中考数学复习指导.docx

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中考数学复习指导

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第一讲数与式

初中数学的内容丰富，范围广泛，依据九年义务教育初级中学现行的《教学大纲》及教材所列，它的知识点有200多个，这200多个知识点散落在初中的四本代数和三本几何之中。

总复习的目的，就是要将所学的知识系统化、条理化、完整化，要强化思维，形成能力。

因此很有必要将零碎的知识梳理归纳，使学生们在总复习时，有章可循，提高学习效率。

初中的代数部分，可以归纳为五个专题：

一、数与式，二、方程和方程组，三、不等式和不等式组，四、函数及其图像，五、统计初步。

现分述如下：

一、数与式

1.实数

知识要点

（1）会实数分类

（2）懂得数轴、相反数、倒数、绝对值，n次方根，近似数的精确度等有关概念。

（3）会实数的加、减、乘、除、乘方、开方及混合运算。

（4）会实数大小的比较。

例题分析

例1（2001年黄冈）在-7、cot45°、sin60°、π/3、-、（-）-2这六个数中，有理数的个数为（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：

对实数的分类，要紧紧抓住有理数和无理数的定义。

有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。

当然判断一个数是有理数还是无理数，一定要把这个数化为最简形式，然后对这个最简形式进行判断。

解：

cot45°=1，sin60°=/2，-=-3，（-）-2=1/7

∴-7，cot45°-，（-）-2是有理数。

选（D）

例2（2002年哈尔滨）已知|x|=3，|y|=2，xy﹤0，则x+y的值等于（）

（A）5或-5（B）1或-1（C）5或1（D）-5或-1

分析：

根据绝对值的意义，可以确定x与y的值。

再利用xy﹤0这一条件，考虑x、y异号的两种情形。

即可求得x+y的值。

解：

由|x|=3，|y|=2，可知x=±3，y=±2。

又∵xy﹤0∴x、y异号

当x﹥0，y﹤0时，有x+y=3-2=1

当x﹤0,y﹥0时，有x+y=-3+2=-1

故应选（B）

例3（2002年山西）若实数a、b满足（a+b-2）2+=0,则2b-a+1=_______

分析：

（a+b-2）2与都是非负数，两个非负数的和是零，则这两个非负数都是零。

这样就可以求出a、b的值。

求出a、b的值后，再代入求值即可。

解：

∵（a+b-2）2≥0≥0

而（a+b-2）2+=0

∴（a+b-2）2=0a+b-2=0a=5/3

=0b-2a+3=0b=1/3

∴2b-a+1=2×1/3-5/3+1=0

例4　（2002年泰州）2002年5月15日，我国发射的海洋1号气象卫星进入预定轨道后，若绕地球运行的速度为7.9×103米/秒，则运行2×102秒的路程是（用科学记数表示）（）

（A）15.8×105米　（B）1.58×105米　（C）0.158×107米　　（D）1.58×106

分析：

要熟记科学记数法的意义，即把一个数写成a×10n的形式（其中1≤︱a︱﹤10，n为整数）

解：

7.9×103×2×102＝15.8×105＝1.58×106

故选（D）

例5　（2002年　黄冈）将a=（-1,b=（-2）0,c=（-3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（　）

（A）　b﹤a﹤c（B）a﹤b﹤c（C）c﹤b﹤a（D）b﹤c﹤a

分析：

比较几个实数的大小，先把各数化简，然后可按着两个实数的大小比较方法进行，即正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小；从数轴上看，数轴上右边的点表示的实数大于左边的点所表示的实数

