七年级数学下册第4章《因式分解》培优测试题浙教版.docx
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七年级数学下册第4章《因式分解》培优测试题浙教版
第4章《因式分解》单元培优测试题
班级_________姓名_____________得分_____________
注意事项：
本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A﹒2x2+8x－1＝2x（x+4）－1B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10
C﹒x2－8x+16＝（x－4）2D﹒6ab＝2a·3b
2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）
A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+aD﹒（a－2）2－2（a+2）+1
3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）
A﹒5mnB﹒5m2n2C﹒5m2nD﹒5mn2
4﹒下列因式分解正确的是（）
A﹒－a2－b2＝（－a+b）（－a－b）B﹒x2+9＝（x+3）2
C﹒1－4x2＝（1+4x）（1－4x）D﹒a3－4a2＝a2（a－4）
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）
A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+
C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2
6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）
A﹒M＞NB﹒M≥NC﹒M≤ND﹒不能确定
7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x－3），则a+b的值是（）
A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1
8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）
A﹒－1B﹒1C﹒－2D﹒2
9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）
A﹒490B﹒245
C﹒140D﹒1960
10.已知:
a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）
A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.请从4a2，（x+y）2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒
12.用简便方法计算：
20172－34×2017+289＝_________﹒
13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒
14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝___________﹒
15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒
16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（8分）分解因式：
（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2﹒
（2）5a3b（a－b）3－10a4b2（b－a）2﹒
18.（10分）分解因式：
（1）（x2+16y2）2－64x2y2﹒
（2）9（x－y）2－12x+12y+4﹒
19.（10分）分解因式：
（1）ac－bc－a2+2ab－b2﹒
（2）1－a2－4b2+4ab﹒
20.（8分）已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足（m+4）2－（n+4）2＝16，求代数式m2+n2－
的值﹒
21.（8分）如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；
（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒
22.（10分）设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2？
若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒
23.（12分）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：
4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒
（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？
为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？
为什么？
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
B
A
D
A
D
二、填空题
11﹒答案不唯一，如：
4a2－16＝4（a+2）（a－2）﹒12﹒4000000﹒13﹒7﹒
14﹒
﹒15﹒a2015（a－2）2﹒16﹒2a+b，a+b﹒
三、解答题
17.
（1）解：
－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2（2a+5b－1）﹒
（2）解：
5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2
＝5a3b（a－b）3－10a4b2（a－b）2
＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab）﹒
18.
（1）解：
（x2+16y2）2－64x2y2
＝（x2+16y2）2－（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2－8xy）
＝（x+4y）2（x－4y）2﹒
（2）解：
9（x－y）2－12x+12y+4
＝[3（x－y）]2－12（x－y）+22
＝[3（x－y）－2]2
＝（3x－3y－2）2﹒
19.
（1）解：
ac－bc－a2+2ab－b2
＝c（a－b）－（a2－2ab+b2）
＝c（a－b）－（a－b）2
＝（a－b）[c－（a－b）]
＝（a－b）（c－a+b）﹒
（2）解：
1－a2－4b2+4ab
＝1－（a2－4ab+4b2）
＝1－（a－2b）2
＝[1+（a－2b）][1－（a－2b）]
＝（1+a－2b）（1－a+2b）﹒
20.解：
∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，
∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，
又∵（m+4）2－（n+4）2＝16，
∴（m+n+8）（m－n）＝16，
8（m－n）＝16，
∴m－n＝2②，
联立①②得
，解得
，
∴m2+n2－
＝1+1+1＝3﹒
21.解：
（1）观察图形知：
