机械波与机械振动 学生版.docx

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机械波与机械振动学生版

机械振动和机械波

知识网络：

单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成两部分，即：

机械振动；机械波。

其中重点是简谐运动和波的传播的规律。

难点是对振动图象和波动图象的理解及应用。

机械振动

一、简谐运动的基本概念

1．定义

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：

F=-kx

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）

（4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2．几个重要的物理量间的关系

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

v和x、F、a之间的关系最复杂：

当v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3．从总体上描述简谐运动的物理量

振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。

（在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）

（2）周期T是描述振动快慢的物理量。

（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐运动都有共同的周期公式：

（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

二、典型的简谐运动

1．弹簧振子

（1）周期

，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

。

（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例1】有一弹簧振子做简谐运动，则（）

A．加速度最大时，速度最大B．速度最大时，位移最大

C．位移最大时，回复力最大D．回复力最大时，加速度最大

【例2】如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。

（1）最大振幅A是多大？

（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？

【例3】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm．某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．求：

（1）振动的周期和频率；

（2）振子在5s内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．

【例4】一弹簧振子做简谐运动．周期为T

A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍

B．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍

C．若△t＝T／2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定相等

D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一定相同

2．单摆。

（1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

（2）当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期

，与摆球质量m、振幅A都无关。

其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。

这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

（4）摆钟问题。

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：

在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

【例5】已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。

让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？

。

三、简谐运动的图象

1．简谐运动的图象：

以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线．

2．振动图象的含义：

振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律．

3．图象的用途：

从图象中可以知道：

（1）任一个时刻质点的位移

（2）振幅A．（3）周期T

（4）速度方向：

由图线随时间的延伸就可以直接看出

（5）加速度：

加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了

点评：

关于振动图象的讨论

（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。

就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。

以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．

（2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性．简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研究要比用方程要直观、简便．简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。