解：

a=（）-1=6b=（-2）0=1c=（-3）2=9

∴b﹤a﹤c

故选（A）

例6　　（2002年　广东）计算

-（-5）+（-2）×（-1）10+（）-1﹣（-1）0

分析：

实数的混合运算，一定要掌握运算顺序，先乘方、开方，再乘除，最后算加、减，同级运算先左后右。

解：

　-（-5）+（-2）×（-1）10+（）-1﹣（-1）0

＝-（-5）+（-2）×1+2-1

＝-（-5）-2+2-1

＝5-2+2-1

＝4

2.整式

知识要点

（1）要掌握单项式、多项式、整式、代数式等概念，要会求代数式的值，会列代数式。

（2）能灵活用公式、法则，进行整式的加减、乘、除、乘方的混合运算。

　　　　例1　　（2002年　　重庆）某种商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售。

在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）

分析：

列代数式实际上是用数符号语言表示文字语言的一种形式，关键是准确理解题意，明确运算顺序，正确使用括号。

解：

根据题意，原零售价为（1+）a元，现销售价为0.8（1+）a元，即1.04a元，故选（C）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

日一二三四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

例2　（2002年　安徽），右表　　　　　　　　　　　　

是2002年6月份的日历，现用一

矩形在日历中任意框出4个数

请用一个等式表示a、b、c、d之

间的关系

分析：

对于方框内的4个数，易如b-a=1,即a+1=b,c+1=d,c-a=7,d-b=7.

解：

a+d=b+c.

例3　（2002年　太原）　化简（a+2）2-2a（a+2）=

分析：

利用整式的运算法则去做。

解：

（a+2）2-2a（a+2）

=a2+4a+4-2a2-4a

=-a2+4

3.因式分解

知识要点

熟练地得用提取公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法进行多项式的因式分解，并能掌握利用一元二次方程的求根公式在实数范围内分解因式。

例题分析

例1　（2002年　河北）分解因式a2+b2-2ab-1　=

分析：

利用分组分解法。

解：

　a2+b2-2ab-1

=a2-2ab+b2-1

=（a-b）2-1

=（a-b+1）（a-b-1）

例2（2002年　威海）　在实数范围内把9x2+6x-4分解因式，结果为（　）

　（A）（3x-1-）（3x-1+）（B）（x+1+）（x+1-）

（C）（3x+1+）（3x+1-）（D）（x-1-）（x-1+）

分析：

利用一元二次方程的求根公式法。

　解：

　由9x2+6x-4=0得x=

∴9x2+6x-4=9（x-）（x-）=（3x+1-）（3x+1+）

∴选（C）

　例3　（2002年　安徽）　已知x2-ax-24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是　　　（只需填一个）

分析：

从24的因数结构出发，利用十字相乘法，即可求得a的值

解：

a可取+23，+10，+5，+2之一即可

4.分式

知识要点

（1）要了解分式的有关概念，如分式、有理式、最简分式、最简公分母、约分、通分等。

（2）要掌握分式的基本性质

（3）能进行分式的加、减、乘、除、乘方等运算。

例题分析

例1（2002年　河北）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　）

（A）扩大3倍　　（B）不变　　（C）缩小3倍　　（D）缩小6倍

分析：

利用分式的基本性质完成本题。

解：

由题意，可令′=3x,y′=3y　则

＝＝＝

可见中的x和y同时扩大3倍，分式的值不变，故选（B）

例2　（2002年　黑龙江）　如果分式的值为零，那么x等于（）

（A）-1（B）1（C）-1或1（D）1或2

分析：

分式的值为零，必须同时满足①分子为零，②分母不为零两个条件。

解：

依题意有?

x?

-1=0

x2-3x+2≠0解得x=-1

∴选（A）

例3（2002年重庆）已知x=+1,则代数式：

+÷的值等于

分析：

利用分式的运算法则，先进行化简，然后再代入求值。

解：

+÷

=+×

=+

=

当x=+1时

原式=

5．根式

知识要点

（1）要了解二次根式的有关概念

（2）要掌握二次根式的性质

（3）要掌握二次根式的运筹

（4）能熟练地进行二次根式的化简和分母有理化。

例题分析

例1（2002年上海）下列根式中，属于最简二次根式的是（）

（A）（B）（C）（D）

分析：

最简二次根式必须是二次根式，且满足：

（1）被开方数的因数是整数、因式是整式；

（2）被开方数中各个因式的指数必须为1。

解：

根据最简二次根式的定义，只有满足，故选（B）

例2（2002年辽宁）对于题目"化简并求值：

+,其中a=,"甲、乙两人的解答不同。

甲的解答是：

+=+-a=-a=

乙的解答是：

+=+a-=a=

谁的解答错误？

为什么？

分析：

二次根式的性质有，这就意味着当a≥0时，；而a<0时，=-a.

