r常数项级数:等比数列：n1qq2、，q2= q1 -q等差数列：(n 1)n1 2 3亠 亠n =2调和级数：1丄丄1是发散的2 3 n级数审敛法:交错级数uu2 u3 -U4 （或-U, UUR时发散 x = R时不定其中R称为收敛半径。求收敛半径的方法：设=，其中an，an .1是(3)的系数，则? - 0 时，R = Pr - 0时，R 二：:时，r = 0函数展开成幕级数:(n)函数展开成泰勒级数:f(x) = f(xo)(x-xo) (x-

15、X0)2屮(x-X0)n余项：Rf (n 4)(、- (x -x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：im._Rn=0x0 =0时即为麦克劳林公式:f (x)二 f (0) f(0)x x2 :;川2!如n ,.n!些函数展开成幕级数:m m( m -1) 2(1 x) 1 m x x2!3 5. X 丄X 丄 n 、sin x = x ( _ 1)3! 5! (2n 1)!亠.亠 m(m -1) (m -n 1)訂.n!(1 : X 1)X2nix . ixe 十ecos x =2ix -ixe -e sin x 二欧拉公式：ixe cos x i sin x三角级数:a

16、 f (t) = Ao 二 An sin( n ，t ： In) ?二(an cos nx bn sin nx)n _1 2 n _1其中， ao =aAo, an = An sin n, b An cos , t = x。正交性：1 ,sin x, cos x,sin 2x,cos2x sin nx,cos nx 任意两个不同项的乘积 在-二，二上的积分=0。傅立叶级数：f (x) 7 (an cos nx - bn sin2 n 11 :f (x)cos nxdx1 :f ( x)sin nxdxnx)，周期=2二ran(n = 0,1,2)其中bn(n =1,2,3)正弦级数:a n = 0,余弦级数:bn = 0，周期为218兀242JI1.尹12bnan1 1.1 122 3 42 二 f (x) sin nxdx: 02 :f ( x) cos nxdx二 0-2-(相加)6-2-(相减)12n =