精品专题八年级数学下专题训练选择合适的方法判定平行四边形含但与试题解析.docx

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精品专题八年级数学下专题训练选择合适的方法判定平行四边形含但与试题解析

2021年选择合适的方法判定平行四边形

一、平行四边形判断方法的选择

1．（2012•杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC＝120°，∠C＝60°，∠BDC＝30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E

∠C．

（1）求证：

四边形ABDE是平行四边形；

（2）若DC＝16cm，求AD的长．

2．（2020春•朝阳区校级月考）已知，如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和F，使得DE＝BF，求证：

四边形AECF是平行四边形．

二、一组对边平行加一组对角相等=平行四边形

3．（2013•济南一模）完成下列各题：

如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD的周长．

4．有一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形吗？

如果是，请给出证明；如果不是，举出反例．

三、平行四边形的性质与判定的共性

5．（2017秋•红花岗区校级月考）如图，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF．

（1）证明：

△ABC≌△FEC；

（2）如果点A在BC的垂直平分线上，且AB＝2时，试求四边形ADEF的周长．

6．（2018春•徐州期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．请你猜想DF与AE的关系，并说明理由．

四、构造平行四边形

7．在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH．求证：

EF与GH互相平分．

8．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线相交于点D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

五、平行四边形中的动点问题

9．（2018春•芜湖期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，20），B在原点，C（26，0），D（24，20），动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

并写出P、Q的坐标．

10．（2016春•扶沟县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t

时，四边形ABQP是怎样的四边形？

说明理由；

（2）填空：

当t＝　　时，四边形PQCD是平行四边形；

（2）从运动开始，使PQ＝CD，t＝　　．

竞赛链接

11．（2010秋•西城区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE＝PF，且AP+AE＝CP+CF．

求证：

PA＝PC．

2021年选择合适的方法判定平行四边形

参考答案与试题解析

一．试题（共11小题）

1．（2012•杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC＝120°，∠C＝60°，∠BDC＝30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E

∠C．

（1）求证：

四边形ABDE是平行四边形；

（2）若DC＝16cm，求AD的长．

【解答】

（1）证明：

∵∠ABC＝120°，∠C＝60°，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴AB∥DC，即AB∥ED；…（2分）

又∠C＝60°，∠E

∠C，∠BDC＝30°，

∴∠E＝∠BDC＝30°，

∴AE∥BD，…（2分）

∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：

∵AB∥DC，

∴四边形ABCD是梯形，

∵DB平分∠ADC，∠BDC＝30°，

∴∠ADC＝∠BCD＝60°，

∴四边形ABCD是等腰梯形；…（1分）

∴BC＝AD，

∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，

∴∠DBC＝90°，…（1分）

又DC＝16cm，

∴AD＝BC

DC＝8cm．…（2分）

2．（2020春•朝阳区校级月考）已知，如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和F，使得DE＝BF，求证：

四边形AECF是平行四边形．

【解答】证明：

连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

又∵BE＝DF，

∴OE＝OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

3．（2013•济南一模）完成下列各题：

（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD的周长．

（2）已知：

如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：

AB＝AC．

【解答】

（1）解：

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°，

又∵∠B＝∠D，

∴∠C+∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∴ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝6，

