人教版九年级数学下册第26章二次函数导学案.docx
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人教版九年级数学下册第26章二次函数导学案
26.1.1二次函数(第一课时)
三.达标测评案:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1;
(2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+1;(5)y=x2-x(1+x);(6)y=x-2+x.
2.若函数y=(a-1)x2+2x+a2-1是二次函数,则()
A.a=1B.a=±1C.a≠1D.a≠-1
3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
A.28米B.48米C.68米D.88米
4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。
6、n支球队参加比赛,每两支之间进行一场比赛。
写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。
7、若函数为二次函数,求m的值。
8、已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.
26.1.2二次函数y=ax2的图象与性质(第二课时)
教学目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物线;
2.会画二次函数y=ax2的图象;
3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用.
一.预习检测案:
画二次函数y=x2的图象.
【提示:
画图象的一般步骤:
①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】
列表描点,并连线得出图像
由图象可得二次函数y=x2的性质:
1.二次函数y=x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y=x2中,二次函数a=_______,抛物线y=x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y=x2与它的对称轴的交点(,)叫做抛物线y=x2的_________.
因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________.
6.抛物线y=x2有____________点(填“最高”或“最低”).
二.合作探究案:
例1在同一直角坐标系中,画出函数y=
x2,y=x2,y=2x2的图象.
解:
列表并填:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
…
…
y=x2的图象刚画过,再把它画出来.
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
…
归纳:
抛物线y=
x2,y=x2,y=2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;
对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”).
例2请在例1的直角坐标系中画出函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-
x2
…
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-2x2
…
…
归纳:
抛物线y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的二次项系数a______0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”).
总结:
1.抛物线y=ax2的性质
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a>0
当x=____时,y有最___值,是______.
a<0
当x=____时,y有最____值,是______.
2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于_______
对称,开口大小_______________.
3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________;
当a<0时,|a|越大,抛物线的开口越_________;
因此,|a|越大,抛物线的开口越________,反之,|a|越小,抛物线的开口越________.
三.达标测评案:
1.填表:
开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值
y=
x2
当x=____时,y有最_____值,是______.
y=-8x2
2.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________.
3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,
①y=ax2
②y=bx2
③y=cx2
④y=dx2
比较a、b、c、d的大小,用“>”连接.
___________________________________
5.函数y=
x2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,
当x=___________时,有最_________值是_________.
6.二次函数y=mx
有最低点,则m=___________.
7.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值
范围为___________.
8.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
课后反思:
26.1.3二次函数y=ax2+k的图象与性质(第三课时)
教学目标:
1.会画二次函数y=ax2+k的图象;2.掌握二次函数y=ax2+k的性质,并会应用;
重点:
画形如y=ax2与y=ax2+k的二次函数的图像
难点:
用描点法画出二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象以及探索二次函数性质
教学过程:
一.预习检测案:
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1,y=x2-1的图象.
解:
先列表描点并画图
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2+1
…
…
y=x2-1
…
…
观察图像得:
1.
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
y=x2
y=x2-1
y=x2+1
2.可以发现,把抛物线y=x2向______平移______个单位,
就得到抛物线y=x2+1;把抛物线y=x2向_______平移______个单位,
就得到抛物线y=x2-1.
3.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状_____________.
二.合作探究案:
1.
y=ax2
y=ax2+k
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
a>0时,当x=______时,y有最____值为________;
a<0时,当x=______时,y有最____值为________.
增减性
2.抛物线y=2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;
抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线_______________;
把抛物线y=ax2向下平移m(m>0)个单位,就得到抛物线_______________.
3.抛物线y=-3x2与y=-3x2+1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,
由此可得二次函数y=ax2与y=ax2+k的形状__________________.
三.达标测评案:
1.填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y=3x2
y=-3x2+1
y=-4x2-5
2.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.
3.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2方向相反,形状相同的抛物线解析式____.
4.抛物线y=-
x2-2可由抛物线y=-
x2+3向___________平移_________个单位得到的.
6.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________.
课后反思:
26.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(第四课时)
教学目标:
会画二次函数y=a(x-h)2的图象,掌握二次函数y=a(x-h)2的性质,并要会灵活应用。
一.预习检测案:
画出二次函数y=-
(x+1)2,y-
(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及最值.增减性.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-
(x+1)2
…
…
y=-
(x-1)2
…
…
先列表:
描点并画图.