九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，
所以2a2+5ab+2b2可分解为（2a+b）（a+2b），
故答案为：
（2a+b）（a+2b）﹒
（2）由题意，知：
2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
则6a+6b＝6（a+b）＝6×7＝42，
答：
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒
22.解：
能，假设存在实数k，
（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）
＝（2x－y）（－2x－y）
＝－（2x－y）（2x+y）
＝－（4x2－y2）
＝－4x2+y2，
把y＝kx代入，原式＝－4x2+（kx）2＝－4x2+k2x2＝（k2－4）x2，
∵多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2，
∴（k2－4）x2＝5x2，
∴k2－4＝5，解得k＝±3，
故满足条件的k的值有3或－3﹒
23.解：
（1）是，∵28＝2×14＝（8－6）（8+6）＝82－62，2016＝2×1008＝（505－503）（505+503）＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；
（2）是，∵（2k+2）2－（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2－2k）＝4（2k+1），∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒
（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），
则（2k+1）2－（2k－1）2＝（2k+1+2k－1）（2k+1－2k+1）＝4k×2＝8k，
此数是8的倍数，由
（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒
Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A﹒2x2+8x－1＝2x（x+4）－1B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10
C﹒x2－8x+16＝（x－4）2D﹒6ab＝2a·3b
解答：
A﹒右边2x（x+4）－1不是积的形式，故A项错误；
B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10，是多项式乘法，不是因式分解，故B项错误；
C﹒x2－8x+16＝（x－4）2，运用了完全平方公式，符合因式分解的定义，故C正确；
D﹒6ab＝2a·3b，左边不是多项式，故D错误﹒
故选：
C﹒
2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）
A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+aD﹒（a－2）2－2（a+2）+1
解答：
因为A﹒a2－1＝（a+1）（a－1）；B﹒a2+a－2＝（a+2）（a－1）；C﹒a2+a＝a（a+1）；
D﹒（a－2）2－2（a+2）+1＝（a+2－1）2＝（a+1）2，
所以结果中不含有因式a+1的选项是B﹒
故选：
B﹒
3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）
A﹒5mnB﹒5m2n2C﹒5m2nD﹒5mn2
解答：
多项式15m3n2+5m2n－20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有相同字母m，n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以多项式的公因式是5m2n﹒
故选：
C﹒
4﹒下列因式分解正确的是（）
A﹒－a2－b2＝（－a+b）（－a－b）B﹒x2+9＝（x+3）2
C﹒1－4x2＝（1+4x）（1－4x）D﹒a3－4a2＝a2（a－4）
解答：
A﹒－a2－b2＝－（a2+b2），不能进行因式分解，故A项错误；B﹒多项式x2+9不能进行因式分解，故B项错误；C﹒1－4x2＝（1+2x）（1－2x），故C项错误；D﹒a3－4a2＝a2（a－4），故D项正确﹒
故选：
D﹒
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）
A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+
C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2
解答：
A﹒a2－2ab+4b2中间乘积项不是这两数的2倍，故A项错误；B﹒4m2－m+
中间乘积项不是这两数的2倍，故B项错误；C﹒9－6y+y2＝（3－y）2，故C项正确；D﹒x2－2xy－y2不是两数的平方和，不能用完全平方公式，故D项错误﹒
故选：
C.
6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）
A﹒M＞NB﹒M≥NC﹒M≤ND﹒不能确定
解答：
∵M＝x2+y2，N＝2xy，
∴M－N＝x2+y2－2xy＝（x+y）2≥0，则M≥N.
故选：
B.
7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x－3），则a+b的值是（）
A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1
解答：
∵（x+1）（x－3）＝x2－3x+x－3＝x2－2x－3，
∴x2+ax+b＝x2－2x－3，
∴a＝－2，b＝－3，
∴a+b＝－5，
故选：
A﹒
8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）
A﹒－1B﹒1C﹒－2D﹒2
解答：
∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，
∴x3－2x+1＝x3－x2+x2－2x+1＝x（x2－x）+x2－2x+1＝x+x2－2x+1＝x2－x+1＝1+1＝2﹒
故选：
D﹒
9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，
则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）
A﹒490B﹒245
C﹒140D﹒1960
解答：
由题意，知：
a+b＝7，ab＝10，
则a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2＝10×49＝490﹒
故选：
A.
10.已知:
a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）
A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3
解答：
∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，
∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，
∴a2+b2+c2－ab－ac－bc＝
[（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2]＝
×（1+1+4）＝3﹒
故选：
D.
