对于问题(b),牛顿的解法实际上是问题(a)的解的逆运算,并且也是逐步列出了标准算法。
特别重要的是,《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积,从而建立了所谓“微积分基本定理”。
牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的:
如上图,设ab=x,△abc=y为已知曲线q=f(x)下的面积,作de//ab丄ad//
be=p=1。
当线cbe以单位速度向右移动时,eb扫出面积abed=x,变化率
=p=1;cb扫出面积厶abc=y,变化率dy=q,'二p。
由此得
dtdtdtnx,
这就是说,面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。
这就是微积分基
本定理。
利用问题(b)的解法可求出面积y
作为例子,牛顿算出纵坐标为y=xn曲线下的面积是—;反之,纵坐标n+1
n■+
为—的曲线真切线斜率为xn。
当然,《简论》中对微积分基本定理的论述并不n1
能算是现代意义下的严格证明。
牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明
在牛顿以前,面积总是被看成是无限小不可分量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。
前面讲过,面积计算与求切线问题的互逆关系,以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出,但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来,并将其作为建立微积分普遍算法的基础。
正如牛顿本人在《流数简论》中所说:
一旦反微分问题可解,许多问题都将迎刃而解。
这样,牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法一一正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。
这是他超越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分。
在《流数简论》的其余部分,牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题,展示了他的算
法的极大的普遍性与系统性。
流数术的发展
《流数简论》标志着微积分的诞生,但它在许多方面是不成熟的。
牛顿于1667年春天回到剑桥,对自己的微积分发现未作宣扬。
他在这一年10月当选为三一学院成员,次年又获硕士学位,并不是因为他在微积分方面的工作,而是因为在望远镜制作方面的贡献。
但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里,牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说,先后定成了三篇微积分论文,它们分别是:
(1)《运用无限多项方程的分析》(DeAnalysiperAequationesNumero
TerminorumInfinitas,简称《分析学》,完成于1669年);
(2)《流数法与无穷级数》(MethodusFluxionumetSerierumInfinitarum,简称《流数法》,完成于1671年);
(3)《曲线求积术》(TractatusdeQuadraturaCurvarum,简称《求积术》,完成于1691年)。
这三篇论文,反映了牛顿微积分学说的发展过程,并且可以看到,牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。
第一篇《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。
1668
年苏格兰学者麦卡托(N.Mercator)发表了对数级数的结果,这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果。
《分析学》利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等,因此《分析学》体现了牛顿的微保健与无穷级数紧密结合的特点。
关于微积分本身,《分析学》有简短的说明。
论文一开始就叙述了计算曲线y二fx下面积的法则。
设有y=^x"表示的曲线,牛顿论证所求面积为z=—^—x(m+l)n。
m+n
牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为0,以xo代x,zoy代z,贝Uzoy-x■omn/n
m+n
用二项式定理展示后以o除两边,略去o的项,即得y"*%。
反过来就知曲线y=^xmn下的面积是z=^^x(m^/n。
牛顿接着给出了另一条法则:
若y值m+n
是若干项之和,那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和,这相当于逐项积分定理。
由上述可知,牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念,但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量,有时直截了当令为零,从而带上了浓厚的不可分量色彩。
第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。
牛顿在其中又恢复了运动学观点,但对以物体速度为原形的流数概念作了进一步提炼,并首次正式命名为“流数”(fluxion)。
牛顿后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释:
“我把时间看作是连续的流动或增长,而其他量则随着时间而连续增长,我从时间的流动性出发,把所有其他量的增长速度称之为流数,又从时间的瞬息性出发,把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬”。
《流数法》以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为:
“已知表示量的流数间的关系的方程,求流量间的关系”。
流数语言的使用,使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功。
无论是《分析学》还是《流数法》都是以无限小量作为微积分算法的谁基础,所不同的是:
在《流数法》中变量x,y的瞬po,qo随时间瞬o而连续变化;而在《分析学》中变量x,y的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无限小微元。
大约到17世纪80年代中,牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革,这就是“首末比方法”的提出。
首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》一书中发布,其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文《曲线求积术》中给出的。
《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述。
牛顿在其中改变了对无限小量
的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬0的做法:
“在数学中,最微小的误差也不能忽略。
……在这里,我认为数学的量不是由非常小的部分组成的,而
是用连续的运动来描述”。
在此基础上定义了流数概念之后,牛顿写道:
“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。
确切地说,它
们构成增量的最初比”。
牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。
