第2章 数组和矩阵.docx
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第2章数组和矩阵
第二章数组和矩阵
向量(矩阵)和数组是有区别的
向量(矩阵)是一个数学概念,数组是一个计算机名词,一组数而已。
非要给数组赋予数学含义,则一维数组相当于向量,二维数组相当于矩阵,向量或矩阵是数组的子集。
向量(矩阵)的四则运算有具体的数学定义,使用通常的四则运算符号。
数组运算特指数组对应元素之间的运算(也称点运算),其运算符是在通常的运算符符前加一点作为其运算符。
二者在加、减与数乘三种运算上恰好一致:
数组加减:
A+B与A-B;矩阵加减:
A+B与A-B,都是对应元素之间加减(不分±与.±)
数乘数组:
k.*A或A.*k;数乘矩阵:
k*A或A*k,都是k乘A的每个元素
但注意以下两点:
(1)向量(矩阵)的乘法、乘方和除法等运算按线性变换定义,与数组对应的运算不一样。
(2)数与矩阵加减、矩阵除法在数学没有定义,MATLAB中为简便起见定义了这两类运算;
数组运算:
数与数组加减:
k+A与k-A,k加(减)A的每个元素
数组乘数组:
A.*B,对应元素相乘
数组乘方:
A.^k A的每个元素k次方,k.^A分别以k底A的元素为指数求幂值
数除以数组:
k./A和A.\kk分别被A的元素除
数组除法:
左除A.\B右除B./A,对应元素相除
矩阵运算:
数与矩阵加减:
k+A与k-A,等价于k*ones(size(A))+-A%特殊的定义
矩阵乘法:
A*B,按数学定义的矩阵乘法规则
矩阵乘方:
A^k,k个矩阵A相乘
矩阵除法:
左除A\B右除B/A,分别为AX=B和XA=B的解
搞清楚这些区别,发现数组的运算其实很简单,值得注意的是,在实际计算中什么时候需要对变量进行数组运算,什么时候需要对变量进行向量(矩阵)运算。
比如第一章的积分表达式中的变量x就只能做数组元素。
在不考虑数学意义时数组与向量(矩阵)是一回事!
以下只讨论向量(矩阵)的运算
MATLAB提供的数据类型(如下图),有十余种之多。
但所有的MATLAB变量,不管它是什么类型的,都以数组或矩阵的形式保存。
矩阵是数组的二维版本。
MATLAB的数据类型
说明:
int8表示一个字节(8bit)
2.1表达式
与其他程序语言类似,MATLAB提供了数学表达式功能。
但是,与大多数程序语言不同的是,这些表达式主要针对矩阵进行操作。
与表达式相关的内容主要包括变量、数值(常数)、运算符和函数等。
2.1.1变量
MATLAB变量使用前不需要任何类型声明和维数说明。
命名规则同C语言,变量名最长63个字符(7.0版)
变量严格区分大小写
2.1.2数值表示
MATLAB使用传统的数值表示方法。
对于比较长的数,使用科学计数法,用字母e指定以10为底的幂次。
虚数用i或j作为后缀。
所有数值在内部保存为IEEE浮点标准指定的long型格式。
其精度为16个小数位,范围大约为10-308~10+308。
内置常数:
pi,i,j,eps,realmax,realmin,inf,NaN
2.1.3运算符
表达式采用的算术运算符和优光规则按此顺序:
+(加)、_(减)、*(乘)、/(除)、\(左除)、^(幂)、’(复数共轭转置)、()(优先)
2.1.4函数
使用help函数名获得函数帮助
2.2构造数组
1、直接构造:
用空格或逗号间隔数组元素,然后用方括号括起来:
x=[1,2,3,4,5,6]
2、增量法构造:
使用冒号操作符创建数组。
a=first:
end。
%递增、且步长为1的数组
a=first:
step:
end。
%指定增量步长值创建任何等差序列(数组)
3、用linspace函数构造
x=linspace(first,last,num)%需要指定首尾值和元素总个数,步长根据num平均分配
