寻找黑匣子讲解.docx
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寻找黑匣子讲解
数学与建模联盟第三届”新生杯”体验赛
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为：
JA036
参赛选择的题号是（从A/B/C/D/E中选择一项填写）：
C
所属学校（请填写完整的全名）：
电子科技大学成都学院
参赛队员（打印并签名）：
1.熊小锟
2.甘鹏飞
3.王令
日期:
2016年4月1日
2016科成“新生杯”大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
寻找黑匣子
摘要
飞机在航行过程中可能会发生突发事件，黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，记录飞行数据，一旦飞机发生事故，尤其在海里寻找黑匣子是非常困难的，本文将针对提出的三个问题，给出符合实际的假设，通过分别在空中和水中建立恰当的数学模型，来描述和计算黑匣子落点的位置。
针对问题一，飞机在航行过程中突然失去动力，航行方向为东北方向45°，以飞机失事点为原点建立空间直角坐标系，因为飞机飞行方向平行于地球表面方向，将其简化在二维平面内，飞机应做有阻力的类平抛运动，建立数学模型，结合牛顿定律和微分方程，对运行轨迹和运动加速度进行分解，对水平方向和竖直方向进微分，再用Matlab7.0软件可计算飞机的水平落点距离，确定落水点（9600，-10000）结合纬度计算公式，则大约可求出飞机落点,南纬21.93°，东经88.06°。
针对问题二，为了简化模型，假设飞机落水瞬间爆炸解体，且爆炸所形成的冲击力对黑匣子运动无影响，则黑匣子落水后的初速度就为飞机刚落水的的速度，由于不考虑洋流运动，受力分析知黑匣子落水后受到浮力、重力和与速度方向相反的阻力，由微分方程得：
=
；
=g-
-
；
对上述微分方程求解可得速度V与时间t的关系，由于无法确定黑匣子在水中下落的高度，故可假设在Ⅰ区域可大致确定下落高度在通过高度求出下落时间t，再通过时间t求出黑匣子在水中的水平位移判定是否在Ⅰ区域，若是则假设成立，若不是则假设在第Ⅱ区域，如此可求出黑匣子下落在第Ⅰ区域s=65.3m。
针对问题三，本题的数学模型跟模型二相似，只是在模型二的基础上，多了洋流对黑匣子的影响，也即多了一个水平方向的力，我们先确定洋流和飞机飞行的方向，再确定洋流对黑匣子是阻力还是推力，再查阅资料，得到洋流对物体作用力的方程，再参考问题二的求解方法，即可。
分别求出在1000m下的高度下水平距离为1.45*10^4m,在2000m下的高度下水平距离为4.78*10^4m，在3000m下的高度下水平距离为9.44*10^4m。
关键词：
受力分析Matlab7.0软件物理公式微分方程
1问题重述
1.1背景
飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高。
据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。
黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。
黑匣子记录的参数包括：
飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。
假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。
1.2问题
1.假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
2.假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。
如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。
