高考数学易忘公式及结论汇总分享.docx
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高考数学易忘公式及结论汇总分享
高考数学知识点全扫描高考数学易忘公式及结论
集合
●
包含关系
A
⇔A⊂B
●
集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集
12n
有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.二次函数,二次方程
●方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件
●闭区间上函数的最值只能在f'(x)=0处及区间的两端点处取得。
二次函数f(x)=ax2+bx+c>0恒成立的充要条件
是
简易逻辑
⎧a>0
⎩b
⎨2-4ac<0.
●真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
●常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n-1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n+1)个
对所有x,成立
存在某x,不成立
p或q
⌝p且⌝q
对任何x,不成立
存在某x,成立
p且q
⌝p或⌝q
●⌝P:
否定一个含有量词(∀或∃)的命题,不但要改变量词(∀改为∃),还要对量词后面的命题加以否定,但作用范围不变。
●函数的单调性
(1)设x1⋅x2∈[a,b],x1≠x2那么
(x-x)[f(x)-f(x)]>0⇔
f(x1)-f(x2)>0⇔
f(x)在[a,b]
上是增函数;
1212
x1-x2
(x-x)[f(x)-f(x)]<0⇔
f(x1)-f(x2)<0⇔
f(x)在[a,b]上是减函数.
1212
x1-x2
(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.
⇔f(a+mx)=f(b-mx)
⇔f(a+b-mx)=f(mx).
●两个函数图象的对称性
(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.
(2)
函数f(mx+a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=a+b对称.
2m
(3)函数y=
f(x)和y=
f-1(x)的图象关于直线y=x对称.
●若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数
y=f(x-a)+b的图象;若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单
位,得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.
●指数式与对数式的互化式
a
logN=b⇔ab=N(a>0,a≠1,N>0).
●对数的换底公式
log
N=logmN
.推论log
bn=nlogb.
aloga
ama
●对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)log(MN)=logM+log
N;
(2)log
M=logM-logN;
aaa
aa
(3)logMn=nlogM(n∈R).
aNaa
●
m
设函数f(x)=log(ax2+bx+c)(a≠0),记∆=b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则a>0,且∆<0;若f(x)的值域为R,则a>0,且∆≥0.对于a=0的情形,需要单独检验.
数列
●等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=;
●其前n项和公式为
s=n(a1+an)=na+n(n-1)d.
n212
n-1
●
1
等比数列的通项公式an=aq;
其前n项的和公式为
⎧a(1-qn)
⎧a-aq
⎪1,q≠1⎪1n,q≠1
sn=⎨1-q
或sn=⎨1-q.
⎪na,q=1
⎪⎩na1,q=1
⎩1
●分期付款(按揭贷款)
ab(1+b)n
每次还款x=
(1+b)n-1
元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
●数列的通项公式与前n项的和的关系
⎨
a=⎧s1,
ns-s
n=1
n≥2
⎩nn-1
三角函数
●
常见三角不等式
(1)若
π
(0,)
2
,则sinx.
(2)若
π
(0,),则
2
1(3)|sinx|+|cosx|≥1.
●同角三角函数的基本关系式
sin2θ+cos2θ=1,tanθ=sinθ
cosθ
,tanθ⋅cotθ=1.
●和角与差角公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α±β)=cosαcosβ
tan(α±β)=tanα±tanβ
sinαsinβ;
.
1tanαtanβ
asinα+bcosα=
sin(α+ϕ)(辅助角ϕ所在象限由点(a,b)的象限决
定,tanϕ=b).
a
●二倍角公式
sin2α=sinαcosα
tan2α=2tanα
1-tan2α
.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
●三角函数的周期公式
函数y=sin(ωx+ϕ),x∈R及函数y=cos(ωx+ϕ)的周期T=2π
w
;函数
y=tan(ωx+ϕ)的周期T=π.
w
●正弦定理
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R.
●余弦定理
●面积定理
a2=b2+c2-2bccosA;
S=1absinC=1bcsinA=1casinB
222
向量.
