小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx
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小学奥数几何五大模型鸟头模型
三角形等高模型与鸟头模型
模型二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图
⑴（或D在BA的延长线上，
E在AC上如图2），
则S△ABC:
S△ADE（AB
AC）:
（AD
AE）
A
D
A
D
E
E
B
C
B
C
图⑴
图⑵
【例
1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且
AD:
AB2:
5
，AE:
AC
4:
7，S△ADE
16平
方厘米，求△ABC的面积．
A
A
D
D
E
E
B
C
B
C
【解析】连接BE，S△ADE:
S△ABE
AD:
AB
2:
5
（2
4）:
（5
4），
S△ABE:
S△ABC
AE:
AC
4:
7（4
5）:
（7
5）
，所以
S△ADE:
S△ABC
（2
4）:
（7
5），设S△ADE
8份，
则S△ABC
35份，S△ADE
16平方厘米，所以
1份是
2平方厘米，
35份就是70
平方厘米，△ABC的
面积是70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，
共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角
（相
等角或互补角）两夹边的乘积之比
．
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那
page1of8
么三角形ABC的面积是多少？
AA
DEDE
BCBC
【解析】连接BE．
∵EC3AE
∴SABC3SABE
又∵AB5AD
∴SADESABE5SABC15，∴SABC15SADE15．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
AA
E
乙
甲
C
B
D
【解析】连接AD．
∵BE3，AE6
∴AB3BE，SABD3SBDE
又∵BD
DC4，
∴SABC
2SABD，∴SABC
6SBDE，S乙
E
乙
甲
B
C
D
5S甲．
【例
2】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，
E在AC上，且AB:
AD5:
2
，
AE:
EC3:
2，S△ADE
12平方厘米，求△ABC的面积．
D
D
A
A
E
E
B
C
B
C
【解析】连接BE，S△ADE:
S△ABE
AD:
AB
2:
5
（2
3）:
（5
3）
S△ABE:
S△ABCAE:
AC
3:
（3
2）
（3
5）:
（3
2）
5，
所以S△ADE:
S△ABC
（3
2）:
5
（3
2）
6:
25，设S△ADE
6份，则S△ABC
25份，S△ADE12平方厘
米，所以1份是2
平方厘米，
25份就是
50
平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角
（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE（图中阴影部分）的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
DC
F
AEB
【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2
page2of8
倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积
的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32）6倍．因此，平行四边形的面积为
8648（平方厘米）．
【例
4】已知△DEF的面积为7
平方厘米，BE
CE,AD
2BD,CF
3AF，求△ABC的面积．
A
F
D
B
C
E
【解析】S△BDE:
S△ABC
（BD
BE）:
（BABC）（1
1）:
（2
3）
1:
6，
S△CEF:
S△ABC
（CE
CF）:
（CBCA）（1
3）:
（2
4）
3:
8
S△ADF:
S△ABC
（AD
AF）:
（AB
AC）
（21）:
（3
4）
1:
6
设S△ABC
24份，则S△BDE4份，S△ADF
4份，S△CEF
9份，S△DEF
24
4
497份，恰好是7
平方厘米，所以S△ABC
24平方厘米
【例
5】如图，三角形ABC的面积为
3平方厘米，其中
AB:
BE
2:
5，BC:
CD
3:
2
，三角形BDE的面积
是多少？
A
B
E
A
B
E
C
C
D
D
【解析】由于
ABC
DBE
180，所以可以用共角定理，设
AB
2份，BC
3份，则BE5份，
BD325份，由共角定理
S△ABC:
S△BDE（ABBC）:
（BEBD）（23）:
（5
5）6:
25，设
△
份，恰好是
平方厘米，所以
1
份是
平方厘米，
份就是
平方厘米，三角
6
3
0.5
25
25
0.5
12.5
SABC
形BDE的面积是
12.5平方厘米
【例
6】（2007
年”走美”五年级初赛试题
）如图所示，正方形
ABCD边长为
6
厘米，AE
1
AC，
3
CF
1
BC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．
A
3
D
E
B
F
C
【解析】由题意知AE
1
AC
、CF
1
CE
2
AC
．根据”共角定理”可得，
3
BC，可得
3
3
66
2
18；所以S△CEF4；
S△CEF:
S△ABC
（CF
CE）:
（CB
AC）
1
2:
（3
3）
2:
9；而S△ABC
同理得，S△CDE:
S△ACD
2:
3;，
S△CDE
183
2
12，S△CDF6
故S△DEF
S△CEF
S△DEC
S△DFC
412
610（平方厘米）．
【例
7】如图，已知三角形
ABC面积为1，延长AB至D，使BD
AB；延长BC至E，使CE
2BC；延
长CA至F，使AF
3AC，求三角形DEF的面积．
page3of8
FF
A
C
E
A
E
C
B
B
D
D
【解析】（法1）本题是性质的反复使用．
连接AE、CD．
SABC
1
SABC
1
，
∵
，
SDBC
1
∴SDBC
1．
同理可得其它，最后三角形
DEF的面积
18．
（法2）用共角定理∵在
ABC和CFE中，
ACB与
FCE互补，
∴SABC
AC
BC
1
1
1．
SFCE
FC
CE
4
2
8
又SABC
1，所以SFCE
8．
同理可得
SADF
6，SBDE
3．
所以SDEF
SABC
SFCE
SADFSBDE1
863
18．
【例
8】如图，平行四边形ABCD，BE
AB，CF
2CB，GD3DC，HA
4AD，平行四边形
ABCD的
