分式方程的概念及解法.doc

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分式方程的概念，解法　　　　　　　　　　　

知识要点梳理

要点一：

分式方程的定义

　　分母里含有未知数的方程叫分式方程。

　　要点诠释：

　　1．分式方程的三个重要特征：

①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

　　2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知

　　　数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：

关于的方程和

　　　都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

要点二：

分式方程的解法

　　1.解分式方程的其本思想

　　　把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化

　　　为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

　　2．解分式方程的一般方法和步骤

（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2）解这个整式方程。

　　　（3）验根：

把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

　　　　分母等于零的根是原方程的增根。

　　注：

分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

　　3.增根的产生的原因：

　　对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

规律方法指导

　　1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．

　经典例题透析：

类型一：

分式方程的定义

　　1、下列各式中，是分式方程的是（）

　　A．　　　B．　　　C．　　　D．

　　　　　　举一反三：

　　【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）

　　A．分式方程　　　B．一元一次方程　　C．二元一次方程　　　D．三元一次方程

类型二：

分式方程解的概念

　　2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.

　　举一反三：

　　【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？

类型三：

分式方程的解法

　　3、解方程

　　举一反三：

　　【变式】解方程：

（1）＝;

（2）＋＝2.

类型四：

增根的应用

　　4、当m为何值时，方程会产生增根（）

　　A.2　　　B.－1　　　C.3　　　D.－3

　　　举一反三：

　　【变式】.若方程＝无解，则m＝　　　　　。

学习成果测评

基础达标

选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）

　1．要把分式方程化成整式方程，方程两边需要同时乘以（）．

　　A．2x-4　　　B．x　　　C．2（x-2）　　　D．2x（x-2）

　2．方程的解是（）．

　　A．1　　　　B．-1　　　　C．±1　　　D．0

3．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）．

　　A．1-（1-x）=1　　　　B．1+（1-x）=1

　　C．1-（1-x）=x-2　　　D．1+（1-x）=x-2

填空题

　4．已知若（a、b都是整数），则a+b的值是______．

　5．已知，则______________．

　6．已知，则分式的值为______________．

　解答题

7．解方程

（1）；　　　　

（2）．

　8．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．

综合探究

解答题

　9．先阅读下列一段文字，然后解答问题．

　　已知：

　　方程的解是x1=2，x2=；

　　方程的解是x1=3，x2=；

　　方程的解是x1=4，x2=；

　　方程的解是x1=5，x2=．

　　问题：

观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验．

　10．阅读理解题：

　　阅读下列材料，关于x的方程：

　　的解是x1=c，x2=；

　　的解是x1=c，x2=；

　　的解是x1=c，x2=；……．

（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：

．

答案与解析：

选择题

　　1.D（提示：

关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A、B、C均不能达到目的．）

　　2.D（提示：

本题不用考虑选项A、B、C，因为x=1或者-1时，原方程没有意义．只需要将x=0带入原方程检验即可．）

　　3.D（提示：

本题有两个地方需要注意：

（1）去分母时第二个分式的分子要带括号，这样可以避免符

号出错；

（2）方程的右边也要乘以（x-2）.）

　填空题

　　4.19（提示：

本题的关键是找出通项，，即可求出a、b的值．）

　　5.（提示：

先将两边平方，可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数，求得

　　　　　　　　　=15，最后再取倒数即可．）

　　6.（提示：

由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可．）

解答题

　7.

（1）3（提示：

按解方程的步骤，注意不要跳步．）

（2）无解（提示：

本题要注意解方程后一定要检验．）

　8.

（1）；图示略．

（2）（提示：

找到通项是本题关键，建议大家先关注第

（2）问．）

综合探究

解答题

　9．x1=11，x2=-；代入检验即可．

　10．

（1）x1=c，；代入检验．

（2）．