图1黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图
3.考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。
2问题分析
2.1问题一的分析
对于问题一，飞机发生事故时，在要考虑飞行时气流的影响等阻力下，对飞机进行受力分析，受重力，空气助力，飞机升力，并且飞机失事时，具有水平方向的速度，故飞机不是垂直下落，而是在下架过程中由驾驶员架控是飞机画像下降，其运动模型可大致看作物理学上的类平抛运动，结合飞机受力分析图，进行受力分解，再结合微分程和Matlab7.0求解所求数据，再用经纬度计算公式，可求出飞机落地点的经纬度并绘制出飞机坠落的大致轨迹图。
2.2问题二的分析
飞机坠机瞬间，假设飞机在落入水表平面瞬间爆炸并解体，可简化模型，即不考虑飞机爆炸冲力对黑匣子速度的影响，认为飞机落水末速度等于黑匣子落水初速度，又根据题意，不考虑洋流流动对黑匣子运动的影响，所以，对黑匣子受力分析，黑匣子受到自身重力、浮力和海水对其的阻力，在这些力的共同作用下，黑匣子在海水中沉降，最终会到底海底平面或者应触礁而停止运动，由题中数据可知海底平面的凹凸程度有较大的差异，但图1中区域I和区域II
的海底平面大致相同，所以在解此问题时，可将区域I和区域II的海底深度作为参考平面，并借助微分方程求除沉到区域I和区域II的时间，在根据时间求出黑匣子在沉降过程中的水平运动距离，再参考图1海底剖面图，则可求出黑匣子沉在海底的大致范围
2.3问题三的分析
问题三是问题二的拓展，考虑了洋流对物体的影响，同理，黑匣子在落水后，我们不考虑水的粘稠力、表面张力和飞机爆炸对黑匣子速度的影响，在进入水中后，同理，对黑匣子受力分析，黑匣子受到海水阻力，浮力，自身重力，及洋流对黑匣子的力，我们查阅地理资料，在飞机失事地点，洋流为赤道暖流，又飞机飞行方向为东北方向，故飞机在坠机后，黑匣子受到的洋流力为推力，根据受力分析，结合微分方程和牛顿第二定律，求出黑匣子在水中水平速度和竖直速度与时间的关系，再把速度和时间进行积分则可求出黑匣子在水中下落的距离和水平方向上运动的距离，再求出黑匣子在不同的水下高度下距落水点的水平距离。
3基本假设
（1）假设飞机在降落过程中，重力加速度保持不变，并为了方便计算，取g=10N/Kg
（2）假设飞机在降落过程中，飞机的迎风受力面积保持不变。
（3）假设空气（海水）阻力系数为定值，不受外界环境影响。
（4）假设飞机在坠机时，爆炸产生的冲击波对黑匣子的速度不产生影响。
（5）假设飞机失事当天，天气晴朗无风，没有雨水和风对飞机的速度的影响。
（6）假设黑匣子在入水后，不考虑黑匣子的翻转情况，其迎水面积保持不变。
（7）假设洋流的流速及流动方向保持不变。
（8）假设黑匣子在海底移动时不受鱼类等障碍物的影响。
符号
意义
已知数据
单位
飞机（黑匣子）的运动速度
米/秒
m
飞机（黑匣子）的质量
千克
s
飞机迎风受力面积
平方米
c
空气阻力系数
g
重力加速度
牛/千克
空气（海水）密度
1.29
千克/立方米
f
飞机飞行过程中受到的空气阻力
牛
y
飞机（黑匣子）在竖直方向上经过的距离
米
S
黑匣子的迎水面积
0.3*0.3
平方米
x
飞机（黑匣子）在水平方向上经过的距离
米
C’
飞机的升力系数
0.78
t
问题一中为飞机从开始失去动力到落入水中经过的时间；问题二，三中为黑匣子从入水开始到触礁停止运动经过的时间
秒
V（排水）
物体进入海水中排开的体积，也是物体本身的体积
立方米
4符号说明
5模型建立与求解
5.1问题一：
首先将飞机看成一个质点，对其受力分析，飞机受到重力mg，方向竖直向下；空气阻力f=-kv；方向与速度方向相反，再结合牛顿第二定律列出方程
又因为：
Vx=
Vy=
上式可化简为：
=-
Vx
=g-
Vy
分离变量得：
=dt
积分得：
InVx+InCx=-
t①
-
[In（g-
Vy）+InCy]=t②
又当t=0，也就是飞机出事瞬间，此时Vx=Vo，Vy=0
可解得
Cx=-Vo
Cy=
查阅资料可知空气中阻力计算公式f=-
scρV²
