小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx

1、小学奥数几何五大模型鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则SABC:SADE(ABAC):(ADAE)ADADEEBCBC图图【例1】如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，SADE16平方厘米，求ABC的面积AADDEEBCBC【解析】连接BE，SADE:SABEAD:AB2:5(24):(54)，SABE:SABCAE:A

2、C4:7(45):(75)，所以SADE:SABC(24):(75)，设SADE8份，则SABC35份，SADE16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等于 1，那page1of8么三角形 ABC的面积是多少？A AD E D EB C B C【解析】连接BE EC3AESABC 3SABE又AB 5ADSADE SABE 5 SABC 15，SABC 15S

3、ADE 15【巩固】如图，三角形 ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， BD DC 4，BE 3，AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE乙甲CBD【解析】连接AD BE3，AE6AB3BE，SABD3SBDE又BDDC4，SABC2SABD，SABC6SBDE，S乙E乙甲BCD5S甲【例2】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，SADE12平方厘米，求ABC的面积DDAAEEBCBC【解析】连接BE，SADE:SABEAD:AB2:5(23):(53)SABE:SABCAE:AC3:(32)(35):(32)5，所以SADE:SAB

4、C(32):5(32)6:25，设SADE6份，则SABC25份，SADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，AF 2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？D CFA E B【解析】连接FB三角形 AFB面积是三角形 CFB面积的2倍，而三角形 AFB面积是三角形 AEF面积的2page2of8倍，所以三角形 ABC面积是三角形 AEF面积

5、的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC面积的 2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32）6倍因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)【例4】已知DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求ABC的面积AFDBCE【解析】SBDE:SABC(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，SCEF:SABC(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8SADF:SABC(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6设SABC24份，则SBDE4份，SADF4份，SCEF9份，SDEF244497份，恰好是7平方厘米，所以SABC24平方厘米【例

6、5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE2:5，BC:CD3:2，三角形BDE的面积是多少？ABEABECCDD【解析】由于ABCDBE180，所以可以用共角定理，设AB2份，BC3份，则BE5份，BD325份，由共角定理SABC:SBDE(ABBC):(BEBD)(23):(55)6:25，设份，恰好是平方厘米，所以1份是平方厘米，份就是平方厘米，三角630.525250.512.5SABC形BDE的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE1AC，3CF1BC三角形DEF的面积为_平方厘米A3DEBFC【解析

7、】由题意知AE1AC、CF1CE2AC根据”共角定理”可得，3BC，可得3366218；所以SCEF4；SCEF:SABC(CFCE):(CBAC)12:(33)2:9；而SABC同理得，SCDE:SACD2:3;，SCDE183212，SCDF6故SDEFSCEFSDECSDFC412610(平方厘米)【例7】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积page3of8F FACEAECBBDD【解析】(法1)本题是性质的反复使用连接AE、CDSABC1SABC1，SDBC1SDBC1同理可得其它，最后

8、三角形DEF的面积18(法2)用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，SABCACBC111SFCEFCCE428又SABC1，所以SFCE8同理可得SADF6，SBDE3所以SDEFSABCSFCESADFSBDE186318【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比HHABEABEGDCGDCFF【解析】连接AC、BD根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，SABCABBC111SFBEBEBF133又SABC1，所以SFBE3同理可得SGCF8，SDHG1

9、5，SAEH8所以SEFGHSAEHSCFGSDHGSBEFSABCD8815+3+236所以SABCD21SEFGH3618【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积HHDCGCGDABFABFEEpage4of8【解析】连接BD由共角定理得SBCD:SCGF(CDCB):(CGCF)1:2，即SCGF2SCDB同理SABD:SAHE1:2，即SAHE2SABD所以SAHESCGF2(SCBDSADB)2S四边形ABCD连接AC，同理可以得到SDHGSBEF2S四边形ABCDS四边形EFGHSAHESCGFSHDGSBEFS

10、四边形ABCD5S四边形ABCD所以S四边形ABCD66513.2平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是FFEBAEBACGCGDDHH【解析】连接由于于是AC、BDBE2AB，BF2BC，于是SBEF4SABC，同理SHDG4SADCSBEFSHDG4SABC4SADC4SABCD再由于AE3AB，AH3AD，于是SAEH9SABD，同理SCFG9SCBD于是SAEHSCFG9SABD9SCBD9SABCD那么SEFGHSBEFSHDGSAEHSCFGSABCD4SABCD9SA

11、BCDSABCD12SABCD60【例11】如图，在ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE1，F是AC的BC2中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？AFB C ED【解析】在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，SABCACBC224SFCEFCCE111又SABC2，所以SFCE0.5同理可得SADF2，SBDE3所以SDEFSABCSCEFSDEBSADF20.5323.5【例12】如图，SABC1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG求SFGSAFEGSB CD【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角

12、形有page5of8一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况最后求得SFGS的面积为SFGS4321115432210【例13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？AEDAEDFFBGCBGC【解析】连接AF、EG因为SBCFSCDE18216，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积4SAEF8，SEFG8，再根据”当两个三角形有一个角相等比等于夹这个角的两边长度的乘积比”或互补时，这两个三角形的面

13、积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到SBFC16，SABFE32，SABF24，所以SABG12平方厘米【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积FHAEBG CD【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF，则 AGF与 CEH都是正三角形假设正六边形的边长为为 a，则 AGF与 CEH的边长都是 4a，所以大正三角形 DEF的边长为4 2 1 7，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49倍而一个正六边形是由 6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1，三角形DEF的面积为496 6由于FA4a，FB3a，所以AFB与三角形DEF的面积之比为43

14、127749同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为12，所以ABC的面积占三角形DEF面积49的112313，所以ABC的面积的面积为49131349496496【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是EADB C【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半， 也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半， 那么它们合起来等于一个正page6of8六边形的面积；虚线 AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1，所以虚线外图形的面积等于131231，所以五边形的面积是103162663338 、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。9 、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。10 、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。page7of8page8of8