正负表示速度的方向，正时沿x正向，负时沿x负向．

【例6】劲度系数为20N／cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻

A．振子所受的弹力大小为0．5N，方向指向x轴的负方向

B．振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子作了1．75次全振动

D。

在0～4s内振子通过的路程为0．35cm，位移为0

【例10】摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至

时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（  ） 

 四、受迫振动与共振

1．受迫振动

物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：

两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2．共振

当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

（1）利用共振的有：

共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……

（2）防止共振的有：

机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……

【例7】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。

不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。

已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。

为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是

A．降低输入电压B．提高输入电压

C．增加筛子质量D．减小筛子质量

【例8】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。

当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：

（）

A．逐渐增大

B．先逐渐减小后逐渐增大； 

C．逐渐减小

D．先逐渐增大后逐渐减小

【例9】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。

下列说法中正确的有：

（）

A．各摆的振动周期与a摆相同

B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长

D．各摆均做自由振动

五、针对训练

1．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m．则两单摆摆长la与lb分别为

A．la＝2.5m，lb＝0.9mB．la＝0.9m，lb＝2．5m

C．la＝2.4m，lb＝4.0mD．la＝4.0m，lb＝2.4m

2．一个弹簧振子在AB间作简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（

）。

经过

周期，振子具有正方向的最大加速度。

那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？

（）

3．如下图所示，一个小铁球，用长约10m的细线系牢，另一端固定在O点，小球在C处平衡，第一次把小球由C处向右侧移开约4cm，从静止释放至回到C点所用时间为

；第二次把小球提到O点，由静止释放，到达C点所用的时间为

，则（）

A．

>

B．

=

C．

<

D．无法判断

4．一个单摆作简谐运动，若使摆球质量变为原来的4倍，而通过平衡位置时的速度变为原来的

，则（）

A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变

C．频率改变，振幅不变D．频率改变，振幅改变

5．甲、乙两个单摆的振动图线如图所示。

根据振动图线可以断定（）

A．甲、乙两单摆摆长之比是4∶9B．甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3

C．甲摆的振动能量大于乙摆的振动能量D．乙摆的振动能量大于甲摆的振动能量

6．在一圆形轨道上运行的人造同步地球卫星中放一只用摆计时的挂钟，这个钟将要（）

A．变慢B．变快C．停摆不走D．快慢不变

8．如图是M、N两个单摆的振动图线。

M的振幅是__________厘米，周期是__________秒；N的振幅是__________厘米，周期是__________秒。

开始振动后当N第一次通过平衡位置时，M的位移是__________厘米。

如果两摆球质量之比是1∶2，在同一地点，摆长之比是__________。

简谐运动的图象专项练习

1．一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（）

A．速度为正的最大值，加速度为零

B．速度为零，加速度为负的最大值

C．位移为正的最大值，动能为最小

D．位移为正的最大值，动能为最大

2．如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为（）

A．v变大，a变小B．v变小，a变小

C．v变大，a变小D．v变小，a变大

 3．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度α的方向应为（）

A．v为正，a为负B．v为负，a为正

C．v、a都为正D．v、a都为负

 5．如下图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列说法中正确的是（）

A．再过1s，该质点的位移是正最大B．再过1s，该质点的速度方向向上

C．再过1s，该质点的加速度方向向上D．再过1s，该质点的加速度最大

 6．一质点作简谐运动的图象如下图所示，则该质点（）

A．在0至0.01s内，速度与加速度同方向

B．在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向

C．在0.025s末，速度为正，加速度为负

D．在0.04s末，速度为零，回复力最大

8．一个做简谐振动的质点的振动图象如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是（）

A．t4B．t3C．t2D．t1

 1

 16．一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示．在t=1．25s时小球的加速度的大小为，方向；在t=2．75s时小球的加速度大小为，速度的方向为．

机械波

一、机械波

1．机械波的产生条件：

①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相互作用力）。

2．机械波的分类

机械波可分为横波和纵波两种。

（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：

绳上波、水面波等。

（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：

弹簧上的疏密波、声波等。

分类

质点的振动方向和波的传播方向关系

形状

举例

横波

垂直

凹凸相间；有波峰、波谷

绳波等

纵波

在同一条直线上

疏密相间；有密部、疏部

弹簧波、声波等

说明：

地震波既有横波，也有纵波。

3．机械波的传播

（1）在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。

波速、波长和频率之间满足公式：

v=λf。

（2）介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。

（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。

（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

4．机械波的传播特点（规律）：

（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。

即：

各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。

（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。

5．机械波的反射、折射、干涉、衍射

一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。

特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

（1）干涉产生干涉的必要条件是：

两列波源的频率必须相同。

要发生干涉还要求两列波的振动方向相同，还要求相差恒定。

我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。

如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。

干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：

①最强：

该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=nλ

②最弱：

该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即

根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。

“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”

【例1】如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。

实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。

关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有

A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱

B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C．a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的

