八年级数学图形的证明单元复习测试.docx

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八年级数学图形的证明单元复习测试

第11章图形的证明

（一）单元复习测试

知识要点

（一）关于命题、定理及公理

1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

2.判断一件事情的句子，叫做命题。

3.每个命题都由条件和结论两部分组成。

4.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

5.公认的真命题称为公理（书P1976条公理）（等量代换）

6.推理的过程称为证明。

7.经过证明的真命题称为定理。

［例题］

1.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”形式为________________。

答案：

如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

2.请给出命题：

“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”的一个反例：

______________________________________。

答案：

3.下列语句不是命题的是（）

A.2008年奥运会的举办城是北京

B.如果一个三角形三边a，b，c满足a2＝b2＋c2，则这个三角形是直角三角形

C.同角的补角相等

D.过点P作直线l的垂线

答案：

D

4.如图，线段a与b的大小关系是（）

A.a＞bB.a＝bC.a＜bD.无法确定

答案：

A

5.下列命题是真命题的是（）

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.有一角为80°的等腰三角形的另两个角为50°与50°

答案：

C

（二）平行线的性质及判定

判定：

（1）同位角相等，两直线平行。

（2）同旁内角互补，两直线平行。

（3）内错角相等，两直线平行。

性质：

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，同旁内角互补。

（3）两直线平行，内错角相等。

（三）三角形的内角和外角的定理

1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

2.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。

3.如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。

［例题］

1.如图，若直线a∥b，且分别交直线c于点A、B，∠1＝70°，则∠2＝（）

A.70°B.20°C.110°D.40°

答案：

A

提示：

∠2＝∠3＝∠1＝70°

2.如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（）

A.∠2＋∠3＝180°B.∠1＋∠5＝180°

C.∠4＝∠7D.∠1＝∠8

答案：

A

3.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（）

A.同位角相等两直线平行B.同旁内角互补，两直线平行

C.内错角相等两直线平行D.平行于同一条直线的两直线平行

答案：

C

4.我们知道，平行四边形的对角相等，其证明过程如下，请在每一步括号内填写理由。

已知：

如图，四边形ABCD是平行四边形。

求证：

∠A＝∠C，∠B＝∠D

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形（）

∴AD∥BC，AB∥CD（）

∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°（）

∴∠A＝180°－∠B，∠C＝180°－∠B（）

∴∠A＝∠C（）

同理，可证∠B＝∠D

答案依次为：

已知；平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；等式性质；同角的补角相等

5.尺规作图：

如图，已知直线BC及其外一点P，利用尺规过点P作直线BC的平行线。

（用两种方法，不要求写作法，但要保留作图痕迹）

方法一：

作同位角相等

作法：

（1）过B点作直线BP；

（2）以B、P为圆心，任意长为半径作弧交BP于A、E，交BC于D；

（3）以E为圆心，AD长为半径作弧交上弧于Q；

（4）连结PQ。

方法二：

基本步骤同作法一，作内错角相等即可。

4.三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

5.三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

6.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

［例题］

1.如图，直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数。

解：

∵AB∥MN（已知）

∴∠BCD＋∠CDN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵CG、DG是角平分线

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠2＋∠CGD＝180°（三角形内角和等于180°）

∴∠CGD＝90°

2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，求证：

∠BCD＝∠A

证明：

∵Rt△ABC（已知）

∴∠A＋∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）

∵CD⊥AB（已知）

∴∠CDB＝90°

∴∠BCD＋∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）

∴∠A＝∠BCD（同角的余角相等）

3.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，∠BPC＝130°，求∠A。

解：

∠1＋∠2＋∠BPC＝180°（三角形内角和等于180°）

∵∠BPC＝130°

∴∠1＋∠2＝50°

∵BP、CP是角平分线

∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2

