三角形等高模型与鸟头模型二含详细解析.docx
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三角形等高模型与鸟头模型二含详细解析
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积=底乂高+2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形顺口高的乘积.
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的g,则三角形面积与原来的一样.这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S：
S2="：
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S；
反之，如果S,"=S3＞，则可知直线A8平行于CO.
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如图在八钻。
中，DE分别是A3.AC上的点如图⑴（或。
在加的延长线上，E在AC上），
贝：
Sag=（A8xAC）:
（AOxAE）
D
【例1】
如图在八钻。
中，DE分别是ARAC上的点，且AD:
AB=2:
5,A£:
AC=4:
7,S=16平方厘
米，求人钻。
的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答
【解析】连接应：
zSa3：
Sce=AO:
A8=2:
5=（2x4）:
（5x4）,
S58e：
Sm8c=AE：
AC=4:
7=（4x5）:
（7x5），所以S△仙5'△血=（2x4）:
（7x5），设50庇=8份，则S△机=35份，SA/=16平方厘米，所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
【答案】70
【巩固】如图，三角形A8C中，4?
是包的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形的面积等于1,那么三
角形A3C的面积是多少?
【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星
【题型】解答
【解析】连接BE.
VEC=3AE
/•S.RC=3sARFa/lot
又••S./se=Sjse+5=S+15f..S^ABC=^5S^ade=15.
【答案】15
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=69乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
A
【题型】解答
【解析】连接AP.
•：
BE=3,AE=6
“BDE
S乙=5s甲.
：
.AB=3BE,S烦=3S又•••BD=DC=4,
•S'*c=2s“I即/••Sjbc=6S&BDE
【答案】5
【例2】如图在ZVIBC中，。
在的延长线上，£在从。
上，且AB:
AO=5:
2,A£：
£C=3:
2,平方厘米，求△ABC的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答
【解析】连接BE,S49£：
S“m.=AO：
/48=2:
5=（2x3）:
（5x3）
S△一：
S△皿=AE：
AC=3:
（3+2）=（3x5）:
[（3+2）x5],
所以S-：
S"8C=（3X2）:
[5X（3+2）]=6:
25,设5a皿=6份，则S△皿=25份，S—=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
【答案】50
【例3】如图所示，在平行四边形ABCO中，E为A8的中点，AF=2CF,三角形AFE（图中阴影部分）的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答
[解析]连接所.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3x2）=6倍.因此，平行四边形的面积为8x6=48（平方厘米）.
【答案】48
【例4】已知ADEF的面积为7平方厘米,
小学奥数特训营
BE=CE.AD=2BD.CF=3AF,求/XABC的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星
【题型】解答
【解析】
【答案】
s.BDE：
S△,=（BDXBE）:
（BAXBC）=（IXD：
（2X3）=1:
6,
S，3：
S=（CExCF）:
（C8xC4）=（lx3）:
（2x4）=3:
8
S/adf:
S/abc=（4。
xAF）：
（A3xAC）=（2xl）：
（3x4）=l:
6
设s△诙=24份，则s△皿=4份，S&W=4份，Smef=9份，S△叫=24-4-4-9=7份，恰好是7平
方厘米，所以黑皿=24平方厘米
24
【例5】
如图16・4,已知.AE=1aC,CD=-BC,
54
bf」ab,那么界T吗等于多少?
6三角形ABC的面积
困16-4
【题型】解答
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星
【关键词】迎春杯，决寒，第一题，9题【解析】如下图，连接AD,BE,CF.
AEE=7XTS&ABC=WS&ABC.
36o
，所以Saabeu^xSaabcKSa.abcAC3
AF
同理有S'臼户石S"BE・即=Sd
14
类似的还可以得到
^AABC=-S^abC，^ABDF=-X-SaaBC=WS^ABC.
所以有Smef=Saabc-（S4aef+S^de+Sabd1；）=（1------）Saabc=——SziABC.ODo1ZU
三角形DEF的面积.61为三角形ABC的面积120
【答案】
61
120
小学奥数特训营
【例6】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中4?
:
8E=2:
5,BC:
CD=3:
2,三角形加陀的面积是
【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答
【解析】由于48。
+/。
3E=180°,所以可以用共角定理，设他=2份，8c=3份，则BE=5份，
30=3+2=5份，由共角定理打皿：
/皿=5人80：
（砥、8。
）=（2><3）:
（5乂5）=6:
25,设52*=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25x0.5=12.5平方厘米，三角形比花的面积是12.5平方厘米
【答案】12.5
【例7】如图所示，正方形AB8边长为6厘米，AeRaC,CF=\-BC.三角形。
印的面积为平
33
方厘米.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答
【关键词】走美杯，五年级,初容
11o
【解析】由题意知AE=1AC、cf，bc，可得CE=4AC.根据"共角定理''可得，
333
：
S“6r=（CExCE）:
（C3xAC）=（lx2）:
（3x3）=2:
9；而黑丽=6x6+2=18；所以5&5=4；同
理得，S^CDE:
S^ACD=213;rSmde=18+3x2=12，S.df=6
故Sf'DEF=Smef+S/XOEC一S,adfc=4+12—6=10（平方厘米）.
【答案】10
【例8】如图，已知三角形A8C面积为1,延长至。
，^BD=AB；延长3C至E,使CE=23C；延长G4至F,使A尸=3AC,求三角形。
的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星
［解析】（法1）本题是性质的反复使用.
连接A£、CD.
S1
••乙人贸・_士q-1
Mdbc1
•S、dbc=1"
【题型】解答
同理可得其它,最后三角形DEF的面积=18.
（法2）用共角定理：
在“3c和△（7在中，ZAC8与ZFCE互补,
Sabc_ACBC_1x1_1
S..rFFCCE4x28
又Sjbc=1,所以S“cE=8.