D．再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

【例2】如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。

设两列波的振幅均为5cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。

C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是（）

A．C、E两点都保持静止不动

B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm

C．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动

D．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm

（2）衍射。

①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。

②能够发生明显的衍射现象的条件是：

障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。

（3）波的独立传播原理和叠加原理。

独立传播原理：

几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

叠加原理：

介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。

波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。

前者是描述波的性质：

同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。

比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。

后者是描述介质质点的运动情况：

每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。

6．多普勒效应

当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。

学习“多普勒效应”必须弄清的几个问题：

（1）当波源以速率v匀速靠近静止的观察者A时，观察者“感觉”到的频率变大了。

但不是“越来越大”。

（2）当波源静止，观察者以速率v匀速靠近波源时，观察者“感觉”到的频率也变大了。

（3）当波源与观察者相向运动时，观察者“感觉”到的频率变大。

（4）当波源与观察者背向运动时，观察者“感觉”到的频率变小。

【例3】（2004年高考科研测试）a为声源，发出声波；b为接收者，接收a发出的声波。

a、b若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是

A．a静止，b向a运动，则b收到的声频比a发出的高

B．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的高

C．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的低

D．a、b都向相互背离的方向运动，则b收到的声频比a发出的高

二、振动图象和波的图象

1．振动图象和波的图象

振动图象和波的图象的本质的区别。

（1）物理意义不同：

振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。

（2）图象的横坐标的单位不同：

振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。

（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。

简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：

简谐振动

简谐横波

图

象

坐

标

横坐标

时间

介质中各质点的平衡位置

纵坐标

质点的振动位移

各质点在同一时刻的振动位移

研究对象

一个质点

介质中的大量质点

物理意义

一个质点在不同时刻的振动位移

介质中各质点在同一时刻的振动位移

随时间的变化

原有图形不变，图线随时间而延伸

原有波形沿波的传播方向平移

运动情况

质点做简谐运动

波在介质中匀速传播；介质中各质点做简谐振动

2．描述波的物理量——波速、周期、波长：

（1）波速v：

运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。

（2）周期T：

即质点的振动周期；由波源决定。

（3）波长λ：

在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。

结论：

（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。

由此：

①v=λ/T=λf；λ=vT.②波长由波源和介质决定。

（2）质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。

（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。

3．波的图象的画法

波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。

4．波的传播是匀速的

在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。

n个周期波形向前推进n个波长（n可以是任意正数）。

因此在计算中既可以使用v=λf，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。

5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）

任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A，在半个周期内经过的路程都是2A，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。

6．起振方向：

介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。

【例4】在均匀介质中有一个振源S，它以50HZ的频率上下振动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。

开始时刻S的速度方向向下，试画出在t=0.03s时刻的波形。

7．波动图象的应用：

（1）从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。

（2）波动方向<==>振动方向。

方法：

选择对应的半周，再由波动方向与振动方向“头头相对、尾尾相对”来判断。

如图：

【例5】如图是一列波在t1=0时刻的波形，波的传播速度

为2m/s，若传播方向沿x轴负向，则从t1=0到t2=2.5s的时间

内，质点M通过的路程为______，位移为_____。

（3）两个时刻的波形问题：

设质点的振动时间（波的传播时间）为t，波传播的距离为x。

则：

t=nT+△t即有x=nλ+△x（△x=v△t）且质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。

①根据某时刻的波形，画另一时刻的波形。

方法1：

波形平移法：

当波传播距离x=nλ+△x时，波形平移△x即可。

方法2：

特殊质点振动法：

当波传播时间t=nT+△t时，根据振动方向判断相邻特殊点（峰点，谷点，平衡点）振动△t后的位置进而确定波形。

②根据两时刻的波形，求某些物理量（周期、波速、传播方向等）

【例6】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s

时的波形图象。

求：

①波传播的可能距离②可能的周期（频率）

③可能的波速④若波速是35m/s，求波的传播方向

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。

解析：

①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：

向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m（n=0、1、2…）

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m（n=0、1、2…）

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：

T=4t/（4n+3）=0.8/（4n+3）（n=0、1、2…）

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：

T=4t/（4n+1）=0.8/（4n+1）（n=0、1、2…）

③计算波速，有两种方法。

v=x/t或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s.或v=λ/T=4（4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2…）

向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s.或v=λ/T=4（4n+1）/0.8=（20n+5）m/s.（n=0、1、2…）

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1

λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。

则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：

周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：

周期T=0.8s；波速v=5m/s.

（4）根据波的传播特点（运动状态向后传）确定某质点的运动状态问题：

【例7】一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M、N之间，并知此波的周期为T，Q质点速度方向在波形中是向下的。

则：

波源是_____；P质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时，P点已经振动的时间为______。

【例8】如图是一列向右传播的简谐横波在t=0时刻（开始计时）的波形图，已知在t=1s时，B点第三次达到波峰（在1s内B点有三次达到波峰）。

则：

①周期为________②波速为______；

③D点起振的方向为_________；④在t=____s时刻，此波传到D点；在t=____s和t=___s时D点分别首次达到波峰和波谷；在t=____s和t=___s时D点分别第二次达到波峰和波谷。

三、声波

1．空气中的声波是纵波。

2．空气中的声速可认为是340m/s，水中的声速是1450m/s，铁中的声速是5400m/s。

3．人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz。

频率低