●a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
●a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2+y1y2).
●向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0
a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
●
线段的定比分公式
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点,λ是实数,且P1P=λPP2,
则
⎧x=x1+λx2
⎪1+λ⇔
⎨y+λy
1+λ
⎪y=12
⎩⎪1+λ
⇔OP=tOP1+(1-t)OP2(t=
●三角形的重心坐标公式
1).
1+λ
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重
心的坐标是G(x1+x2+x3,y1+y2+y3).
33
●三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为∆ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
222
(1)O为∆ABC的外心(中垂线)⇔OA=OB=OC.
(2)O为∆ABC的重心(中线)⇔OA+OB+OC=0.
(3)O为∆ABC的垂心(高)⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA.
(4)O为∆ABC的内心(角平分线)⇔aOA+bOB+cOC=0.不等式
●常用不等式:
(1)a,b∈R⇒a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)
a,b∈R+⇒a+b≥(当且仅当a=b时取“=”号).
2
(3)柯西不等式
(ab+ab)2≤(a2+a2)(b2+b2),(当且仅当a
=λb时
取“=”号).
1122
1212ii
(4)a-b≤a+b≤a+b.直线方程
●两条直线的平行和垂直
①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2;
②l1⊥l2⇔k1k2=-1.
两直线垂直的充要条件是
●点到直线的距离
A1A2+B1B2=0;即:
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
d=|Ax0+By0+C|(点P(x,y),直线l:
Ax+By+C=0).
圆
●直线的参数方程⎧x=x0+tcosα.(t为参数)
⎨y=y+tsinα
●圆的参数方程
⎧x=a+rcosθ.(θ为参数)
⎨y=b+rsinθ
⎩
椭圆
x2y2
⎧x=acosθ
●
⎩
椭圆+
a2b2
=1(a>b>0)的参数方程是⎨y=bsinθ.(θ为参数)
x2y2
●
焦点三角形:
P为椭圆+
a2b2
=1(a>b>0)上一点,则三角形PF1F2的面
积S=b2∙tan∠PF1F2;特别地,若PF⊥PF,此三角形面积为b2;
212
x2y2
●
在椭圆+
a2b2
=1(a>b>0)上存在点P,使PF1⊥PF2的条件是c≥b,即
双曲线
椭圆的离心率e的范围是[
2,1);
2
●双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2⇒
x2y2b
(1)-=1
a2b2
渐近线方程:
-
a2b2
=0⇔
y=±x.
a
bxy
x2y2
(2)
若渐近线方程为y=±x⇔
a
±=0⇒双曲线可设为-
aba2b2
=λ.
(3)
若双曲线与x
a2
-
y2
b2
=1有公共渐近线,可设为x
a2
-
y2
b2
=λ(λ>0,焦
点在x轴上,λ<0,焦点在y轴上).
●焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)抛物线
●焦点与准线
抛物线y2=ax(a≠0),焦点是a准线x=-a;
44
抛物线x2=ay(a≠0),焦点是(a),准线y=-a;
●焦半径公式
抛物线y2=2px(p>0),C
0,
44
(x,y)为抛物线上一点,焦半径CF=x
+p.
0002
●过抛物线
y2=2px
(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于
A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2=-p,
2
x1⋅x2
=p2/4,即k
⋅
KOB
=-4。
●
OA
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
●比如在椭圆中:
AB=
A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则有:
x2y2
1+1=1
(1)
a2b2
x2y2
2+2=1
(2)
a2b2
y-yxb2
(1)-
(2)k=12=0⋅(-)
x1-x2y0a
2
立体几何
●
直线l的方向向量为a,直线l与平面所成的角为θ,平面的法向量为u,直线l与平面法向量的夹角为φ,则
sinθ=cosφ=
●二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。
●异面直线间的距离
d=|CD⋅n|(l,l是两异面直线,其公垂向量为n,C、D分别是l,l上任一
|n|1212
点,d为l1,l2间的距离).