解：

对于甲的解答，当a=时，，是正确的。

而乙的解答，当a=时，

因此，乙的解答是错误的。

例3（2002年贵阳）已知：

a=,b=2+,求÷的值。

分析：

先根据分式运算法则进行计算，化为最简形式后，再代入求值。

解：

÷

=×

=ab

当a=,b=2+时，

原式=（2-）（2+）=22-（）2=4-2=2。

第二讲方程与方程组

1、一元一次方程和一次方程组

知识要点

熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法，会解简单的三元一次方程组。

例题分析

例1（2001年　　泰州）　解方程：

（0.1x-0.2）/0.02－（x+1）/0.5＝3

分析：

利用解一元一次方程方法和步骤完成本题。

解：

（0.1x-0.2）/0.02-（x+1）/0.5=3

去分母，得5x-10-2（x+1）=3，去括号得5x-10-2x-2=3

移项，合并同类项，得3x=15

系数化为1，得x=5　　　　　　　　　　　　　　　2x+y=7

例2（2002年　　镇江）　　已知二元一次方程组为则x-y=,x+y=

x+2y=8

分析：

可以解方程组，求得x、y的值，然后再代入求值，也可以直接利用加减法，求出所求代数式的值

　　　　　2x+y=7①

解法一：

x+2y=8②

①-②×2-3y=-9

y=3

把y=3代入①　　　得x=2

　　　　　　　　　x=2

∴原方程组的解为

y=3

　　　x=2

当时，　　　x-y=2-3=-1,x+y=2+3=5

y=3

　　　　　2x+y＝7①

解法二：

　　　　　x+2y=8②

①-②,得x-y=-1

[①+②]/3得x+y=5

例3　　　（2002年　　宁夏）　　某乡中学现有学生500人,计划一年后女生在校生增加3%，男生在校生增加4%，这样，在校学生将增加3.6%，那么该学校现有女生和男生人数分别是（　）

（A）200和300（B）300和200（C）320和180　　　　（D）180和320

分析：

可列一元一次方程或列二元一次方程组：

解法一：

设该校有女生x人，则男生有（500-x）人，

依题意有：

x（1+3%）+（500－x）（1+4%）＝500（1+3.6%）

1.03x+500×1.04-1.04x＝500×1.036

-0.01x＝-2

x＝200

则500-x＝500-200＝300

因此女生有200人，男生有300人，∴选（A）

解法二：

设该校有女生x人，男生有y人

　　　　　x+y=500

依题意有

x（1+3%）+y（1+4%）=500（1+3.6%）

　　　　　x=200

解之有

y=300

∴该校有女生200人，男生有300人，故选（A）

2、一元二次方程和根的判别式

知识要点

（1）能灵活运用四种方法解一元二次方程。

（2）掌握一元二次方程的根的判别式在解题中的应用。

例题分析

例1　　（2002年　北京东城）　　关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（　）

（A）1　　（B）-1　　（C）1或-1　　（D）1/2

分析：

先利用根的定义，将原方程化为关于a的一元二次方程，并求出a值，然后再对a进行检验。

解：

∵方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0。

∴（a-1）×02+0+a2-1=0

∴a=1或-1

又∵方程（a-1）x2+x+a2-1=0是一元二次方程，∴a=1不合题意

　∴a＝-1故取（B）

例2　　　（2002年　　武汉）　不解方程，差别方程2x2+3x－4＝0的根的情况是（　）

（A）有两个相等的实数根；

（B）有两个不相等的实数根；

（C）只有一个实数根

（D）没有实数根

分析：

利用根的差别式?

=b2-4ac与0进行比较即可

解：

在2x2+3x-4=0中　a=2,b=3,c=-4,

?