结合上式所设f=-kv
可得：
k=
scρV
k带入②式，即可得到Vy与时间t的关系，再利用Matlab7.0求解h=
dt=10000；
可得t=63.32s，将t分别带入Vx，Vy的则可求得飞机刚到海平面时的水平速度和竖直速度。
求得：
Vx=124.12m/s；Vy=176.37m/s
再根据微分方程x=
dt
求得:
x=9600m
再根据纬度计算公式
纬度=
=0.07；
经度=
=0.06
又因为飞机失事前位于南纬22.0度，东经88.0度，且朝东北方向45°飞行，查阅相关地理资料，可知飞机的纬度随飞机的下落而增加。
则落水点纬度为22-0.07=21.93°S
落水点经度为88+0.06=88.06°E
最后再通过Matlab7.0软件绘制出飞机坠机的大概轨迹图，如下图所示：
5.2问题二
我们假定飞机坠机时，黑匣子如水后的初速度等于飞机坠机的末速度，为了简化模型，不考虑其爆炸产生的冲击波不对黑匣子的速度造成影响，以飞机坠机点即黑匣子入水点建立直角坐标系，在黑匣子入水后，对其受力分析，黑匣子受到自身重力，方向竖直向下，海水对黑匣子的阻力，方向与速度方向相反，以及海水对黑匣子的浮力，方向竖直向上，结合牛顿第二定律，有:
F（水平）=-
cρsVx²=ma（x）；
F（竖直）=mg-ρgV（排水）-
cρsVy²=ma（y）；
这儿，我们参考飞机波音777的数据，黑匣子看成一个正方体，其边长大约0.3m，重量大约为20kg，故在海水中，黑匣子迎水面积s=0.3*0.3m²，排水面积V（排水）=0.3*0.3*0.3m³，再查阅相关资料，在海水中，物体的阻力系数c=0.8，海水密度ρ=1025kg/m³，重力加速度g=10N/kg
并化简上式则有：
a（x）=
a（y）=g-
-
根据微分方程：
=a（x）
=a（y）
再根据一问中所求结果：
Vx（0）=124.12m/s
Vy（0）=176.37m/s
联立上式，并求解该微分方程，则可得到Vx和Vy关于时间变化的函数，由题中所给数据可知，海底平面并不是一个水平的平面，它的高低位置是凹凸不平的，这儿，因为在区域I和区域II海底平面高度大致相同，我们将其海底平面作为参考平面，假设一黑匣子落在区域I内，先用微分方程h=
dt求出黑匣子假设落到区域I和区域II所用的时间t=211s
，再根据Vx和时间t的函数，并再对其求积分x=
dt则可求出黑匣子落地的水平距离，再参考图一，看假设一是否成立，如不陈立，则代表黑匣子未落到区域I和区域II所在的平面内，再假设二黑匣子落在区域III内，同理，用微分方程算出落地时间和落地水平距离，再参考图一，看假设二是否成立，以此类推。
在这儿我们通过用Matlab7.0计算可知，黑匣子落地点的水平距离大约为65.3m，结合图1，即黑匣子落在区域I中，假设一成立，
5.3问题三
由前面模型分析可知，黑匣子在水中受到自身的重力，方向竖直向下，海水的浮力，方向竖直向上，海水的阻力，方向与速度方向相反，及洋流的推力，方向水平向右。
受力分析图如下：
设水平方向上的速度Vx，竖直方向上的速度为Vy，水平位移记为Sx，竖直方向上的位移记为Sy，水平初熟读记为Vxo，竖直初速度记为Vyo，水平末速度记为Vxt，竖直末速度记为Vyt，并设落地点竖直方向与水平初速度方向夹角为θ，结合牛顿第二定律和微分方程有：
=
=g-
tanθ=
=Vyo+gt-
t
=Vxo+
t
在此公式中，F（浮）=ρgV（排），ρ为海水密度，大小为ρ=1025kg/m³，g为重力加速度，我们取g=10N/kg，V（排）为黑匣子拍出水的体积，也即为黑匣子本身的体积，这儿，我们与问题二一样，同样参考飞机波音777的数据，黑匣子看成一个正方体，其边长大约0.3m，所以V（排）=0.3*0.3*0.3m³，查阅资料，洋流对物体的推力F=ρsRVx²，其中R为雷洛数，R=0.034m³，s为黑匣子的迎水面积，s=0.3*0.3m²，，阻力f=-
scρV²，其中c为海水阻力系数
所以fx=-
scρVx²，fy=
scρVy²
设经过Δt时间后，黑匣子的运动状态有：