●.点B到平面α的距离
d=|AB⋅n|(n为平面α的法向量,AB是经
|n|
过面α的一条斜线,A∈α).
S'
●面积射影定理
S=.(平面多边形及其射影的面积分别是S、
cosθ
S',它们所在平面所成锐二面角的为θ).
●
球的半径是R,则其体积V=4πR3,其表面积S=4πR2.
3
●长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
●
棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为
12
6a.
4
●柱体、锥体的体积
V柱体=Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).
V锥体
=1Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高).
3
组合数公式
Am
Cm=n=
n(n-1)(n-m+1)=
n!
.
nm1⨯2⨯⨯m
m!
⋅(n-m)!
●二项式定理
(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2++Cran-rbr++Cnbn二项展开
nnnnn
n
式的通项公式
Tr+1
概率
=Cran-rbr(r=0,1,2,n).
●n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
nn
P(k)=CkPk(1-P)n-k.
●离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)Pi≥0(i=1,2,);
(2)P1+P2+=1.
●数学期望
Eξ=x1P1+x2P2+
●数学期望的性质
(1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b.
(2)若ξ~B(n,p),则Eξ=np.
●方差
Dξ=(x-Eξ)2⋅p+(x-Eξ)2⋅p+
1122
●
标准差σξ=.
●方差的性质
(1)D(aξ+b)=a2Dξ;
(2)若ξ~B(n,p),则Dξ=np(1-p).
●正态分布密度函数
(x-μ)2
f(x)=
1e-
2π6
262
x∈(-∞,+∞),式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分
别表示个体的平均数与标准差.
●
标准正态分布密度函数f(x)=
x2
e2,x∈(-∞,+∞).
●对于N(μ,σ2),P(μ-σP(μ-2σ
●回归直线方程
⎧
nn
⎪∑(xi-x)(yi-y)∑xiyi-nxy
⎪b=i=1=i=1
y=a+bx,其中⎨
⎪
⎪
∑(xi-x)
i=1
∑xi
i=1
2-nx2.
⎩a=y-bx
点P(x,y)在回归直线上。
不能期望回归方程得到y的预报值就是预报变量y的精确值。
●相关系数|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小。
|r|≥0.75时认为两变量有很强的线性关系。
n(nn-nn)2
●列联表独立性分析
χ2=11221221
n1+n2+n+1n+2
P(χ2≥6.635)≈0.01(99%的把握)
P(χ2≥3.841)≈0.05(95%的把握)导数
●
n
几种常见函数的导数
(1)
C'=0(C为常数).
(2)
(x)'=nxn-1(n∈Q).(3)
(sinx)'=cosx.
(4)
(cosx)'=-sinx.(5)(lnx)'=1;(logax)'=1loge.
(6)
xxa
(ex)'=ex;(ax)'=axlna.
●导数的运算法则
(1)(u±v)'=u'±v'.
(2)(uv)'=u'v+uv'.
(3)u
'
=u'v-uv'
(v≠0).
vv2
●.复合函数的求导法则
x
设函数u=ϕ(x)在点x处有导数u'=ϕ'(x),函数y=f(u)在点x处的对应点
U处有导数y'=f'(u),则复合函数y=f(ϕ(x))在点x处有导数,且y'=y'⋅u',
u
x
或写作f'(ϕ(x))=f'(u)ϕ'(x).
●.判别f(x0)是极大(小)值的方法当函数f(x)在点x0处连续时,
xux
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)是极小值.复数
●复数的相等a+bi=c+di⇔a=c,b=d.(a,b,c,d∈R)
●
.复数z=a+bi的模(或绝对值)|z|=|a+bi|=.
赠送一篇美文,舒缓一下心情:
1)有一种情,相濡以沫温馨处处在,有一种意,海枯石烂温暖处处开,有一颗心,沧海桑田温情永不变,有一句话,相知相守爱你一万年,老婆我爱你永不变!