=b2-4ac=32-4×2×（-4）=9+32=41﹥0

∴方程有两个不相等的实数根。

故选（B）

例3　　（2002年　北京海淀）　　已知：

关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0有两个相等的实数根。

求证：

关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实数根。

分析：

利用方程（n-1）x2+mx+1=0有两个相等的实数根这一条件，可求得m与n的关系，并能确定n的取值范围。

然后再求关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0的根的判别式大于零即可。

证明：

∵关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0有两个相等的实数根

　　　n-1≠0

∴

?

1=m2-4（n-1）=0

∴m2=4（n-1）且m≠0,则n-1＞0

关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0而言

?

2＝（-2m）2-4m2（-m2-2n2+3）

　＝4m2+4m2（m2+2n2-3）

=4m2（1+m2+2n2-3）

=4m2[1+4（n-1）+2n2-3]

=4m2[2n2+4n-6]

=8m2（n2+2n-3）

8m2（n+3）（n-1）

∵m≠0∴8m2＞0

∵n-1＞0∴n＞1

∴n+3＞0

∴?

2＞0

∴关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2-+3=0有两个不相等的实根

3一元二次方程根与系数的关系

知识要点

（1）掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为x1+x2=--b/a,x1,x2是方程的两个根。

2、能利用根与系数的关系解决如下的六个问题

①已知方程的一个根，求另一个根及未知系数。

②不解方程，求与方程有关的代数式的值。

③已知方程的两根的某些关系，求作方程。

④已知两数的和与积，求这两个数。

⑤已知方程两根之间的某种关系，证明某些等式成立。

⑥不解方程，判断两根的符号。

例题分析

例1　　（2002年　　北京西城）　　如果关于x的方程2x2-7+m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（　）

（A）1/2（B）-1/2（C）2（D）-2

分析：

利用两实数根互为倒数，求得m的值，然后再检验。

解,设方程2x2-7x+m=0的两实根为x1，x2，且x1x2＝1

则有　　x1x2＝m/2=1

∴m=2

当m＝2时，方程2x2-7x+m=0化为2x2-7x+2=0,?

=（-7）2-4×2×2=49-16=33＞0

∴m=2满足题意，故选（C）

例2　　（2002年　　　太原）　　已知：

x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+（m2+1）=0的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示x12+x22;

（2）当x12+x22=15时，求m的值。

分析：

把x12+x22化为（x1+x2）2-2x1x2是解本题的关键。

解：

（1）∵x1+x2=-（2m+1）x1x2=m2+1

∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[-（2m+1）]-2（m2+1）＝4m2+4m+1-2m2-2＝2m2+4m-1

