人教版初中数学第18章 勾股定理单元基础测试题含答案.docx

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人教版初中数学第18章勾股定理单元基础测试题含答案

第18章《勾股定理》基础测试题

（一）

班级：

姓名：

得分：

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1、下列各组数为勾股数的是（　　）

A、6，12，13B、3，4，7C、15，17，8D、8，15，16

2、要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（　　）

A、12mB、13mC、14mD、15m

3、直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点线段的长为（　　）

A、3cmB、4cmC、5cmD、12cm

4、一艘小船早晨8：

00出发，以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：

00两小船相距（　　）海里．

A、15B、12C、13D、20

5、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）

A、4B、8C、10D、12

6、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（　　）

A、2B、2.6C、3D、4

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）若a=3，b=4，则c=　　；

（2）若a=6，c=10，则b=　　．

8、已知甲乙在同一地点出发，甲往东走了4千米，乙往南走了3千米，这时甲、乙两人相距　　千米．

9、如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

10、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取　　米．

11、如图，隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是　　m．

12、如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是　　cm2．

三、解答题（共4小题，满分52分）

13、如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

14、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

15、在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm．

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

16、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？

它的意思是说：

如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：

32+42=52．

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？

该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

参考答案与评分标准

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1、下列各组数为勾股数的是（　　）

A、6，12，13B、3，4，7

C、15，17，8D、8，15，16

考点：

勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：

勾股数是符合a2+b2=c2特点的，还要是正整数，据此判断即可．

解答：

解：

A、常用勾股数有5，12，13，故不是；

B、常用勾股数有3，4，5，故不是；

C、因为82+152=172，故是勾股数；

D、常用勾股数有8，15，17，故不是；

故选C．

点评：

应熟记常用勾股数：

3，4，5；8，15，17；5，12，13…，解答此类问题就可以正确快速的解答了．

2、要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（　　）

A、12mB、13m

C、14mD、15m

考点：

勾股定理的应用。

分析：

如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长5m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．

解答：

解：

如图：

∵AC=5m，BC=12m，∠C=90°

∴AB=

=13m

故选B．

点评：

此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用．

3、直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点线段的长为（　　）

A、3cmB、4cm

C、5cmD、12cm

考点：

三角形中位线定理；勾股定理。

分析：

由题意可知：

BC=6，AC=8．根据勾股定理得：

BA=10．D、E是两直角边的中点，即为三角形中位线，根据中位线性质即可解答．

解答：

解：

如图所示，在RT△ABC中，BC=6，AC=8，

根据勾股定理得：

AB=

=10，

又D、E是两直角边的中点，

所以DE=

AB=5

故选C．

点评：

此题不但考查了勾股定理，还考查了三角形中位线定理，所以学生要把学过的知识融合起来．要培养整体思维的能力．

4、一艘小船早晨8：

00出发，以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：

00两小船相距（　　）海里．

A、15B、12

C、13D、20

考点：

勾股定理的应用；方向角。

分析：

正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与10：

00时，两船之间的连线正好构成直角三角形．根据勾股定理即可求解．

解答：

解：

在直角△OAB中，OB=2×8=16海里．

OA=12海里

根据勾股定理：

AB=

=

=20海里．故选D．

点评：

本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

5、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）

A、4B、8

C、10D、12

考点：

勾股定理。

分析：

利用勾股定理即可解答．

解答：

解：

设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，根据勾股定理列出方程：

62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．

点评：

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．

6、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（　　）

A、2B、2.6

C、3D、4

考点：

勾股定理。

分析：

根据勾股定理求出AC的长即可解答．

解答：

解：

在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=

=13，

又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，

∴AM=12，BN=5，

∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．

故选D．

点评：

本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）若a=3，b=4，则c=　5　；

（2）若a=6，c=10，则b=　8　．

考点：

勾股定理。

分析：

（1）根据勾股定理，得c=

；

（2）根据勾股定理，得b=

．

解答：

解：

（1）根据勾股定理，得c=

=5；

（2）根据勾股定理，得b=

=8．

点评：

此题是一道基础题，能够熟练运用勾股定理进行计算．

8、已知甲乙在同一地点出发，甲往东走了4千米，乙往南走了3千米，这时甲、乙两人相距　5　千米．

考点：

勾股定理的应用。

分析：

根据题意，由于甲往东走了4千米，乙往南走了3千米，所以OA=4千米，OB=3千米，然后利用勾股定理即可求出甲、乙两人相距多少千米．

解答：

解：

如图，

在Rt△OAB中，∠AOB=90°，

∵OA=4千米，OB=3千米，

∴AB=

=5千米．

所以甲、乙两人相距5千米．

故填空答案：

5千米．

点评：

本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

9、如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　4　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差．