Vxt=Vxo+
Δt
Vyt=Vxo+（g-
）Δt
Sxt=sx+
（Vxt+Vxo）Δt
Syt=Sy+
（Vyt+Vyo）Δt
tanθ=
=a（x）
=a（y）
当Δt很小时，我们可近似认为，上式左右两边相等，对上式速度关于时间的函数进行微分，参考题二，在h已知的情况下，先求出下落的时间，在根据Vx与t的关系，进行积分Sx=
dt，即可算出在不同高度下的落水方位。
当h=1000m时，Sx=1.45*10^4m,当h=2000m时Sx=4.78*10^4m，当h=3000m时Sx=9.44*10^4m。
6.模型检验与分析
1）.在问题一中，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度的地方的10000米高空失去动力，根据飞机的航行方向以及初速度计算出最落水点为南纬20.04°，东经88.13°。
飞机水平位移为9600米，飞行飞机坠落的轨迹图可将其看成一条较为平缓的二次函数抛物线。
2）.在问题二中，由于不考虑洋流对黑匣子运动轨迹的影响，我们队黑匣子水平和竖直方向进行了受力分析，求出黑匣子落水后水平位移大约为65.4米，结合图一我们可以得出黑匣子落在了区域Ⅰ中，通过受力分析以及相关数据得出黑匣子落入水中受到阻力较大，导致速度减小较快，从而运动距离较小。
3）.在问题三中，由题中可以知道，我们需要考虑洋流对黑匣子运动轨迹的影响，为了更方便求解此题，对此我们分别对黑匣子进行了水平和竖直方向的受力分析，也分别对黑匣子在水平和竖直方向的运动轨迹进行了分析，分别求出了黑匣子在水平和竖直方向的函数关系式，最后再将黑匣子在竖直方向下降了1000米、2000米和3000米代入式中求出了黑匣子所在的位置。
7 模型评价与推广
模型的优点：
7.1.1.通过对物体的受力分析，建立坐标系，方便了对力的分解和合成，清楚明了对物体运行轨迹进行判断和预测。
7.1.2.建立坐标系进行正交分解，运用物理模型进行分析，运用数学知识进行精确计算，解出微积分方程，计算出落到水面的时间，进而求出水平分速度和竖直分速度。
7.1.3.利用Matlab7.0求解微分方程，根据模型描述进行编程，更精确绘制轨迹图像，科学合理的算出落点。
模型的缺点：
7.2.1.在问题一分析的时候，把飞机看成理想化模型，忽略了重力加速度随着高度的变化而变化，与此同时，我们把空气阻力系数看成了定值，忽略了不同高度空气阻力也是不同。
7.2.2.在问题二分析的时候，忽略了很多影响，飞机一旦撞入水中，就会发生爆炸解体，而黑匣子可能被炸改变原来的飞行方向，也有可能加速沿着原来的飞行，我们假定了飞机遇水就和黑匣子发生完全分离，而且黑匣子不粘连其他东西，并且速度和飞机刚进水时一样。
7.2.3.在问题三分析的时候，同样忽略了黑匣子在运动过程中是否旋转，即水阻力和浮力都看成定值，也忽略了鱼群存在的影响，以及水草等等的影响，从而达到简化模型的目的。
模型的推广：
通过对客机波音777的参数研究，我们选取了几个必要的参数来进行求解，以达到误差最低为目的，在模型建立中，我们忽略了空气密度，海洋的流速地球引力变化，以及天气影响等，因此要进一步的完善加强上述因素对问题的影响，通过了综合行考虑，建立一个比较完善一点的数学分析过程，具有一定的科学性和真实性。
参考文献
[1] 姜启源、谢金星，叶俊.数学模型（第四版），2011年，高等教育出版社。
[2] 张祥，常微分方程。
2015年4月，科学出版社。
[3] 纬度计算公式，
[4] 狄龙、张启迪.《物理通报》2014年第01期. 存在空气阻力情况下的平抛运动轨迹研究。
[5]周建兴，Matlab从入门到精通，2012年6月，人民邮电出版社。
附录一
clear
t=0:
0.01:
4;
v0=input（'请输入水平速度kv0/mg:
'）;
x=v0*（1-exp（-t））;
y=t+exp（-t）-1;
xx=v0*t;
yy=t.^2/2;
figure
subplot（2,1,1）
plot（t,x,t,xx,'--','LineWidth',2）
grid on
fs=16;