2.3构造矩阵
MAITLAB中,二维数组称为矩阵。
图形图像方面要涉及到大量的矩阵运算,比如,一幅数字图像就是—个矩阵,矩阵中的每个元素表示图像上每个像素的信息。
那么针对图像所作的任何操作实质上都是针对矩阵进行的。
2.3.1简单的创建方法
使用矩阵创建符号[],用逗号或空格隔开各元素间;用分号隔开各行。
必须注意各行必须具有相同的元素个数
2.3.2构造特殊矩阵
函数
功能
ones
创建一个所有元素都为1的矩阵
zeros
创建一个所有元素都为0的矩阵
eye
创建一个对角线元素为1,其他元素为0的矩阵
diag
根据向量创建对角矩阵
magic
创建一个方阵,所有行、列、对角线上的元素的和相等
rand
创建一个矩阵或数组,其中的元素为服从均匀分布的随机数
randn
创建一个矩阵或数组,其中的元素为服从正态分布的随机数
randpem
创建一个向量(1×n的矩阵)
注:
表中的大部分函数返回double型的矩阵。
但是,可以用ones,zeros和eye函数生成任何数值类型的基本数组。
方法是将数据类型名作为函数的最后一个参数值(class()函数可检测数据类型):
A=zeros(4,6);class(A)%class()返回矩阵A数据类型为double
A=zeros(4,6,'uint32');class(A)%显示的数据类型为uint32的矩阵
函数示例:
A=magic(5)%5阶魔方阵,每行、列和主对角线上的和相等。
A=rand(5)*20%服从均匀分布的随机数的矩阵或数组,每个元素乘以20
A=[10,9,8,-7,5];
B=diag(A,-1)%以A为对角线的对角矩阵,-1表示元素放在主对角线下方
2.3.3聚合矩阵
矩阵聚合是通过连接一个或多个矩阵来形成一个新的矩阵。
1、使用符号[]聚合:
表达式c=[AB]水平聚合,c=[A;B]垂向聚合。
A=ones(3,5)*6;%3×5的矩阵,元素为6
B=rand(3,5);%3×5的矩阵,元素为随机数
D=[AB]%横向(列)聚合A和B,要求A,B行数相同
C=[A;B]%垂向(行)聚合A和B,要求A,B列数相同
2、使用函数聚合
函数
描述
cat
沿指定的维聚合矩阵
horzcat
水平聚合矩阵
vertcat
垂向聚合矩阵
repmat
通过复制与蝶置来创建新矩阵
blkdiag
用已有矩阵创建块对角矩阵
函数示例:
(使用cat和vertcat函数可以代替[]实现矩阵的聚合)
A=magic(3);B=[-5-6-9;-4-4-2;123];
cat1ab=cat(1,A,B)%行(垂向)聚合,等价于[A;B]
cat2ab=cat(2,A,B)%列(横向)聚合,等价于[AB]
vab=vertcat(A,B)%行聚合,等价于[A;B]
M=[12;34];
repM=Repmat(M,2,3)%将M视为一个元素的m×n矩阵。
C=eye
(2)*8;
blkdgabc=blkdiag(A,B,C)%以A,B,C为块的对角矩阵
2.3.4聚合不同类型的矩阵
聚合矩阵时,若矩阵的数据类型不同,则MATLAB会自动进行类型转换。
高精度矩阵和低精度矩阵构造新矩阵时,新矩阵是低精度型的
(1)single型和double型矩阵聚合为single型。
X=[single(4.5)pi5.73*10^300]%这也是聚合,3个1×1矩阵的聚合。
x=[ones
(2)*2ones(2,3,'single')];class(x)%两矩阵聚合为single型。
(2)character和double型矩阵聚合为character型:
x=[‘A’‘B’‘C’686970]%x=ABCDEF;class(x)=char
(3)logical和double型矩阵聚合为double,比较特殊:
x=[truefalsefalsepisqrt(7)]%x=1.0000003.14162.6458;class(x)=double
2.4获取矩阵的元素
2.4.1获取单个元素
A(row,column)%返回矩阵中第row行,第column列元素
A(m)%返回矩阵中的第m元素。
注:
A(m)形式按矩阵的存贮顺序访问。
即行优先(行标变化最快)原则,比如一个三阶方阵的存贮顺序是a11,a21,a31,a21,a22,a23,a31,a32,a33。
显然A(4)=a21。
一般对一个m×n矩阵A(i,j)和A(p)的对应关系为:
p=(j-1)*m+i。
函数sub2ind()和ind2sub()可以完成单索引p和位置(i,j)间的转换。
A=[123;456;789]
p=sub2ind(size(A),2,3)%size(A)返回矩阵A的行列值,A(2,3)为A(8)。
[row,col]=ind2sub(size(A),8)%返回A(8)的下标(2,3)。
2.4.2获取多个元素
仔细体会冒号:
,end关键字及first:
step:
end格式的使用。
A=magic(4)
S=A(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)%求第4列1~4行元素的和
S=sum(A(1:
4,4))%同上,求第4列1~4行元素的和
S=sum(A(:
2))%求第2列所有元素的和
A(1:
3:
16)=-10%每隔两个元素处的值改为-10,注意按存贮顺序访问
A(1:
3,end)=10%将矩阵A的1~3行中最后一个元素的值替换为10。
A(:
)%按存贮顺序操作A的所有元素,此处为显示。
2.5获取与矩阵有关的信息
矩阵信息函数
函数
功能
Length
返回矩阵最长维的长度
ndims
返回矩阵维数
numel
返回矩阵元素的个数
size
返回每一维的长度
下面这个例子演示上表中部分函数的使用。
A=rand(5)*10;
A(4:
5,:
)=[]%第四行,第五行各列元素全部被删除
sum(A(:
))/numel(A)%计算矩阵A中所有元素求和后再算均值。
%查找矩阵中大小介于5和7之间的所有元素。
ifndims(A)~=2%~=不等于,如果A的维数不是2即不是矩阵,就结束程序。
return
end
[rows,cols]=size(A);
form=1:
rows%行作为外循环是符合存贮顺序的,是高效率的。
forn=1:
cols
ifA(m,n)>=5&&A(m,n)<=7%&&逻辑与运算符
disp(sprintf('A(%d,%d)=%5.2f',n,m,A(m,n)));%和C相同的的输出语句sprintf
end
end
end
下表中的函数检查矩阵中的元素是否属于指定的数据类型:
数据类型检查函数
函数
功能
isa
是否属于给定类型(可代替以下各函数)
iscell
确定输入数据是否属于单元(元胞)数组
iscellstr
确定输入数据是否属于字符串元胞数组
ischar
确定输入数据是否属于字符数组
isfloat
确定输入数据是否属于浮点数组
isinteger
确定输入数据是否属于整型数组
islogical
确定输入数据是否属于逻辑数组
isnumeric
确定输入数据是否属于数值数组
isreal
确定输入数据是否属于实型值数组
isstruct
确定输入数据是否属于结构数组
下面的代码从向量中找出数组中的实数。
A=[5+7i6/74.2339jpi9-2i];
form=1:
numel(A)
ifisnumeric(A(m))&&isreal(A(m))%matlab中logical也是用数值的,这条件不多余
disp(A(m))
end
end
判断数组A是否为字符串数组
A=['This''is''character']
