插值法在图像处理中的运用要点.docx

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插值法在图像处理中的运用要点

插值方法在图像处理中的应用

作者：

专业XX学号

控制工程陈龙斌

控制工程陈少峰

控制工程殷文龙

摘要

本文介绍了插值方法在图像处理中的应用。

介绍了典型的最近邻插值、双线性插值、双三次插值、双信道插值、分形插值的原理。

以分形插值为重点，在图像放大领域用MATLAB进行仿真，并与其它方法的结果做了比对。

指出了各种方法的利弊，期待更进一步的研究拓展新的算法以及改进现有算法。

一、引言

人类通过感觉器官从客观世界获取信息，而其中一半以上的信息都是通过视觉获得的。

图像作为人类视觉信息传递的主要媒介，具有声音、语言、文字等形式无法比拟的优势，给人以具体、直观的物体形象。

在数字化信息时代，图像处理已经成为重要的数据处理类型。

数字图像比之传统的模拟图像处理有着不可比拟的优势。

一般采用计算机处理或者硬件处理，处理的内容丰富，精度高，变通能力强，可进行非线性处理。

但是处理速度就会有所不足。

图像处理的主要内容有：

几何处理、算术处理、图像增强、图像复原、图像重建、图像编码、图像识别、图像理解等。

以上这些图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分。

日常生活中，越来越多的领域需要高分辨率图像，采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方面进行改进就具有十分重要的实用价值。

多媒体通信在现代网络传输中扮演重要角色，因此插值放大提高图像分辨率是一个非常重要的问题。

此外，图像变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告等影像特技处理中。

在进行图像的一些几何变换时，通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重合的现象，也必须要用到图像插值。

图像插值是图像处理中图像重采样过程中的重要组成部分，而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩等，因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。

图像插值是一个数据再生过程。

由原始图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。

分为图像内插值和图像间插值。

前者指将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像。

后者指在若干幅图像之间再生出几幅新的图像。

插值过程就是确定某个函数在两个采样点之间的数值时采用的运算过程．通常是利用曲线拟合的方法进行插值算法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数求出任意位置处的函数值，这个过程可看作是采样的逆过程。

20世纪40年代末，香农提出了信息论，根据采样定理，若对采样值用sinc函数进行插值，则可准确地恢复原函数，于是sinc函数被接受为插值函数，也称为理想插值函数。

理想插值函数有两个缺点：

（1）它虽然对带限信号可以进行无错插值，但实际中带限信号只是一小部分信号。

（2）sinc函数的支撑是无限的，而没有函数既是带限的，又是紧支撑的。

为了解决这个问题，经典的办法是刚窗函数截断sinc函数，这个窗函数必须在0剑l之间为正数，在l到2之间为负数。

sinc函数对应的是无限冲激响应，不适于有限冲激相应来进行局部插值。

对数字图像来说，对图像进行插值也称为图像的重采样。

它分为两个步骤：

将离散图像插值为连续图像以及对插值结果图像进行采样。

经典的图像插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现表现为信号的离散采样值与插值基函数之间的二维卷积。

这种基于模型的加权平均的图像插值方法统称为线性方法。

经典的插值方法有：

最近邻域法，双线性插值，双三次B样条插值，双三次样条插值，sinc函数等。

线性方法，它们一个共同点就是，所有这些基函数均是低通滤波器，对数据中的高频信息都具有滤除和抑制效应，因此在插值后的图像中不会增加新的高频部分。

从而这些基函数对于边缘细节和纹理特征十分丰富的图像的插值效果并不太理想，但对于一般的灰度图像比较适用，结果也是比较好的。

由于线性方法都是低通滤波器，在实现时都不可避免地抑制了图像的高频部分，为了寻找新的出路，有人提出将线性时变技术或非线性技术引入图像插值中来．典型的方法有中值插值法、自适应插值算法、子带插值法以及分形插值算法等。

中值插值方法是在双线性插值的基础上，去除该分量邻近已知点最大值和最小值，将待插点的值用两个中间值的平均代替。

使用线性方法进行插值时，不可避免地出现图像模糊问题。

自适应插值算法试图融入人眼视觉系统的一些特征，如方向敏感性，利用预先从点的邻域抽取到的一些符合视觉特征的局部图像特征来进行插值。

几乎所有的图像插值算法都试图实现对图像边缘部分的自适应处理，尽量使原图像的边缘特征能够保持。

胡敏等提出了一种有理一线性的自适应彩色图像向量值插值方法。

李将云等提出了离散放缩算法，还提出分割图像插值的一种局部算法。

目前，也有很多研究人员将偏微分方程、最优化理论、径向基函数、分形与小波等非线性方法应用于数字图像处理领域，并取得了一些成功。

但在混合函数空间中构造满足需要的适当的基函数，并挖掘出适应于图像处理的优良性态，将其应用于数字图像处理领域，目前国内外已知的文献中并不多见。

二、原理

最近邻点插值法（NearestNeighborInterpolation）是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的一种分析方法。

