高考数学易忘公式及结论汇总分享.docx

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高考数学易忘公式及结论汇总分享

高考数学知识点全扫描高考数学易忘公式及结论

集合

●

包含关系

A

⇔A⊂B

●

集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集

12n

有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.二次函数，二次方程

●方程f（x）=0在（k1,k2）上有且只有一个实根,与f（k1）f（k2）<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件

●闭区间上函数的最值只能在f'（x）=0处及区间的两端点处取得。

二次函数f（x）=ax2+bx+c>0恒成立的充要条件

是

简易逻辑

⎧a>0

⎩b

⎨2-4ac<0.

●真值表

ｐ

ｑ

非ｐ

ｐ或ｑ

ｐ且ｑ

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

●常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词

是

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有n个

至多有（n-1）个

小于

不小于

至多有n个

至少有（n+1）个

对所有x，成立

存在某x，不成立

p或q

⌝p且⌝q

对任何x，不成立

存在某x，成立

p且q

⌝p或⌝q

●⌝P:

否定一个含有量词（∀或∃）的命题,不但要改变量词（∀改为∃），还要对量词后面的命题加以否定，但作用范围不变。

●函数的单调性

（1）设x1⋅x2∈[a,b],x1≠x2那么

（x-x）[f（x）-f（x）]>0⇔

f（x1）-f（x2）>0⇔

f（x）在[a,b]

上是增函数；

1212

x1-x2

（x-x）[f（x）-f（x）]<0⇔

f（x1）-f（x2）<0⇔

f（x）在[a,b]上是减函数.

1212

x1-x2

（2）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f'（x）>0，则f（x）为增函数；如果f'（x）<0，则f（x）为减函数.

⇔f（a+mx）=f（b-mx）

⇔f（a+b-mx）=f（mx）.

●两个函数图象的对称性

（1）函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称.

（2）

函数f（mx+a）与函数y=f（b-mx）的图象关于直线x=a+b对称.

2m

（3）函数y=

f（x）和y=

f-1（x）的图象关于直线y=x对称.

●若将函数y=f（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数

y=f（x-a）+b的图象；若将曲线f（x,y）=0的图象右移a、上移b个单

位，得到曲线f（x-a,y-b）=0的图象.

●指数式与对数式的互化式

a

logN=b⇔ab=N（a>0,a≠1,N>0）.

●对数的换底公式

log

N=logmN

.推论log

bn=nlogb.

aloga

ama

●对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）log（MN）=logM+log

N;

（2）log

M=logM-logN;

aaa

aa

（3）logMn=nlogM（n∈R）.

aNaa

●

m

设函数f（x）=log（ax2+bx+c）（a≠0）,记∆=b2-4ac.若f（x）的定义域为R,则a>0，且∆<0;若f（x）的值域为R,则a>0，且∆≥0.对于a=0的情形,需要单独检验.

数列

●等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d=；

●其前n项和公式为

s=n（a1+an）=na+n（n-1）d.

n212

n-1

●

1

等比数列的通项公式an=aq；

其前n项的和公式为

⎧a（1-qn）

⎧a-aq

⎪1,q≠1⎪1n,q≠1

sn=⎨1-q

或sn=⎨1-q.

⎪na,q=1

⎪⎩na1,q=1

⎩1

●分期付款（按揭贷款）

ab（1+b）n

每次还款x=

（1+b）n-1

元（贷款a元,n次还清,每期利率为b）.

●数列的通项公式与前n项的和的关系

⎨

a=⎧s1,

ns-s

n=1

n≥2

⎩nn-1

三角函数

●

常见三角不等式

（1）若

π

（0,）

2

，则sinx

.

（2）若

π

（0,），则

2

1

（3）|sinx|+|cosx|≥1.

●同角三角函数的基本关系式

sin2θ+cos2θ=1，tanθ=sinθ

cosθ

，tanθ⋅cotθ=1.

●和角与差角公式

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ;

cos（α±β）=cosαcosβ

tan（α±β）=tanα±tanβ

sinαsinβ;

.