2)你好象生气了,我心里也不好受,如果是我酿成了此错,希望你能原谅,如果不能原谅,我自己也无法原谅自己了。
3)你负责貌美如花,我负责赚钱养家,你负责轻松悠闲,我负责工作挣钱,你负责开心幸福,我负责操持家务,你负责快乐天天,我负责爱你永远!
4)家有娇妻真温馨,知心相爱常厮守,贤慧温柔知我意,相守一世真幸福,一生至爱是我妻,甜蜜短信送我妻,永不改变爱你意。
5)家中红旗永不倒,外面野花不会采。
春光明媚花朵艳,不及老婆温柔剑。
服侍双亲多辛劳,相夫教子令人敬。
烧的一手好饭菜,贤良淑德惹人羡。
6)今天是“要爱妻”,但是这个日子对我来说无关紧要。
你在生气?
亲爱的,因为与你在一起的每一天对于我来说都是“要爱妻日”,我爱你!
愿用我一生让你开心幸福。
7)就数老婆好,美女都不要;打骂不还手,见面就告饶;化妆你称道,购物掏腰包;逛街不斜视,乖乖跟好了。
8)孔雀最美,你是我的孔雀,我为你开屏;百灵最俏,你是我的百灵,我为你鸣叫。
我的妻,爱你是我唯一的语言,疼你是我仅有的表现。
愿我们幸福百年。
9)浪漫在起舞,甜蜜在微笑;温馨在荡漾,喜悦在心头;内心在狂喜,心情在澎湃;真情在涌动,真爱在表白:
老婆,爱你没商量,爱你永不变!
10)爱老婆要做到两个不要:
不要问老婆能够为额做些什么,而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么,老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1)有你相伴,天空是蓝的,空气是甜的;有你相随,日子是乐的,生活是美的;有你相守,家庭是暖的,心里幸福的;老婆我爱你,最美的祝福送给你,愿幸福绕你身旁,快乐把你笼罩!
2)朝夕相处过日子,偶尔吵吵嘴皮子。
同享美味一桌子,你是最好大厨子。
相亲相爱两口子,幸福相守一辈子。
待到长出白胡子,依然爱你小妮子。
亲爱的老婆,爱你一辈子!
3)此生有你,愿一世情长,两心不忘,三生相伴,纵天荒地老,爱永远,情永长,此生此世都为你痴痴守望,默默相伴。
甜言蜜语
4)冬日只为飘雪留,爱你的心永不回头;海角天涯终有尽,对你的情意无边际;海枯石烂没终止,陪伴一生直到白头。
5)读书人喜欢诗情画意,生意人喜欢小三小蜜,混江湖的喜欢红颜知己,谈恋爱的喜欢柔情蜜意,像我们结过婚的就追求个恩爱甜蜜。
老婆我爱你。
让我们恩爱百年,幸福美满!
6)真情打造爱情,爱情创造痴情,痴情创建真爱,真爱开启真心,真心起航爱的行程,720妻爱你,愿爱的航船驶向幸福甜蜜的港湾!
7)快乐,是与你饭后的一起漫步;幸福,是同你和孩子们一起嬉戏;甜蜜,是与你心有灵犀相恋相依;720妻爱你,有你就有幸福与甜蜜。
老婆,一生爱你!
8)今年高温不退,每天热的难受;注意珍爱自己,工作不要太累;没事多吃水果,晚上静心去睡;遇事别急别火,万事老公顶着。
亲爱的,在720妻爱你这个特殊而神圣的日子里,我要对你说一句:
“我爱你”。
9)720妻爱你,家庭和睦又甜蜜,即使偶尔有脾气,带着真情吵吵嘴,相濡以沐共进退,患难与共同船渡,携手到老永相依。
祝你夫妻恩爱,生活甜蜜幸福!
10)三生有缘是夫妻,一颗真心交给你,愿你用着我的爱,幸福甜蜜;用着我的情,开心如意;对我撒个娇,对我发脾气,我也觉甜蜜。
720妻爱你,爱你一辈子!
11)720,妻爱你,爱你老实忠厚人勤快,爱你工作积极事业成,爱你尊敬父母有孝心,爱你