同理可得*的=6,S,bde=3•
所以S’def=S1tAec+S&fce++S8血=1+8+6+3=18.
【答案】18
【例9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的鸟头模型
EA
有△EAD、△ADB同高，所以面积比为底的比，有"皿=25”皿•
AB
ah
同理工小〃=3S©。
=6Sa八go.
类似的,还可得^SjcG=6SxBcd'有+5；fcg=6（5,m:
）+5次£））=65［皿£）=3（）平方厘米.连接AC,AF,HC,还可得=6S»8c,S^DHG=（）S^ACD,
有,防8+S&dhg=6（Sa.sc+Sjcd）=6Sabcd=3。
平方厘米・
有四边形EFGH的面积为^EAH.△FCG△EFB.△DHGABCD的面积和，即为30+30+5=65（平方厘米.）
方法二：
连接BD,有&EAH、△ABD中NEAD+/BAD=1800
EAxAH
又夹成两角的边EA、AH,AB、AD的乘积比,———=2x3=6,所以5包叫=6S4bd-
ABxAD
类似的,得$与（匕=65他《旭/有S^ah+$与（P=6（Saabd+Sabcd）=6Sabcd=305pTjJBtK.
连接AC,还m•（亏$维］：
8=6S&abc'Sa［）hg=6Saacdr
WSaeeb+Sadhg=6（Saabc+Sa
有四边形EFGH的面积为aEAH,△FCG,△EFB,△DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米.
【答案】65
【例10］如图，平行四边形A5c0,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD9平行四边形ABC。
的面积是2,求平行四边形ABC。
与四边形ER7H的面积比.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】连接AC、BD.根据共角定理
•:
在△ABC和48庄中，ZABC与4冷£互补，
ABBC_1义1_1
BEBF=M=3
DHG=15/S^AEH=8.
所以Sefgh
S4AEH+Smfg+S^DHG+S△诋+S.Ai=8+8+15+3+2=36.
所以*■=
、EFGH
【F
2_1
36~18.
【例11］如图，四边形日7GH的面积是66平方米，EA=AB9CB=BF,DC=CG9ZM,求四边形A5C。
的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】连接8。
.由共角定理得“友力：
548尸=（°。
乂。
3）：
（。
6><。
r）=1：
2,即%ek=2S“°s
同理S&A8D*SaaHE=1：
21即§4AHE=2s4村口
所以S,“〃£+S“gf=2（Sacs。
+S^adb）=2s四边形.四
连接AC,同理可以得到S&DHG+S&BEF=2s四边如se
S四边形"G/7=S^ahe+/+S△HDG+：
\BEF+Mq边开乂比刀=5s四边
所以S；【答案】13.2
四边形ns=66+5=13.2平方米
【例12］如图，将四边形A8C。
的四条边4?
、CB、CD、A。
分别延长两倍至点£、F、G、H,若四边形A8C。
的面积为5,则四边形EFGH的面积是.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星
【解析】连接AC、BD.
由于BE=2AB,BF=2BC,于是邑的=45*斯，同理邑的=45»M.
于是S油EF+S5/x；=4sgsc+45»的=4S-
再由于AE=3AB,AH=3AD,于是叉他，=95»血，同理邑由=95皿》•
于是Saw+S/g=9sgbd+9S、cbd=9Sabcd-
那么Sefgh=S油ef+Smog+S*®+^acfg-^abcd=^abcd+^^abcd~^abcd=12sAec口=6。
.
【答案】60
【例13］如图，在八针。
中，延长4?
至。
，使%>=",延长8c至E,使CE」8C,r是AC的中点,2
若的面积是2,则△/）"的面积是多少?
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答
【解析】:
在八45。
和△（7庄中，Z4C3与NFCE互补，
•Su雨_AC3C_2x2_4
SafceFCCE1x11
又S：
c=2,所以S,me=。
5.
同理可得S△皿_=2，Same=3-
所以S^def=S△曲+S△印+Saqes—=2+0.5+3-2=3.5
【答案】3.5【例14】如图，S^ABC=1,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE9AF=FG.求
A
【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答
【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是‘当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况.
最后求得S△的的面积为S△公=IX7X|X|X|=77-
JD乙乙1U
【答案】奈
【例15］如图所示,正方形ABC。
边长为8厘米，E是AD的中点，尸是CE的中点，G是8户的中点，三角形A8G的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AF、EG.
因为S：
=Same=；x8?
=16,根据'‘当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比'S,e=8,S、efg=8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比“，得到S.c=16,Sw.e=32,SAABf.=24,所以又由=12平方厘米-
【答案】12
【例16】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形止F,则MGF与ACE”都是正三角形.
假设正六边形的边长为为。
，则A4GF与△CEH的边长都是加，所以大正三角形。
/犷的边长为
4x2-1=7,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形
组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形。
/沪的面积为号.
66
由于E4=4a,FB=3a，所以AA/,方与三角形的面积之比为力』=2.
7749
17
同理可知^BDC、MEC与三角形DEF的面积之比都为—,所以MBC的面积占三角形DEF面积的
49
1-—x3=—，所以AA8C的面积的面积为4=U.
49496496
【答案】F
6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形MCQE的面积是
【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答
【解析】从图中可以看出，虚线和虚线C£＞外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线班外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的-，所以虚线外图形的面积等于1x3+12=3,，所以五边形的面积是10-31=6^.
66333
【答案】61
【例17］仅用下图这把刻度尺，最少测量
次,就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
【考点】三角形的鸟头模型【难度】5星
【关键词】学而思杯，6年级，第10题
【解析】连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知,三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED,故
最少测量1次就可解决问题。
【答案】1次
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