1tanαtanβ

asinα+bcosα=

sin（α+ϕ）（辅助角ϕ所在象限由点（a,b）的象限决

定,tanϕ=b）.

a

●二倍角公式

sin2α=sinαcosα

tan2α=2tanα

1-tan2α

.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

●三角函数的周期公式

函数y=sin（ωx+ϕ），x∈R及函数y=cos（ωx+ϕ）的周期T=2π

w

；函数

y=tan（ωx+ϕ）的周期T=π.

w

●正弦定理

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R.

●余弦定理

●面积定理

a2=b2+c2-2bccosA;

S=1absinC=1bcsinA=1casinB

222

向量.

●a与b的数量积（或内积）

a·b=|a||b|cosθ．

●a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a·b=（x1x2+y1y2）.

●向量的平行与垂直

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b≠0，则a∥b（b≠0）⇔x1y2-x2y1=0

a⊥b（a≠0）⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.

●

线段的定比分公式

设P1（x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y）是线段P1P2的分点,λ是实数，且P1P=λPP2，

则

⎧x=x1+λx2

⎪1+λ⇔

⎨y+λy

1+λ

⎪y=12

⎩⎪1+λ

⇔OP=tOP1+（1-t）OP2（t=

●三角形的重心坐标公式

1）.

1+λ

△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC的重

心的坐标是G（x1+x2+x3,y1+y2+y3）.

33

●三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为∆ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222

（1）O为∆ABC的外心（中垂线）⇔OA=OB=OC.

（2）O为∆ABC的重心（中线）⇔OA+OB+OC=0.

（3）O为∆ABC的垂心（高）⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA.

（4）O为∆ABC的内心（角平分线）⇔aOA+bOB+cOC=0.不等式

●常用不等式：

（1）a,b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）

a,b∈R+⇒a+b≥（当且仅当a＝b时取“=”号）．

2

（3）柯西不等式

（ab+ab）2≤（a2+a2）（b2+b2），（当且仅当a

=λb时

取“=”号）．

1122

1212ii

（4）a-b≤a+b≤a+b.直线方程

●两条直线的平行和垂直

①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2;

②l1⊥l2⇔k1k2=-1.

两直线垂直的充要条件是

●点到直线的距离

A1A2+B1B2=0；即：

l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0

d=|Ax0+By0+C|（点P（x,y）,直线l：

Ax+By+C=0）.

圆

●直线的参数方程⎧x=x0+tcosα.（t为参数）

⎨y=y+tsinα

●圆的参数方程

⎧x=a+rcosθ.（θ为参数）

⎨y=b+rsinθ

⎩

椭圆

x2y2

⎧x=acosθ

●

⎩

椭圆+

a2b2

=1（a>b>0）的参数方程是⎨y=bsinθ.（θ为参数）

x2y2

●

焦点三角形：

P为椭圆+

a2b2

=1（a>b>0）上一点，则三角形PF1F2的面

积S=b2∙tan∠PF1F2;特别地，若PF⊥PF,此三角形面积为b2；

212

x2y2

●

在椭圆+

a2b2

=1（a>b>0）上存在点P，使PF1⊥PF2的条件是c≥b,即

双曲线

椭圆的离心率e的范围是[

2,1）；

2

●双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2⇒



x2y2b

（1）-=1

a2b2

渐近线方程：

-

a2b2

=0⇔

y=±x.

a

bxy

x2y2

（2）

若渐近线方程为y=±x⇔

a

±=0⇒双曲线可设为-

aba2b2

=λ.

（3）

若双曲线与x

a2

-

y2

b2

=1有公共渐近线，可设为x

a2

-

y2

b2

=λ（λ>0，焦

点在x轴上，λ<0，焦点在y轴上）.

●焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）抛物线

●焦点与准线

抛物线y2=ax（a≠0）,焦点是a准线x=-a;

44

抛物线x2=ay（a≠0）,焦点是（a）,准线y=-a;

●焦半径公式

抛物线y2=2px（p>0），C

0,

44

（x,y）为抛物线上一点，焦半径CF=x

+p.