二.合作探究案:
1.观察预习检测案中所画图象,填表:
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y=-
(x+1)2
y=-
(x-1)2
2.请在图上把抛物线y=-
x2也画上去(草图).
①抛物线y=-
(x+1)2,y=-
x2,y=-
(x-1)2的形状大小____________.
②把抛物线y=-
x2向左平移_______个单位,就得到抛物线y=-
(x+1)2;
把抛物线y=-
x2向右平移_______个单位,就得到抛物线y=-
(x+1)2.
总结知识点:
1.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状_________,只是_________不同.
三.达标测评案:
1.填表
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y=
x2
y=-5(x+3)2
y=3(x-3)2
2.抛物线y=4(x-2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.
3.把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.
4.将抛物线y=-
(x-1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.
5.抛物线y=2(x+3)2的开口___________;顶点坐标为____________;对称轴是_________;
当x>-3时,y______________;当x=-3时,y有_______值是_________.
课后反思:
26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(第五课时)
教学目标:
1.会画二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图象;2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质;3.会应用二次函数y=a(x-h)2+k的性质解题.
一.预习检测案:
画出函数y=-
(x+1)2-1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.
列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=-
(x+1)2-1
…
…
描点画图:
二.合作探究案
由图象归纳:
1.函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y=-
(x+1)2-1
2.把抛物线y=-
x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y=-
(x+1)2-1.
总结知识点:
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴右侧)
2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状___________,位置________________.
三.达标测评案
1.
y=3x2
y=-x2+1
y=
(x+2)2
y=-4(x-5)2-3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴左侧)
2.y=6x2+3与y=6(x-1)2+10_____________相同,而____________不同.
3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=
x2相同的解析式为()
A.y=
(x-2)2+3B.y=
(x+2)2-3C.y=
(x+2)2+3D.y=-
(x+2)2+3
4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.
5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为_____.
6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a.k的值.
7.若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为()。
8.将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得抛物线表达式______________.
课后反思:
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第六课时)
教学目标:
1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标.对称轴;
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式;3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象.
一.预习检测案:
1.求二次函数y=
x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.(解:
将函数等号右边配方:
y=
x2-6x+21)
2.画二次函数y=
x2-6x+21的图象.(解:
y=
x2-6x+21配成顶点式为_______________________.)
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y=
x2-6x+21
…
…
列表:
3.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
二.课堂探究案:
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴左侧)
三.知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).
例1求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标).
例2求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.
3.a.b.c以及△=b2-4ac对图象的影响.
(1)a决定:
开口方向.形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与-
共同决定b的正负性(4)△=b2-4ac
例3如图,由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△______0
例4已知二次函数y=x2+kx+9.
1当k为何值时,对称轴为y轴;
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
四.达标测评案:
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=
x2-2-1的顶点坐标.
2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________.
3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当________时,y随x的增大而增大;当x=________时,y有______值是_____.
4.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
5.求抛物线y=2x2-7x-15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
6.抛物线y=4x2-2x+m的顶点在x轴上,则m=__________.
7.如图:
由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△=b2-4ac______0
课后反思:
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式(第七课时)
教学目标:
1.会用待定系数法求二次函数的解析式;2.实际问题中求二次函数解析式.
一.预习检测案:
1.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为________________.
2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________.
3.将抛物线y=-(x-1)2+3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.
4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y=-
x2相同,顶点在(1,-2),则抛物线的解析式为_______________.
二.合作探究案:
例1已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3),求抛物线的解析式.
例2已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例3已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3).求抛物线的解析式.
归纳:
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为y=ax2+bx+c.
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y=a(x-h)2+k.
3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),
设两根式:
y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
实际问题中求二次函数解析式:
例4要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
三.达标检测案:
1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?
写出函数关系式及t的取值范围.
课后反思:
26.2用函数的观点看一元二次方程(第八课时)
教学目标:
1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac判断二次函数y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数.
一.预习检测案:
1.问题:
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间具有关系h=20t-5t2.
考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?
如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?
如能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?
为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
2.观察图象:
(1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x2+x-2=0的根的判别式△=_______0;
(2)二次函数y=x2-6x+9的图像与x轴有___个交点,则一元二次方程x2-6x+9=0的根的判别式△=_____0;
(3)二次函数y=x2-x+1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x2-x+1=0的根的判别式△_______0.
二.合作探究案:
1.已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程-x2+4x=3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.
一般地:
已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.
2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关系:
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac.
(1)当△=b2-4ac>0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;