（2）当x12+x22=15时，即2m2+4m-1=15时。

　有m2+2m-8=0

（m+4）（m-2）=0

m1=-4m2=2

当m1=-4时，方程无实根，故m1=-4舍去。

∴m=2

例3　　　（2002年　　四川眉山）　以-2、1为根的一元二次方程是（　）

（A）x2+x-2=0（B）x2-x-2=0（C）x2+x+2=0（D）x2-x+2=0

分析：

利用根与系数的关系，十分容易构造所求方程。

解：

以-2、1为根的一元二次方程是

x2-（-2+1）x+（-2）×1=0化为x2+x-2=0故选（A）

4．分式方程

知识要点

掌握利用乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程的方式。

掌握利用换元法解分式方程的方法。

检根是解分式方程的必需步骤，务必牢记

例题分析

例1（2002年　　北京石景山）　　解方程

10/（x2+x-6）+2/（x+3）=1

分析：

将x2+x-6分解因式，然后方程两边同乘以最简公分母。

解：

由方程10/（x2+x-6）+[2/（x+3）]=1

可以得到，两边同乘以（x+3）（x-2）,得10+2（x-2）＝

（x+3）（x-2）

整理后有x2-x-12=0

解之　　x1=4x2=-3

经检验x2=-3是原方程的增根

∴原方程的解为x=4

例2（2002年　　四川内江）　　解方程3x-1/x+6x/（3x2-1）=5

分析：

　将原方程变化形式后，利用换元法。

解：

将原方程整理得，（3x2-1）/x+6x/（3x2-1）=5

设y=（3x2-1）/x,则x/（3x2-1）=1/y

∴原方程可化为y+6/y=5

∴y2-5y+6=0　解得y1=2,y2=3

当y1=2时，解得x1=1,x2=--1/3

当y2=3时，x3=,x4=

经检验x1、x2、x3、x4都是原方程的根

2、简单的二元二次方程组

知识要点

掌握利用消元法将二元二次方程组转化为一元方程的方法。

掌握利用降次法将二元二次方程组转化为二元一次方程组的方法。

例题分析　　　　　　　　　　　　x2-2x+3y-5=0

例1（2002年　　大连）解方程组

x-y+1=0

分析：

采用消元法，将方程组转化为关于x的一元二次方程

　　　x2-2x+3y-5=0①

解

x-y+1=0②

①+②×3x2+x-2=0

解之　　x1=1x2=-2

当x1=1时，代入方程②有y1=2

当x2=-2时，代入方程②有y2=-1

　　　　　　　　x1=1x2=-2

∴方程组的解为

y1=2y2=-1　　　x2+y2-2xy=4

例2　　（2002年　　哈尔滨）　　方程组的解是（　）

5x=10

　　　　x=2x=2x=2x=0　　　　x=2

（A）（B）（C）或或

y=0y=4y=cy=2y=4

分析：

利用降次法可将该二元二次方程组转化为两个二元一次方程组

解：

方程x2+y2-2xy=4可化为（x-y）2=4,进而得到x-y=2或x-y=4

　　　　　　　x-y=2　　　x-y=-2

∴原方程化为和

5x=105x=10

　　　　x=2x=2

解之有

y=0,y=4故选（C）

3、列方程（组）解应用问题

知识要点

掌握解应用问题的步骤，会用方程（组）准确表达问题和解决问题

例题分析

例1（2002年　　河北）　　北京至石家庄的铁路长329千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时　。

如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为　　　　　　　。

分析：

牢牢掌握数量关系：

时间=

解：

　提速前需要的时间为392/x，提速后需要的时间为392/（x+40），因此所列方程为392/x-392/（x+40）=1

例2　（2002年　　北京石景山）　　某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。

商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到了135.2万元，求四、五两月的平均增长率。

分析：

要牢牢掌握数量关系：

增长量=基础量×增长率

解：

设四、五两月的平均增长率为x

100（1-20%）（1+x）2=135.2

（1+x）2=1.69

1+x=±1.3

x1=0.3=30%x2=-2.3（不合题意，舍去）

答：

四、五两月的平均增长率为30%。

例3（2002年　　黄冈）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：

"宝乐"牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接"六一"儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现：

如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

分析：

要掌握"总盈利＝每件盈利×件数"

解：

设每件童装应降价x元，由于每件童装每降价4元，则平均每天就可多售出8件，所以每件童装每降价1元，则平均每天就可多售出2件。

依题有（40-x）（20+2x）=1200

整理，得x2-30x+200=0

解得　x1=10,x2=20

因要尽快减少库存，故x应取20

答：

每件童装应降价20元。

例4（2002年　　武汉）武汉市某校组织甲、乙两班学生参加"美化校园"的义务劳动。

若甲班做2小时、乙班做3小时，则恰好完成全部工作的一半；若甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，则乙班所用的时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时，问单独完成这项工作，甲、乙两班各需多少时间？

分析：

要掌握数量关系：

工作量＝工作效率×工作时间

解：

设单独完成这项工作，甲班需x小时，乙班需y小时，

　　　　　　　2/x+3/y=1/2

依题意，得

2/x+（x+1）/y=1

整理得　　x2-9x+y=0解得x=8或x=1

当x=8时，y=12;当x=1时，y=-2

　　　　　x=8x=1　　　　　　　　　　　　x=1

经检验：

是原方程组的解，但不合题意舍去

y=12;y=-2y=-2

　　　x=8

∴

y=12

答：

单独完成这项工作，甲班需8小时，乙班需12小时。