0002

●过抛物线

y2=2px

（p>0）的焦点F的直线与抛物线相交于

A（x1,y1）B（x2,y2）,则有y1y2=-p,

2

x1⋅x2

=p2/4,即k

⋅

KOB

=-4。

●

OA

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

●比如在椭圆中：

AB=

A（x1,y1）,B（x2,y2）,中点M（x0,y0）,则有:

x2y2

1+1=1

（1）

a2b2

x2y2

2+2=1

（2）

a2b2

y-yxb2

（1）-

（2）k=12=0⋅（-）

x1-x2y0a

2

立体几何

●

直线l的方向向量为a,直线l与平面所成的角为θ,平面的法向量为u，直线l与平面法向量的夹角为φ,则

sinθ=cosφ=

●二面角的两个面的法向量的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小。

●异面直线间的距离

d=|CD⋅n|（l,l是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l,l上任一

|n|1212

点，d为l1,l2间的距离）.

●.点B到平面α的距离

d=|AB⋅n|（n为平面α的法向量，AB是经

|n|

过面α的一条斜线，A∈α）.

S'

●面积射影定理

S=.（平面多边形及其射影的面积分别是S、

cosθ

S'，它们所在平面所成锐二面角的为θ）.

●

球的半径是R，则其体积V=4πR3,其表面积S=4πR2．

3

●长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

●

棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为

12

6a.

4

●柱体、锥体的体积

V柱体=Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

V锥体

=1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

组合数公式

Am

Cm=n=

n（n-1）（n-m+1）=

n！

.

nm1⨯2⨯⨯m

m！

⋅（n-m）！

●二项式定理

（a+b）n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2++Cran-rbr++Cnbn二项展开

nnnnn

n

式的通项公式

Tr+1

概率

=Cran-rbr（r=0，1，2，n）.

●n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

nn

P（k）=CkPk（1-P）n-k.

●离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）Pi≥0（i=1,2,）;

（2）P1+P2+=1.

●数学期望

Eξ=x1P1+x2P2+

●数学期望的性质

（1）E（aξ+b）=aE（ξ）+b.

（2）若ξ～B（n,p）,则Eξ=np.

●方差

Dξ=（x-Eξ）2⋅p+（x-Eξ）2⋅p+

1122

●

标准差σξ=.

●方差的性质

（1）D（aξ+b）=a2Dξ；

（2）若ξ～B（n,p），则Dξ=np（1-p）.

●正态分布密度函数

（x-μ）2

f（x）=

1e-

2π6

262

x∈（-∞,+∞），式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分

别表示个体的平均数与标准差.

●

标准正态分布密度函数f（x）=

x2

e2,x∈（-∞,+∞）.

●对于N（μ,σ2），P（μ-σ

P（μ-2σ

●回归直线方程

⎧

nn

⎪∑（xi-x）（yi-y）∑xiyi-nxy

⎪b=i=1=i=1

y=a+bx，其中⎨

⎪

⎪

∑（xi-x）

i=1

∑xi

i=1

2-nx2.

⎩a=y-bx

点P（x,y）在回归直线上。

不能期望回归方程得到y的预报值就是预报变量y的精确值。

●相关系数|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。

|r|≥0.75时认为两变量有很强的线性关系。

n（nn-nn）2

●列联表独立性分析

χ2=11221221

n1+n2+n+1n+2

P（χ2≥6.635）≈0.01（99％的把握）

P（χ2≥3.841）≈0.05（95％的把握）导数

●

n

几种常见函数的导数

（1）

C'=0（C为常数）.

（2）

（x）'=nxn-1（n∈Q）.（3）

（sinx）'=cosx.

（4）

（cosx）'=-sinx.（5）（lnx）'=1；（logax）'=1loge.

（6）

xxa

（ex）'=ex;（ax）'=axlna.

●导数的运算法则

（1）（u±v）'=u'±v'.

（2）（uv）'=u'v+uv'.