ischar(A)
isa(A,'char')%与ischar()函数效果相同
下表中的函数检查矩阵中的元素是否为指定数据结构。
数据结构检查函数
函数
功能
Isempty
确定输入数据是否为空
Isscalar
确定输入数据是否为标量
Isspace
确定输入数据是否为稀疏矩阵
Isvector
确定输入数据是否为向量
2.6缩放和重塑矩阵
2.6.1缩放矩阵
使用A(i,j)=p的形式对矩阵A(m×n)的元素赋值,若i,j超出了m,n.。
矩阵会自动放大。
但使用A(m)=p形式,m超出矩阵范围,则发生错误。
A=magic(4)
A(17)=3%错误,单索引方式不能缩放矩阵
A(1,5)=3%将A放大为4×5矩阵,放大后未赋值的元素置零
使使用A(i,j)=[]的形式,可以删除矩阵中的行和列,但不能删除单个元素。
使用A(m)=[]形式可对矩阵元素作任意删除,但结果是将剩下的元素重构成一个行向量。
A=magic(4)
A(:
2)=[]%删除矩阵A的第二列元素
A(2,1)=[]%错误
A(5)=[]%结果A变成了一个15元素的行向量
2.6.2重塑矩阵
重塑矩阵函数
函数
功能
reshape
重塑矩阵
rot90
逆时针旋转矩阵90度
fliplr
沿Y轴翻转矩阵
flipud
沿X轴翻转矩阵
flipdim
沿指定方向翻转矩阵
transpose
沿主对角线翻转矩阵
ctranspose
转置矩阵
下例演示表中函数的使用。
A=[14710;25811;36912]
B=reshape(A,2,6)%3×4=>2×6重构后矩阵存贮结构不变
C=rot90(A)%将矩阵A逆时针旋转90度。
D=fliplr(A)%沿Y轴(左右)翻转矩阵
E=ctranspose(A)%等价于A’
注:
转置矩阵:
有点撇符.'和撇符'两个转置符号,其中函数ctranspose和'等价。
对于实矩阵,二者没有区别,对于复矩阵,点撇符.'只转置,撇符'转置后再对每元素求共轭。
2.7导入数据
2.7.1使用load命令导入数据
使用load命令可导入.txt、.dat类型的文本文件。
数据被保存在与文件名同名的矩阵中。
注意,必须是矩形文本。
使用load命令可导入.mat类型的内存变量文件。
命令中可省去扩展名.mat。
loadfilename
2.7.2使用Ipputwizard工具
菜单:
Start—Matlab—Inputwizard依提示导入MATLAB能识别的数据。
如Excel文件、图像等。
2.8矩阵的代数运算
1、+-:
加减运算,对应位置元素相加减
2、乘法(数学上叫叉乘)
*:
叉乘,A(m×t)*B(t×n)=C(m×n)
.*:
点乘,对应位置元素相乘
注:
加减运算,点乘运算要求两个矩阵为同型矩阵(两个行数、列数对应相同的矩阵)
例:
乘法和加法运算
A=[123;456];
B=[1234;5678;8101112];
C=A*B
D=A.*A
E=A+A
3、除法运算
由于矩阵乘法不满足交换律(即A*B≠B*A),通常有以下两个方程
a*x=b,此时x=a\b(b左除a)
x*a=b,此时x=b/a(b右除a,或简称b除a)
如果a为非奇异矩阵(行列式不为零的矩阵),则a\b和b/a可通过a的逆矩阵与b阵得到:
a\b=inv(a)*b%inv求矩阵的逆,左乘a的逆
b/a=b*inv(a)%右乘a的逆
(另外,y.\x和y./x运算,两个矩阵对应位置元素作
运算)。
4、矩阵和常数的运算:
矩阵中的每个元素和这个常数进行通常意义下的算术运算。
2.9矩阵的逻辑运算
逻辑运算符
操作符
说明
等价的函数
&
逻辑与
and(x,y)
|
逻辑或
or(x,y)
~
逻辑非
not(x)
函数中的x与y可以都是矩阵或向量,也可以有一个是标量。
要求它们的大小完全相同(即要求是同型矩阵)。