∴∠ABC＋∠ACB＝100°

∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°

∴∠A＝80°

测试题

一.填空题

1.如图1所示，已知AB//CD，AD和BC相交于点O，若

，则

__________。

图1图2图3

2.如图2所示，

_____________。

3.如图3所示，

___________。

4.如图4所示，AB//CD，

_____________。

图4图5图6

5.一个三角形三个内角的比是1：

2：

3，那么这个三角形是____________三角形。

6.一个三角形的三个外角的度数比为2：

3：

4，则与此对应的三个内角的比为__________。

7.如图5所示，在△ABC中，BF平分

，CF平分

，则

_______________。

8.“同角的余角相等”的题设是______________，结论是_____________。

9.如图6所示，AB//CD，

___________。

10.如图所示，AB//EF//CD，且

，则

BED的度数为________。

11.如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于____________。

12.过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这垂线将

分为40°和20°的两个角，那么

中较大的角的度数是________________。

13.三角形三内角的度数之比为1：

2：

3，最大边边长是8cm，则最小边长是____________。

二、选择题

14.下列语句中，是命题的为（）

A.延长线段AB到CB.垂线段最短

C.过点O作直线a//bD.锐角都相等吗

15.下列命题中是真命题的为（）

A.两锐角之和为钝角B.两锐角之和为锐角

C.钝角大于它的补角D.锐角大于它的余角

16.“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）

A.两条直线B.交点C.两条直线相交D.只有一个交点

17.如果

的两边分别平行，那么

A和

B的关系是（）

A.相等B.互余或互补C.互补D.相等或互补

18.三角形三边长分别为3，

，8，则a的取值范围是（）

A.

B.C.D.

19.三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（）

A.45°，45°，90°B.30°，60°，90°C.25°，25°，130°D.36°，72°，72°

20.如图所示，，那么与相等的角有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

21.下列四个命题中，真命题有（）

（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。

（2）如果是对顶角，那么1=2。

（3）一个角的余角一定小于这个角的补角。

（4）如果1和3互余，2与3的余角互补，那么1和2互补。

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.如图所示，B=C，则ADC与AEB的大小关系是（）

A.B.

C.D.大小关系不能确定

23.如图所示，AD平分CAE，B=30°，CAD=65°，ACD=（）

A.50°B.65°C.80°D.95°

三、解答题

24.如图所示，1=2，AE//BC，求证：

△ABC是等腰三角形。

25.如图所示，BF//DE，1=2，求证：

GF//BC。

26.如图所示，已知AB//CD，FH平分EFD，，求GFC的度数。

27.已知，如图所示，直线AB//CD，。

求证：

EPM=FQM。

28.求证：

两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行（作图，写出已知，求证，证明）。

29.△ABC中，BE平分ABC，AD为BC上的高，且ABC=60°，BEC=75°，求DAC的度数。

30.探索题

如图所示，XOY=90°，点A、B分别在射线OX，OY上移动，BE是ABY的平分线，BE的反向延长线与OAB的平分线相交于点C，试问ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B的移动变化，请给出变化范围。

参考答案

一、填空题

1.80°2.80°3.

4.75°5.直角6.5：

3：

1

7.122.5°

8.两个角是同一个角的余角，这两个角相等。

9.60°10.90°11.90°

12.70°13.4cm

二、选择题

14.B15.C16.C17.D18.B19.B20.B21.C22.B23.C

三、解答题

24.解：

∵AE//BC（已知）

∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）

∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠B=∠C（等量代换）

∴AB=AC，△ABC是等腰三角形（等角对等边）

25.解：

∵BF//DE（已知）

∴∠2=∠FBC（两直线平行，同位角相等）

∵∠2=∠1（已知）

∴∠FBC=∠1（等量代换）

∴GF//BC（内错角相等，两直线平行）

26.∠GFC=59°

27.证明：

∵AB//CD（已知）

∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）

又∵∠PEA=∠QFC（已知）

∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）

即∠PEF=∠QFM

∴PE//QF（同位角相等，两直线平行）

∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）

28.证明：

已知，AB//CD，PQ分别交直线AB、CD于点E、F，且EG平分∠AEP，HF平分∠CFE，求证：

GE//HF。

证明：

∵AB//CD（已知）

∴∠AEP=∠CFE（两直线平行，同位角相等）

∵EG平分∠AEP，HF平分∠CFE

∴GE//HF（同位角相等，两直线平行）

29.解：

∵BE平分ABC，且ABC=60°

30.解：

不变

∵EBA是△ABC的一个外角

∴EBA=C+CAB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）