∴四边形ABCD的周长＝2×6+2×3＝18；

（2）证明：

∵AD平分∠EDC，

∴∠ADE＝∠ADC，

又DE＝DC，AD＝AD，

∴△ADE≌△ADC，

∴∠E＝∠C，

又∠E＝∠B，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC．

4．有一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形吗？

如果是，请给出证明；如果不是，举出反例．

【解答】解：

不是，

如图所示，四边形ABCD满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形．

5．（2017秋•红花岗区校级月考）如图，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF．

（1）证明：

△ABC≌△FEC；

（2）如果点A在BC的垂直平分线上，且AB＝2时，试求四边形ADEF的周长．

【解答】

（1）证明：

∵△BCE和△AFC都是等边三角形，

∴BC＝EC，AC＝FC，∠BCE＝∠ACF＝60°．

又∵∠BCA＝60°﹣∠ACE，∠ECF＝60°﹣∠ACE，

∴∠BCA＝∠ECF．

在△ABC和△EEC中

，

∴△ABC≌△FEC（SAS）；

（2）由

（1）知，△ABC≌△FEC．

∴AB＝FE．

∵△ABD是等边三角形，

∴AB＝AD，

∴AD＝EF．

易证△BDE≌△BCA，

∴DE＝AC，

∵在等边三角形ACF中，AC＝AF，

∴DE＝AF，

∴四边形ADEF是平行四边形．

当点A在BC的垂直平分线上即AB＝AC时，四边形ADEF为菱形．

∴当AB＝2时，四边形ADEF的周长＝4AB＝8．

6．（2018春•徐州期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．请你猜想DF与AE的关系，并说明理由．

【解答】解：

AE、DF互相平分，

理由：

∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四边形DBEF是平行四边形，

∴EF∥BD，EF＝BD，

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴AD∥EF，AD＝EF，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AE、DF互相平分．

7．在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH．求证：

EF与GH互相平分．

【解答】证明：

如图，连接HE，HF，FG，GE；

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝BC，DC＝AB；

∵BG＝DH，

∴AG＝CH，

∴HF＝EG，

在△AEG和△CFH中，

，

∴△AEG≌△CFH，

∴EG＝HF，

同理：

FG＝EH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∴EF与GH互相平分．

8．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线相交于点D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

【解答】证明：

连接BD交AC于O，连结BM，BN，如图所示：

∵E是AB中点，AM＝MN，

∴AE＝BE，EM是△ABN的一条中位线，

∴EM∥BN，即MD∥BN，

同理可证BM∥DN，

∴四边形BNDM是平行四边形．

∴BO＝OD，MO＝ON，

又∵AM＝NC，

∴AM+MO＝NC+ON，

即AO＝OC，

又∵BO＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

9．（2018春•芜湖期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，20），B在原点，C（26，0），D（24，20），动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

并写出P、Q的坐标．

【解答】解：

运动时间为ts，

则AP＝t，PD＝24﹣t，CQ＝3t，

∵四边形PQCD为平行四边形

∴PD＝CQ

∴24﹣t＝3t

解得：

t＝6

即当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形，

此时AP＝6，所以点P的坐标为（6，20），

CQ＝3t＝18，所以点Q的坐标为（8，0）．

10．（2016春•扶沟县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t

时，四边形ABQP是怎样的四边形？

说明理由；

（2）填空：

当t＝　6s　时，四边形PQCD是平行四边形；

（2）从运动开始，使PQ＝CD，t＝　6s或7s　．

【解答】解：

（1）结论∴四边形ABQP是矩形．

理由：

当t

时，AP

，BQ＝BC﹣CQ＝26﹣3

，

∴AP＝BQ，∵AP∥BQ，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∵∠B＝90°，

∴四边形ABQP是矩形．

（2）当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形；

∴24﹣x＝3x

解得x＝6s，

故答案为6s

（3）①由

（2）可知t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ＝CD．

②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．

设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，

∴BQ＝26﹣3t，

作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC＝BC﹣AD＝26﹣24＝2．

∵梯形PQCD为等腰梯形，

∴NC＝QM＝2，∴BM＝（26﹣3t）+2＝28﹣3t，

∴当AP＝BM，即t＝28﹣3t，解得t＝7，

∴t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形．

综上所述t＝6s或7s时，PQ＝CD．

故答案为6s或7s．

11．（2010秋•西城区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE＝PF，且AP+AE＝CP+CF．

求证：

PA＝PC．

【解答】证明：

在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM＝AE，CN＝CF．

∵AP+AE＝CP+CF，

∴PM＝PN．

∵PE＝PF，

∴四边形EMFN是平行四边形．

∴ME＝FN，∠EMA＝∠CNF．

又∵∠AME＝∠AEM，∠CNF＝∠CFN，

∴△EAM≌△FCN．

∴AM＝CN．

∵PM＝PN，

∴PA＝PC．