他举例说明自己的新方法如下:
为了求y=xn的流数,设x变为xo,xn则变为
x=xnnoxn」-—o2xn^|,构成两变化的“最初比”:
1
比就是—応”,这也是x的流数与xn的流数之比。
nx
这就是所谓“首末比方法”,它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限,因而成为极限方法的先导。
牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号:
x,y,z表示变量x,y,z的一次流数(导数),x,y,z表示二次流数,x,y,z表示三次流数,等等。
牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。
除了两篇光学著作,他的大多数菱
都是经朋友再三催促才拿出来发表。
上述三篇论文发表都很晚,其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》,1704年载于《光学》附录;《分析学》发表于1711年;而《流数法》则迟至1736年才正式发表,当时牛顿已去世。
牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》
(Philosophiaenaturalisprincipiamathematica,以下简称《原理》)之中,因此《原理》也成为数学史上的划时代著作
微积分发展历程(四)
《〈原理》与微积分
《原理》中并没有明显的分析形式的微积分,整部著作是以综合几何的语言写成的。
但牛顿在第一卷第1章开头部分通过一组引理(共11条)建立了“首末比法”,这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法,不过在《原理》中,首末比方法本身也强烈地诉诸几何直观。
第一卷引理1:
“量以及量之比,若在一有限时间内连续趋于相等,并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量,则它们最终也变为相等”,可以看
作是初步的极限定义。
在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积:
如图6.6,在曲线acE与直线Aa,AE所围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab,Be,Cd,…,同时作矫形akbl,bLem,cMdn…。
牛顿首先设所有的底AB,BC,CDDE,…皆相等,证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时,内接形AkbLcMdD外接形AalbmcndoE与曲线abcdE相互的最终比是
等量比”。
然后指出当矩形之宽互不相等(如图设最大宽度为AF)但都无限缩小时,上述最终比仍是等量比。
牛顿还证明书了:
给定曲线弧AB以及相应的弦和
切线段,当点A与B“相接近而最终相合时”,“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”,等等。
牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评,并意识到争论的焦点将在于“最终
比”概念,于是在前述引理的评注中对什么是“最终比”作了进一步说明:
“消
逝量的最终比实际上并非最终量之比,而是无限减小的量之比所趋向的极限。
它们无限接近这个极限,其差可小于任意给定的数,但却永远不会超过它,并且在这些量无限减小之间也不会达到它。
”
尽管《原理》表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向,但并不意味着牛顿完全摒弃无限小观点。
在第二卷第2章中,人们可以看到无限小瞬方法的陈述:
“任何生成量(genitum)的瞬,等于生成经的各边的瞬乘以这些边的幕指数及系数并逐项相加。
”此处所谓“生成量”,即函数概念的雏形。
牛顿说明这类量的例子有“积、商、根、……”等,并把它们看成是“变化的和不定的”;生成
量的瞬则是指函数的微分。
因此上述陈述实际上相当于一些微分运算法则。
例如牛顿分别以a,b,c,…表示任意量A,B,C,…的瞬,他证明了AB的瞬等于aBbA,
nn-m
An的瞬等于naAn4,三的瞬等于-n-^,一般幕Am的瞬等于卫aA^,…等等。
AAm
《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬,这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。
实际上,在牛顿的时代,建立微积分严格时,坚持对微积分基础给出不同解释,说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。
《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。
全书从三条基本的力学定律出发,运用微积分工具,严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内有一系列结论,并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系,充分显示了这一新数学工具的威力。
《原理》中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明,但正如牛顿本人后来解释的那样:
发现原理中的绝大多数命题是依靠使用了“新分析法”,
然后再“综合地证明”。
事实上,我们在前面已经看到,牛顿发明微积分主要是依靠了高度的归纳算法的能力。
并没有多少综合几何的背景。
他1664年参加巴
罗主考的三一学院津贴生考试时,因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过。
而几乎是在同时,他开始研究微积分并在不到一年的时间里就做了邮基本发现。
牛顿后
来才重新钻研了巴罗译注的几何《原本》,弥补了这方面的不足,其结果是《原理》中的力学综合体系。
然而就数学而言,牛顿在《原理》中给微积分披上的几何外衣,使他的流数术显得僵硬呆板。
固守牛顿的几何形式,在18世纪阻碍了
英国数学的发展。
牛顿的科学贡献是多方面的。
在数学上,除了微积分,他的代数名著《普遍算术》,包含了方程论的许多重要成果,如虚数根必成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幕和公式等等;他的几何杰作《三次曲线枚举》,首创对三
次曲线的整体分类研究,是解析几何发展新的一页;在数值分析领域,今天任何一本教程都不能不提到牛顿的名字:
牛顿迭代法(牛顿一一拉弗森公式)、牛顿
――格列高里公式、牛顿一一斯特林公式、……;牛顿还是几何概率的最早研究
牛顿是一位科学巨人,但他有一次在谈到自己的光学发现时却说:
“如果我
看得更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上”。
还有一次,当别人问他是怎样作出自己的科学发现时,他的回答是:
“心里总是装着研究的问题,等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明!
”据他的助手回忆,牛顿往往一天伏案18
小时左右,仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动。
偶尔去食堂用餐,出门便陷入思考,兜个圈子又回到住所.惠威尔(W.Whewell)在《归纳科学史》中写道:
“除了顽强的毅力和失眠的习惯,牛顿不承认自己与常人有什么区别”。
可能是由于早年经历所致,牛顿性格沉郁内向,不善在公众场合表述思想,但这却并没有影响他后来出任伦敦造币局局长和皇家学会连选连任,领导这个最
高学术机构长达四分之一世纪。
牛顿终身未婚,晚年由外甥女凯瑟琳协助管家。
牛顿的许多言论、轶闻,就是靠凯瑟琳和她的丈夫康杜德的记录留传下来的。
家喻户晓的苹果落地与万有引力