最初用于从离散分布气象站的降雨量数据中计算平均降雨量，现在GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值。

研究最近邻点插值法时，我们可以将一幅图像定义为一个二维函数F（x,y），其中x和y表示空间坐标，而F对于任何（x,y）坐标的函数值叫做那一点的灰度值（graylevel）。

当x，y和F的值都是有限的、离散的数值时，我们称这幅图片为数字图像。

如果把Fw，Fh设为源图的宽度和高度；Gw，Gh设为目标图的宽度和高度。

那么源图坐标与目标图坐标的关系如公式

（1）、公式

（2）:

F（x）=G（x）*（Fw/Gw）

（1）

F（y）=G（y）*（Fh/Gh）

（2）

以目标原点为例，套用公式，就可以找到对应的原图的坐标了。

（0*（3/4）,0*（3/4））→（0*0.75,0*0.75）→（0,0）

计算源图片的对应坐标，就可以把源图中坐标为（0，0）处的232象素值填进去目标图的（0，0）这个位置了。

按此方法计算出目标图片（1，0）处对应的坐标：

（1*0.75,0*0.75）→（0.75,0）

结果发现，得到的坐标里面有小数，象素的坐标都是整数。

这时候采用的一种策略就是采用四舍五入的方法（也可以采用直接舍掉小数位的方法），把非整数坐标转换成整数，按照四舍五入的方法就得到坐标（1，0），完整的运算过程就是这样的：

（1*0.75,0*0.75）→（0.75,0）→（1,0）

那么就可以再填一个象素到目标矩阵中了，同样是把源图中坐标为（1，0）处的像素值87填入目标图中的坐标。

依次填完每个象素，一幅放大后的图像就诞生了，像素矩阵如图2所示。

这是一种最基本、最简单的图像缩放算法，效果也是最不好的，放大后的图像有很严重的马赛克，缩小后的图像有很严重的失真。

效果不好的根源在于最临近插值方法引入了严重的图像失真。

例如，当反推目标图坐标取得的源图坐标是一个浮点数的时候，采用四舍五入的方法直接获得最接近的象素的值，这种方法是很不科学的。

当推得坐标值为0.75时，不应该简单的取为1，目标象素值其实应该根据这个源图中虚拟的点四周的四个真实的点来按照一定的规律计算出来的，这样才能达到更好的缩放效果。

双线型内插值算法就是一种比较好的图像缩放算法，它充分的利用了源图中虚拟点四周的四个真实存在的像素值来共同决定目标图中的一个像素值，因此缩放效果比简单的最近邻点插值要好很多。

图1.3*3灰度图图2.扩充后的4*4灰度图

双线性插值利用（u,v）周围的四个最邻近像素的灰度值，根据下面方法来计算（u,v）处的灰度值。

设（u,v）四个邻近像素点为ABCD坐标分别为（i,j）,（i+1,j）,（i,j+1）,（i+1,j+1）

图3.

设

。

首先先计算出E,F两处的灰度值，f（E）和f（F），f（E）=

[f（C）-f（A）]+f（A）f（F）=

[f（D）-f（B）]+f（B）。

再计算（u,v）：

f（u,v）=

[f（F）-f（E）]+f（E）

此f（u,v）值代表的就是校正后图像中（x,y）处的灰度值。

算法的流程图为：

图4.双线性插值流程

双三次插值又称立方卷积插值。

三次卷积插值是一种更加复杂的插值方式。

该算法利用待采样点周围16个点的灰度值作三次插值，不仅考虑到4个直接相邻点的灰度影响，而且考虑到各邻点间灰度值变化率的影响。

三次运算可以得到更接近高分辨率图像的放大效果，但也导致了运算量的急剧增加。

这种算法需要选取插值基函数来拟合数据，其最常用的插值基函数如图1所示。

图5.双三次插值基函数

其数学表达式如下：

双三次插值公式如下：

f（i+u,j+v）=ABC

其中，A、B、C均为矩阵，其形式如下：

f（i,j）表示源图像（i,j）处像素点的灰度值，如图6所示。

图6

自适应插值技术

为了解决保持图像背景高阶平滑与保持图像边缘清晰的矛盾，现代图像插值技术借鉴模式识别、多信道处理、分形拓扑、小波多分辨率分析、有理滤波、神经网络、图像最佳复原等技术，分析图像局部的频率成分和连续性以调节插值系数，建立局部自适应的空间移变插值算法，从而改善重建图像的质量。