（3）u

'

=u'v-uv'

（v≠0）.

vv2

●.复合函数的求导法则

x

设函数u=ϕ（x）在点x处有导数u'=ϕ'（x），函数y=f（u）在点x处的对应点

U处有导数y'=f'（u），则复合函数y=f（ϕ（x））在点x处有导数，且y'=y'⋅u'，

u

x

或写作f'（ϕ（x））=f'（u）ϕ'（x）.

●.判别f（x0）是极大（小）值的方法当函数f（x）在点x0处连续时，

xux

（1）如果在x0附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，则f（x0）是极大值；

（2）如果在x0附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，则f（x0）是极小值.复数

●复数的相等a+bi=c+di⇔a=c,b=d.（a,b,c,d∈R）

●

.复数z=a+bi的模（或绝对值）|z|=|a+bi|=.

赠送一篇美文，舒缓一下心情：

1）有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!

　　2）你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。

　　3）你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!

　　4）家有娇妻真温馨，知心相爱常厮守，贤慧温柔知我意，相守一世真幸福，一生至爱是我妻，甜蜜短信送我妻，永不改变爱你意。

　　5）家中红旗永不倒，外面野花不会采。

春光明媚花朵艳，不及老婆温柔剑。

服侍双亲多辛劳，相夫教子令人敬。

烧的一手好饭菜，贤良淑德惹人羡。

　　6）今天是“要爱妻”，但是这个日子对我来说无关紧要。

你在生气?

亲爱的，因为与你在一起的每一天对于我来说都是“要爱妻日”，我爱你!

愿用我一生让你开心幸福。

　　7）就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。

　　8）孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。

我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。

愿我们幸福百年。

　　9）浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：

老婆，爱你没商量，爱你永不变!

　　10）爱老婆要做到两个不要：

不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!

　　对老婆煽情的话

　　1）有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!

　　2）朝夕相处过日子，偶尔吵吵嘴皮子。

同享美味一桌子，你是最好大厨子。

相亲相爱两口子，幸福相守一辈子。

待到长出白胡子，依然爱你小妮子。

亲爱的老婆，爱你一辈子!

　　3）此生有你，愿一世情长，两心不忘，三生相伴，纵天荒地老，爱永远，情永长，此生此世都为你痴痴守望，默默相伴。

甜言蜜语

　　4）冬日只为飘雪留，爱你的心永不回头;海角天涯终有尽，对你的情意无边际;海枯石烂没终止，陪伴一生直到白头。

　　5）读书人喜欢诗情画意，生意人喜欢小三小蜜，混江湖的喜欢红颜知己，谈恋爱的喜欢柔情蜜意，像我们结过婚的就追求个恩爱甜蜜。

老婆我爱你。

让我们恩爱百年，幸福美满!

　　6）真情打造爱情，爱情创造痴情，痴情创建真爱，真爱开启真心，真心起航爱的行程，720妻爱你，愿爱的航船驶向幸福甜蜜的港湾!

　　7）快乐，是与你饭后的一起漫步;幸福，是同你和孩子们一起嬉戏;甜蜜，是与你心有灵犀相恋相依;720妻爱你，有你就有幸福与甜蜜。

老婆，一生爱你!

　　8）今年高温不退，每天热的难受;注意珍爱自己，工作不要太累;没事多吃水果，晚上静心去睡;遇事别急别火，万事老公顶着。

亲爱的，在720妻爱你这个特殊而神圣的日子里，我要对你说一句：

“我爱你”。

　　9）720妻爱你，家庭和睦又甜蜜，即使偶尔有脾气，带着真情吵吵嘴，相濡以沐共进退，患难与共同船渡，携手到老永相依。

祝你夫妻恩爱，生活甜蜜幸福!

　　10）三生有缘是夫妻，一颗真心交给你，愿你用着我的爱，幸福甜蜜;用着我的情，开心如意;对我撒个娇，对我发脾气，我也觉甜蜜。

720妻爱你，爱你一辈子!

　　11）720，妻爱你，爱你老实忠厚人勤快，爱你工作积极事业成，爱你尊敬父母有孝心，爱你