面积是2，求平行四边形
ABCD与四边形
EFGH的面积比．
H
H
A
B
E
A
B
E
G
D
C
G
D
C
F
F
【解析】连接AC、BD．根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中，
ABC与
FBE互补，
S△ABC
AB
BC
1
1
1
．
∴
S△FBE
BE
BF
1
3
3
又S△ABC1，所以S△FBE
3．
同理可得S△GCF
8，S△DHG
15，S△AEH
8．
所以SEFGH
S△AEH
S△CFG
S△DHG
S△BEF
SABCD
8815+3+236．
所以
SABCD
2
1
．
SEFGH
36
18
【例
9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA
AB，CB
BF，DC
CG，HD
DA，求四边形
ABCD的面积．
H
H
D
C
G
C
G
D
A
B
F
A
B
F
E
E
page4of8
【解析】连接BD．由共角定理得S△BCD:
S△CGF
（CDCB）:
（CG
CF）1:
2，即S△CGF
2S△CDB
同理S△ABD:
S△AHE
1:
2，即S△AHE2S△ABD
所以S△AHES△CGF
2（S△CBDS△ADB）
2S四边形ABCD
连接AC，同理可以得到
S△DHG
S△BEF
2
S四边形ABCD
S四边形EFGHS△AHE
S△CGF
S△HDG
S△BEF
S四边形ABCD
5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD66
513.2平方米
【例
10】
如图，将四边形
ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点
E、F、G、H，若
四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是
．
F
F
E
BA
E
BA
C
G
C
G
D
D
H
H
【解析】连接
由于
于是
AC、BD．
BE
2AB，BF
2BC
，于是
SBEF4SABC，同理SHDG4SADC．
SBEF
SHDG4
SABC
4SADC
4SABCD．
再由于AE
3AB
，AH
3AD，于是
SAEH9SABD，同理SCFG
9SCBD．
于是SAEH
SCFG
9SABD
9SCBD
9
SABCD．
那么SEFGH
SBEF
SHDG
SAEH
SCFGSABCD
4SABCD9SABCD
SABCD12SABCD
60．
【例
11】
如图，在△ABC中，延长AB至
D，使BD
AB，延长BC至E，使CE
1
，F是AC的
BC
2
中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
A
F
BCE
D
【解析】∵在△ABC和△CFE中，
ACB与
FCE互补，
∴
S△ABC
AC
BC
2
2
4
．
S△FCE
FC
CE
1
1
1
又SABC2
，所以SFCE
0.5．
同理可得S△ADF
2，S△BDE
3．
所以S△DEF
S△ABC
S△CEF
S△DEB
S△ADF
2
0.53
2
3.5
【例
12】
如图，
S△ABC
1，BC
5BD，
AC
4EC
，DG
GS
SE，AFFG．求SFGS．
A
F
E
G
S
BC
D
【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有
page5of8
一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也
可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的
3
种情况．
最后求得S△FGS的面积为S△FGS
4
3
2
1
1
1．
5
4
3
2
2
10
【例
13】
如图所示，正方形
ABCD边长为
8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中
点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？
A
E
D
A
E
D
F
F
B
G
C
B
G
C
【解析】连接AF、EG．
因为S△BCFS△CDE
1
82
16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积
4
SAEF8，SEFG
8，再根据”当两个三角形有一个角相等
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
，得到SBFC16，SABFE
32，
SABF
24，所以SABG
12
平方厘米．
【例
14】
四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
F
HA
E
B
GC
D
【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．
假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为
4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角
形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，三角形DEF的面积为49．
66
由于FA
4a
，FB3a
，所以
AFB与三角形DEF的面积之比为
4
3
12．
7
7
49
同理可知
BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为
12，所以
ABC的面积占三角形
DEF面积
49
的1
12
3
13，所以
ABC的面积的面积为
49
13
13．
49
49
6
49
6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是
1，则图中虚线围成的五边形
ABCDE的面积是
．
E
A
D
BC
【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六
边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正
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六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边
形面积的
1，所以虚线外图形的面积等于
13
1
231
，所以五边形的面积是
1031
62
．
6
6
3
3
3
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
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