这里介绍几种具代表性的自适应插值算法，并讨论它们的特点。

双信道插值

多项式插值的频域特性较好地逼近了理想低通滤波器，这对减小图像中的较低频率成分的插值误差有利，但图像边缘的高频成分丰富，良好的频率截止性导致了边缘模糊，并产生寄生波纹（Gibbs现象）。

图像低频成分（图像背景）中的像素相关性强，应该使用支持域较大的插值函数体现这种相关性，否则会加大信号奇异性，产生噪声。

而对于图像高频细节，主要表现了图像信号中的奇异特征，它们与邻近像素的相关性很弱，采用支持域较小的线性插值能够保护这种奇异性。

基于信道分离的信号处理思想，算法框图如下所示：

图7.双信道插值

分形插值

组成部分与整体以某种方式相似的形叫分形，定量地表示分形的量叫分维。

分维为描述事物的复杂性提供了一种定量参数。

分形的基本特征是自相似性，它反映了自然界中广泛存在的一类事物基本属性：

局部与局部、局部与整体在形态、功能、时空等方面具有统计意义方面的相似性。

分形分为规则分形和随机分形。

规则分形是基于某一种函数或规则，按照一定的约定或法则，进行迭代形成。

随机分形的构成原则是随机的，更好地描述了自然现象。

随机分形的典型数学模型是分数布朗（Brown）运动，能充分反映图像的统计纹理特性。

分数布朗运动是一种非平稳的具有均值为零的高斯（Gauss）函数，其定义如下：

式中，B（t）是通常的Brown运动，0

当H=1/2时，就是Brown运动。

将上述一维分数布朗随机场，推广到二维得到图像的分数布朗随机场定义：

随机分形插值的实现：

1、图像特征量的提取

（1）计算图上空间距离为∆X的像素亮度差的期望值

（2）取定尺度极限参数

如果图像是完全理想分形的，则在任何尺度下分维均保持为常数。

但实际图像并不是完全理想分形的，所以要确定一个尺度X围，在此X围分维保持常数。

确定方法：

画出分维图，其中直线段的上下限即为制度极限参数。

（3）计算参数H和像素灰度正态分布的标准差σ。

对公式取对数可以得到关系：

2、插值计算

对点（i,j），假定i，j均为奇数时，灰度值已经确定。

则：

当i，j均为偶数时：

当中i，j有且仅有一个偶数时:

其中G服从N（0，1）分布，∆是样本间距。

插值点的亮度完全由原始数据的分数布朗函数的H和σ决定。

上述过程可以反复迭代，直到所需要的空间分辨率为止。

一些自然景物，如蓝天、云彩、烟柱和火焰等，图像具有高度的自相似性。

分形插值反映了这种自相似性，因而分形插值在计算机视觉技术中有广泛的应用。

三、应用

图像质量评价标准

绝大多数情况下，图像处理的目的是为了改善图像的视觉质量。

因此，如何评价图像的质量是一个十分重要的问题。

这些处理都涉及到图像质量评价问题。

由于人类视觉及其系统的高度复杂性，图像质量评价事实上一直是一个十分困难的问题。

可以说迄今为止，还没有一种权威、系统并得到公认的、一应俱全的体系和评价方法。

目前，常用的图像质量评价方法分为客观评价和主观评价两种。

客观评价：

图像质量的客观评价是指提出某个或某些定量参数和指标来描述图像质量。

通常的方法是在原始图像中隔行、隔列抽取点将其生成小图像，再将小图像放大到原来的尺寸，以放大后的图像与原始图像的灰度值进行比较来判定该方法的好坏。

常见的方法是均方误差MSE和峰值信噪比PSNR。

客观评价的特点是采用客观指标和定量指标，评价结果原则上不受人为干扰和影响，但由于目前的定量参数还不能或者不完全能反映人类视觉的本质，对图像质量的客观评价指标经常与视觉的评价有偏差，甚至有时结论完全相反。

主观评价：

主观评价的方法类似于体操比赛的评分，由数名裁判组成评分小组，根据规则要求和评分标准对体操运动员的比赛运动进行打分，评分结果取总和或平均值。

有些比赛还采取去掉最高分和最低分的方法，以减少带有倾向性打分的影响。

图像质量主观评价的特点是主观性和定性评价，评价结果受人为影响和干扰较多，但由于目前的图像质量客观评价的指标和参数尚不能完全反映主观视觉对图像质量的评价，所以图像质量主观评价还是最主要的评价方法之一。