title（'阻力与速度成正比的平抛运动的横坐标','FontSize',fs）
xlabel（'\itt/\tau','FontSize',fs）
ylabel（'\itx/s\rm_0','FontSize',fs）
legend（'有阻力','无阻力',2）
txt='\it\tau\rm=\itm/k\rm,\its\rm_0=\itm\rm^2\itg/k\rm^2';
text（0,max（x）,txt,'FontSize',fs）
subplot（2,1,2）
plot（t,y,t,yy,'--','LineWidth',2）
grid on
xlabel（'\itt/\tau','FontSize',fs）
ylabel（'\ity/s\rm_0','FontSize',fs）
title（'阻力与速度成正比的平抛运动的纵坐标','FontSize',fs）
legend（'有阻力','无阻力',2）
text（0,max（y）,['\itkv\rm_0/\itmg\rm=',num2str（v0）],'FontSize',fs）
figure
plot（x,y,xx,yy,'--','LineWidth',2）
grid on
xlabel（'\itx/s\rm_0','FontSize',fs）
ylabel（'\ity/s\rm_0','FontSize',fs）
title（'阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹','FontSize',fs）
legend（'有阻力','无阻力'）
text（0,max（y）,['\itkv\rm_0/\itmg\rm=',num2str（v0）],'FontSize',fs）
hold on
plot（[v0,v0],[0,max（yy）]'--r'）
axis ij equal
附录二
%给出数据
c1=0.08;
s2=50;
c2=0.2050;
s=100;
p=1.29;
g=10;
m=5*10^4;
k1=0.5*p*c1*s1;
k2=0.5*p*c2*s2;
t=0:
0.01:
68.54;
%竖直距离
y=1/2/（1/2*p*c1*s1+1/2*p*c2*s2）*m*log（tanh（（1/2*g*m*p*c1*s1+1/2*g*m*p*c2*s2）^（1/2）*t/m）-1）-1/2/（1/2*p*c1*s1+1/2*p*c2*s2）*m*log（1+tanh（（1/2*g*m*p*c1*s1+1/2*g*m*p*c2*s2）^（1/2）*t/m））;
%水平距离
x=2*m*log（t*c1*s1*p+10/1111*m）/p/c1/s1-118400;
%作出飞机坠落轨迹图
plot（x,y）
%作出飞机落水点
holdon
plot（9600,-10000,'o'）
附录三
%创建符号
symsSc’sgpmtk1k2
k1=0.5*p*c*S;
k2=0.5*p*c’*s;
%给出数据
c=0.08;
S=50;
C’=0.2050;
s=100;
p=1.29;
g=10;
m=5*10^4;
%水平方向速度关于时间的函数
f2=2.*m./（t.*c.*s.*p+10./1111.*m）;
%求解水平飞行距离
int（f2,t,0,63.32）
附录四
%给出数据
c1=2.2;%推力系数
p1=1025;
p2=740;
s=0.09;
v=0.027;
u=0.25;%水流速度
v1=124.12;%水平方向初速度;
aa=p2*c1*s/2/p1/v;
bb=1/（u-v1）;
%计算水平距离
t=211%此处的t由附录5中计算所得的四个时间取平均所得
x=u*t-1/aa*log（abs（aa*t+bb））+1/aa*log（abs（bb））;
%x=14.5y=1000
%x=47.8y=2000
%x=94.4y=3000
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