二、填空题
11.请从4a2，（x+y）2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒
解答：
答案不唯一，如：
4a2－16＝4（a+2）（a－2），
故答案为：
4a2－16＝4（a+2）（a－2）﹒
12.用简便方法计算：
20172－34×2017+289＝_________﹒
解答：
20172－34×2017+289
＝20172－2×17×2017+172－172+289
＝（2017－17）2
＝20002
＝4000000，
故答案为：
4000000﹒
13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒
解答：
∵m－n＝2，
∴2m2－4mn+2n2－1
＝2（m2－2mn+n2）－1
＝2（m－n）2－1
＝2×4－1
＝7﹒
故答案为：
7﹒
14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝_______﹒
解答：
∵x2－2xy+2y2+4y+4＝x2－2xy+y2+y2+4y+4＝（x－y）2+（y+2）2＝0，
∴
，解得：
，
∴yx＝（－2）－2＝
，
故答案为：
﹒
15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒
解答：
a2017－4a2016+4a2015＝a2015·a2－a2015·4a+4a2015＝a2015（a2－4a+4）＝a2015（a－2）2，
故答案为：
a2015（a－2）2﹒
16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒
解答：
所画示意图如下，
∵2a2+3ab+b2＝a2+2ab+b2+a2+ab＝（a+b）2+a（a+b）＝（a+b）（a+b+a）＝（a+b）（2a+b），
∴所画长方形的长为2a+b，宽为a+b；
故答案为：
2a+b，a+b﹒
三、解答题
17.分解因式：
（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2
（2）5a3b（a－b）3－10a4b2（b－a）2
解答：
（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2（2a+5b－1）﹒
（2）5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2
＝5a3b（a－b）3－10a4b2（a－b）2
＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab）﹒
18.分解因式：
（1）（x2+16y2）2－64x2y2
（2）9（x－y）2－12x+12y+4
解答：
（1）（x2+16y2）2－64x2y2
＝（x2+16y2）2－（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2－8xy）
＝（x+4y）2（x－4y）2﹒
（2）9（x－y）2－12x+12y+4
＝[3（x－y）]2－12（x－y）+22
＝[3（x－y）－2]2
＝（3x－3y－2）2﹒
19.分解因式：
（1）ac－bc－a2+2ab－b2
（2）1－a2－4b2+4ab
解答：
（1）ac－bc－a2+2ab－b2
＝c（a－b）－（a2－2ab+b2）
＝c（a－b）－（a－b）2
＝（a－b）[c－（a－b）]
＝（a－b）（c－a+b）﹒
（2）1－a2－4b2+4ab
＝1－（a2－4ab+4b2）
＝1－（a－2b）2
＝[1+（a－2b）][1－（a－2b）]
＝（1+a－2b）（1－a+2b）﹒
20.已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足（m+4）2－（n+4）2＝16，求代数式m2+n2－
的值﹒
解答：
∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，
∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，
又∵（m+4）2－（n+4）2＝16，
∴（m+n+8）（m－n）＝16，
8（m－n）＝16，
∴m－n＝2②，
联立①②得
，解得
，
∴m2+n2－
＝1+1+1＝3﹒
21.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；
（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒
解答：
（1）观察图形知：
九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，
所以2a2+5ab+2b2可分解为（2a+b）（a+2b），
故答案为：
（2a+b）（a+2b）﹒
（2）由题意，知：
2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
则6a+6b＝6（a+b）＝6×7＝42，
答：
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒
22.设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2？
若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒
解答：
能，假设存在实数k，
（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）
＝（2x－y）（－2x－y）
＝－（2x－y）（2x+y）
＝－（4x2－y2）
＝－4x2+y2，
把y＝kx代入，原式＝－4x2+（kx）2＝－4x2+k2x2＝（k2－4）x2，
∵多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2，
∴（k2－4）x2＝5x2，
∴k2－4＝5，解得k＝±3，
故满足条件的k的值有3或－3﹒
23.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：
4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒
（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？
为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？
为什么？
解答：
（1）是，∵28＝2×14＝（8－6）（8+6）＝82－62，2016＝2×1008＝（505－503）（505+503）＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；
（2）是，∵（2k+2）2－（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2－2k）＝4（2k+1），∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒
（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），
则（2k+1）2－（2k－1）2＝（2k+1+2k－1）（2k+1－2k+1）＝4k×2＝8k，
此数是8的倍数，由
（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒
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