各种图像插值方法的比较

最近邻插值以其操作简单，计算量小，能保持边缘、细节的清晰，仍然在一些情况下被采用，但插值图像边缘的锯齿效应和背景马赛克导致的伪边缘严重降低了图像的视觉质量，影响观看者对图像内容的正确理解。

双线性插值法具有平滑功能，能有效地克服最近邻法的不足，较好地消除锯齿,放大后的图像平滑性好,并且运算过程也较简单,其缺点是图像高频信息丢失严重,主要表现为退化图像的高频部分，细节与轮廓的模糊,影响了放大图像的清晰度。

在放大倍数比较高时，高阶插值，如双三次和三次样条插值等比低阶插值效果好。

这些插值算法可以使插值生成的像素灰度值延续原图像灰度变化的连续性，从而使放大图像浓淡变化自然平滑。

三次运算可以得到更接近高分辨率图像的放大效果，但也导致了运算量的急

剧增加。

但是在图像中，有些像素与相邻像素间灰度值存在突变，即存在灰度不连续性。

这些具有灰度值突变的像素就是图像中描述对象的轮廓或纹理图像的边缘像素。

在图像放大中，对这些具有不连续灰度特性的像素，如果采用常规的插值算法生成新增加的像素，势必会使放大图像的轮廓和纹理模糊，降低图像质量。

自适应插值技术试图解决线性移不变算法不能完成的任务：

频谱信息外推和根据图像局部特征自适应调节插值核函数。

分形插值，是采用迭代函数系统来实现插值过程的。

反映了自然界中广泛存在的一类事物基本属性：

局部与局部、局部与整体在形态、功能、时空等方面具有统计意义方面的相似性。

解决问题的方法

迭代系统函数对于处理规则分形图形有明显的优势，但是对于自然界现象用随机分形来描述会更加形象逼真。

分形布朗函数（FractalBrownianFunction）是随机分形的数学模型，对于图像纹理所具有的统计特征可以被较好的反映出来。

因此采用基于分形布朗随机场模型的图像插值方法来实现对图像的放大。

图像的分形特征包括分布函数和分形维数。

图像放大实现过程的算法描述

在进行图像放大的时候，原始图像中的像素点（p，q）将成为生成图像中的双奇数点（i，j），即

生成图像中的这些点将继承原始图像中的灰度值。

而生成图像中的双偶数点（2p，q）和奇偶数点（2p，2q-1）和（2p-1，2q），其灰度值未知需要通过插值方法得到其灰度值。

对于图像中的任一像素点（i，j），当i，j为奇数点时，

式中LM为原图像数据，LH（i,j）为放大后图像的数据。

当i，j均为偶数点时：

当i，j只有一个为奇数点时：

其中Gauss为高斯随机变量，服从N（0，1）分布，Δt代表两插值点间的距离。

对上面的两步进行反复迭代可以实现对图像2倍，4倍，……，或更高倍数的放大。

在每一次迭代计算中，所插入的中点是一个高斯随机变量，它的期望值是四个邻近点的平均值。

点的偏移量由描述原始数据的分形布朗运动函数中的参数H和δ决定。

当H=0时，该点相对于四点的平均值的偏移量是由参数δ决定：

当H=1时，方差为0，计算结果为四点的均值相当于线性插值。

对一固定的δ，H越小，插值点随机性的权越大。

在实际中，由于H和δ需要用最小二乘法解方程，计算比较复杂。

在对图像质量要求不高的情况下，可将上述公式进行简化。

图像放大的实现过程

对于图像放大的过程通过编程来完成，主要有以下几步：

（1）读入图片I，使其转化为一个M×M的数据矩阵；

（2）生成一个2M×2M的零矩阵J；

（3）将I（i,j）的值赋予J（2i,2j）；

（4）对于J（i,j）矩阵中的i，j根据公式进行插值计算得到新的J（i,j）。

（5）对所得的新的J（i,j）矩阵中的数据进行取整；

（6）将矩阵J（i,j）转化为图片输出。

实验结果

在MATLAB软件下应用分形随机中点法原理对图像进行放大实验。

对不同的内容的图像和不同像素的图像分别采用不同的放大技术进行放大处理，其中有一幅图像还进行了2次放大，以便对比各种不同内容的图像采用不同技术放大的区别。

（1）对建筑物的图像放大

对于像素为64×64的图像进行放大2倍的处理。

图8原图像

图9.放大图

（2）对于人物的图像的放大

对于像素为120×120的人物图片person放大为像素240×240的图像和像素

480×480的图像。

图10原图像

图11放大两倍的图像

通过对建筑物、人物和风景的各类图片进行放大处理可以看出：

用最近邻插值法放大的图像中可以看见明显的块状效应，而且有突出的锯齿边缘，图像质量差；用双线性插值法和用三次内插法处理过的图像几乎没有块状现象，边缘也平滑很多，但是图像整体看起来在明暗交界处过渡效果不是太好。

