河南省八校届高三上学期第一次联考数学理试题 扫描版含答案.docx

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河南省八校届高三上学期第一次联考数学理试题扫描版含答案

河南八校2014-2015学年上学期第二次联考

高三数学（理）试题

参考答案

一、选择题DCDCDDCCBBCA

二、填空题

13、14、1015、16、①④

17.解：

（Ⅰ）由得：

，

，又……………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，

又，，

…………12分

18.解：

依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件（i＝0,1,2,3,4），则

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率3分

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，

由于与互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为………7分

（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故

，

。

所以ξ的分布列是

ξ

0

2

4

P

随机变量ξ的数学期望12分

19.解

（1）证明：

如图，取的中点，连接，因，则

由平面侧面，且平面侧面，

得，又平面，所以.

因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.

又，从而侧面，又侧面，故.-------6分

（2）解法一：

连接，由

（1）可知，则是在内的射影

∴即为直线与所成的角，则在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，

∴过点A作于点，连，由

（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角且直角中：

，又，∴，

且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为----12分

解法二（向量法）：

由

（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，

设平面的一个法向量，由，得：

令，得，则设直线与所成的角为，则得，解得，即

又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴锐二面角的大小为.------------12分

20.解：

（1）设椭圆的方程为，则.由，得

∴椭圆C的方程为.……2分

（2）（）解：

设，直线的方程为，代入，

得由，解得

由韦达定理得.四边形的面积

∴当，.……4分

（）解：

当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为

则的斜率为，的直线方程为由…………6分

（1）代入

（2）整理得

同理的直线方程为，可得

∴

所以的斜率为定值.…………12分

21、解：

（1）的定义域为.

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；

当时，令，解得

即时，；时，；

故在单调递增，在单调递减；…………（6分）

（2）不妨设，而，由

（1）知在单调递减，从而对任意，恒有…..（8分）

令，则等价于在单调递减，

即，从而，

故的取值范围为…………….（12分）

另解：

设，

则

当，。

∴∴

22、

（1）连接，因为，所以．

为半圆的切线，∴．∵，．

．平分．5分

（2）连接，由

（1）得，∴．

∵四点共圆．∴．∵AB是圆O的直径，∴是直角．∴∽，

．∴．10分

23.（）直线的普通方程为：

；曲线的直角坐标方程为---4分

（）设点，则

所以的取值范围是.---------10分

24．解：

解：

（Ⅰ）当时，原不等式可变为，可得其解集为

（Ⅱ）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，

因在上为增函数，则，当时，，

故只需即可，即时，恒成立．