解答：

解：

根据勾股定理可得斜边长是

=5m．则少走的距离是3+4﹣5=2m，即4步．

点评：

本题就是一个简单的勾股定理的应用问题．

10、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取　2.5　米．

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

木板的长为矩形的对角线，已知矩形的长和宽可运用勾股定理进行求解．

解答：

解：

设矩形的长为a，宽为b，对角线长为c，

根据勾股定理可得：

c2=a2+b2，

故c=

=

=2.5米，即木板的长应取2.5米．

点评：

本题主要是将木板摆放的位置进行确定，然后可用数学的方法进行求解．

11、如图，隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是　30　m．

考点：

勾股定理的应用。

分析：

在本题中，△ABC正好是直角三角形，根据勾股定理即可解答．

解答：

解：

由图可知，三角形ABC是直角三角形

∵CA=50m，CB=40m

∴AB=

=

=30m．

点评：

本题很简单，只要熟知勾股定理即可．

12、如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是　30　cm2．

考点：

勾股定理。

分析：

直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．

解答：

解：

∵另一条直角边长=12cm

∴三角形的面积是=

×12×5=30cm2．

点评：

本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．

三、解答题（共4小题，满分52分）

13、如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

考点：

勾股定理的应用。

分析：

在侧面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长．棚顶是以侧面的斜边为宽，棚的长为长的矩形，依据矩形的面积公式即可求解．

解答：

解：

∵h=1.8m，a=2.4m，

∴AB=

=3（m），

∴AB=3m，

∴矩形塑料薄膜的面积是：

3×12=36（m2）．

点评：

本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

14、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

关键描述语：

产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．

解答：

解：

设AE=xkm，

∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，

由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2，x=10．

故：

E点应建在距A站10千米处．

点评：

本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．

15、在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm．

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

考点：

勾股定理。

分析：

（1）根据勾股定理求得该直角三角形的斜边，根据直角三角形的面积，求得斜边上的高等于斜边的乘积÷斜边；

（2）在

（1）的基础上根据勾股定理进行求解．

解答：

解：

（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，

∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25，

∴AB=3.5cm．

∵S△ABC=

AC•BC=

AB•CD，

∴AC•BC=AB•CD，

∴CD=

=

=1.68（cm）．

（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD2+CD2=AC2，

∴AD2=AC2﹣CD2=2.12﹣1.682

=（2.1+1.68）（2.1﹣1.68）

=3.78×0.42

=2×1.89×2×0.21

=22×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）．

∴BD=AB﹣AD=3.5﹣1.26=2.24（cm）．

点评：

此题考查了勾股定理的熟练运用，注意：

直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积÷斜边．

16、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？

它的意思是说：

如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：

32+42=52．

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？

该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

考点：

勾股定理的证明。

分析：

（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，求出三个正方形的面积，即可证明；

（2）关键是计算S正方形ABED=S正方形KLCJ﹣4SRt△ABC再加以验证即可．

解答：

解：

（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图：

AC=4，BC=3，

S正方形ABED=S正方形FCGH﹣4SRt△ABC

=（3+4）2﹣4×

×3×4=72﹣24=25

即AB2=25，又AC=4，BC=3，

AC2+BC2=42+32=25

∴AB2=AC2+BC2．

（2）如图（图见题干中图）

S正方形ABED=S正方形KLCJ﹣4SRt△ABC=（4+7）2﹣4×

×4×7=121﹣56=65=42+72．

点评：

此题主要是根据正方形的面积公式证明勾股定理，需掌握．