分形布朗随机运动插值法处理过的图像整体效果要好，虽然比三次内插法整体看起来有些模糊，但是在细节上却比三次内插法效果好，在保持原有图像的纹理特征要比三次内插法好许多，其中图像放大的程序见附录一。

总结

本文首先介绍了图像处理意义以及插值在图像处理中的应用，提出了几种插值方法，包括线性和非线性插值两类。

接着对几种典型的方法原理进行描述。

各种方法均有其优缺点：

最近邻插值以其操作简单，计算量小，能保持边缘、细节的清晰，仍然在一些情况下被采用，但插值图像边缘的锯齿效应和背景马赛克导致的伪边缘严重降低了图像的视觉质量，影响观看者对图像内容的正确理解。

线性插值保证了像素序列的连续性，图像背景的平滑性不足精度低且图像边缘和细节出现了模糊。

双三次插值保证了像素灰度值的连续可微，图像背景平滑性已经基本满足人眼的视觉要求。

它是商业图像处理软件中常用的插值算法之一。

但是，插值图像边缘的模糊变得更加严重，不能满足更高的视觉要求。

因此，介绍了更为强大的自适应插值。

其中典型的有双信道插值和分形插值。

在本文中采用了分形插值并用MATLAB来实现与其他几种方法在图像放大中的对比，取得了良好效果。

在图像插值中要兼顾效率和质量。

自适应插值技术应运而生并成为现代插值技术研究的主流。

它们引入图像复原、计算机图形学的约束条件，以减弱基于单帧图像超分辨率问题的病态性。

大量运用像素统计，辨识图像局部特性，充分挖掘图像细节信息，很大程度上改善了插值图像的质量。

但是，算法计算量大，给算法的实际应用带来了困难。

图像插值后处理技术试图从提高线性移不变插值结果的边缘清晰度出发提高插值图像质量。

这类算法具有计算量较小，处理效果较好的特点，具有更好的实用性。

现有的反锐化掩模法和迭代法一定程度上提高了插值图像边缘的清晰度，改善了图像质量。

但是，这些方法都只是对插值图像已有高频成分的线性加强，不能根据插值后图像实际的频率X围拓展图像的有效频率带宽，增强效果有限，不能满足更高的主观视觉要求。

所以，研究更有效的图像插值模糊消除算法具有很高的实用意义。

今后工作方向可以放在其它插值方法的研究上。

例如：

高斯插值利用了高斯函数在时域和频域同时具有较好的紧支性，获得了较高的插值精度和计算效率。

小波插值基于图像小波分解系数跨尺度的传递性，外推更微小的图像细节，得到清晰的放大图像。

定向插值通过对图像局部灰度值梯度的分析估计图像边缘方向，在图像边缘方向上保持光滑，在边缘跳变方向上保持边缘的可分辨性，提高了图像的分辨率。

偏微分方程是一种新颖的插值算法，它引入了图像复原技术中的总变分最小原则，对提出图像插值算法的发展具有很大的启发意义。

有理插值基于相邻像素间的相关性与二者间灰度值差异成反比的原理，引入灰度差的增函数对已有线性插值算法加权修正，保持了图像细节的清晰。

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13.董霖.MATLAB使用详解——基础、开发及工程应用[M].：

电子工业，2009.

附录一、分形算法MATLAB程序

在MATLAB中利用随机布朗运动原理对图像进行插值放大的程序

I=imread（'yuantu.png'）;

i=1;

j=1;

[Irows,Icols]=size（I）;

J=zeros（2*Irows,2*Icols）;

fori=1:

Icols

forj=1:

Irows

J（2*（i-1）+1,2*（j-1）+1）=I（i,j）;

end

end

fori=1:

（length（J）-1）

forj=2:

（length（J）-1）

ifrem（i,2）==0&&rem（j,2）==0

J（i,j）=（J（i-1,j-1）+J（i+1,j-1）+J（i+1,j+1）+J（i-1,j+1））/4;

ifJ（i,j）~=0

A=J（i,j）;

B=2*log10（A）;

J（i,j）=A+B;

ifJ（i,j）>255

J（i,j）=255;

end

elseJ（i,j）=0;

end

end

end

end

fori=1:

（length（J）-1）