高考数学浙江二轮复习练习课时跟踪检测二十 小题考法不等式.docx

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高考数学浙江二轮复习练习课时跟踪检测二十小题考法不等式

2019年4月

课时跟踪检测（二十）小题考法——不等式

A组——10＋7提速练

一、选择题

1．在R上定义运算：

x⊗y＝x（1－y）．若不等式（x－a）⊗（x－b）＞0的解集是（2,3），则a＋b＝（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．4D．8

详细分析：

选C　由题知（x－a）⊗（x－b）＝（x－a）[1－（x－b）]＞0，即（x－a）[x－（b＋1）]＜0，由于该不等式的解集为（2,3），所以方程（x－a）[x－（b＋1）]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.

2．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

详细分析：

选C　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝（a＋b）≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.

3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为（　　）

A．5B．6

C.D．7

详细分析：

选C　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.

4．（2017·全国卷Ⅲ）设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是（　　）

A．[－3,0]B．[－3,2]

C．[0,2]D．[0,3]

详细分析：

选B　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：

y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A（2,0）时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B（0,3）时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．

5．（2017·全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（　　）

A．－15B．－9

C．1D．9

详细分析：

选A　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

易求得可行域的顶点A（0，1），B（－6，－3），C（6，－3），当直线z＝2x＋y过点B（－6，－3）时，z取得最小值，zmin＝2×（－6）－3＝－15.

6．设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1，则m的取值范围为（　　）

A．（－∞，－2]B．[－2,0]

C．（0,2]D．[2，＋∞）

详细分析：

选A　如图，当x＋y＝1与y＝mx交点为（－1,2）时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.

7．已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝（　　）

A．1B．2

C．4D．8

详细分析：

选B　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2，故选B.

8．（2019届高三·浙江六校协作体联考）已知函数f（x）＝ax3＋bx2－x（a>0，b>0）在x＝1处取得极小值，则＋的最小值为（　　）

A．4B．5

C．9D．10

详细分析：

选C　由f（x）＝ax3＋bx2－x（a>0，b>0），得f′（x）＝ax2＋bx－1，则f′

（1）＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝·（a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故选C.

9．（2017·衢州二中交流卷）若实数x，y满足|[x]|＋|y|≤1（[x]表示不超过x的最大整数），则的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

详细分析：

选A　因为|[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根据[x]的具体值进行分类：

①当[x]＝－1，即－1≤x<0时，y＝0；

②当[x]＝0，即0≤x<1时，|y|≤1，即－1≤y≤1；

③当[x]＝1，即1≤x<2时，y＝0.

在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．

＝1＋，其几何意义为可行域内的点（x，y）与点（－2，－2）所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点（－1，0）与点（－2，－2）所确定的直线的斜率最大，最大值为＝2；点（1，－1）与点（－2，－2）所确定的直线的斜率最小，最小值为＝，又由图知取不到最小值，所以∈，故选A.

10．（2017·天津高考）已知函数f（x）＝设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C．[－2，2]D.

详细分析：

选A　法一：

根据题意，作出f（x）的大致图象，如图所示．

当x≤1时，若要f（x）≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4（3＋a）≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f（x）≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.

法二：

关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立等价于－f（x）≤a＋≤f（x），

即－f（x）－≤a≤f（x）－在R上恒成立，

令g（x）＝－f（x）－.

当x≤1时，g（x）＝－（x2－x＋3）－＝－x2＋－3

＝－2－，

当x＝时，g（x）max＝－；

当x>1时，g（x）＝－－＝－≤－2，

当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，

故g（x）max＝－2.

综上，g（x）max＝－.

令h（x）＝f（x）－，

当x≤1时，h（x）＝x2－x＋3－＝x2－＋3

＝2＋，

当x＝时，h（x）min＝；

当x>1时，h（x）＝x＋－＝＋≥2，

当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，

故h（x）min＝2.综上，h（x）min＝2.

故a的取值范围为.

二、填空题

11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋

详细分析：

由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得（m＋1）（m－4）>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为（－∞，－1）∪（4，＋∞）．

答案：

（－∞，－1）∪（4，＋∞）

12．设函数f（x）＝则不等式f（x）>f

（1）的解集是________________．

详细分析：

由题意得，f

（1）＝3，所以f（x）>f

（1），即f（x）>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为（－3,1）∪（3，＋∞）．

答案：

（－3,1）∪（3，＋∞）

13．（2018·绍兴一中调研）已知实数x，y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________，z＝2x－y的最大值为________．

详细分析：

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z＝2x－y的斜率为2，所以过点A（3,0）时取到最大值6.

答案：

1　6

14．（2018·杭州二中调研）已知x>3y>0或x<3y<0，则（x－2y）2＋的最小值是________．

详细分析：

（x－2y）2＋≥（x－2y）2＋＝（x－2y）2＋≥8，当4y＝x，x－2y＝±2时取等号．

答案：

8

15．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．

详细分析：

根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.

答案：

1

16．（2018·绍兴质量调测）已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．

详细分析：

由题知，xy＋5x＋4y＝（xy＋2x＋3y）＋3x＋y＝42＋3x＋y，

而（x＋3）（y＋2）＝48，因此144＝（3x＋9）（y＋2）≤2，因此3x＋y≥13，当且仅当3x＋9＝y＋2，即时取等号．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，则xy＋5x＋4y的最小值为55.

答案：

55

17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）（a≠0）恒成立，则实数x的取值范围是________．

详细分析：

不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）（a≠0）恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因为≥＝＝4，当且仅当（2a＋b）（2a－b）≥0，即2|a|≥|b|时等号成立，所以的最小值为4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．

答案：

[－2,2]

B组——能力小题保分练

1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为（　　）

A．1B.

C.D.

详细分析：

选D　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.

2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）的最大值为6，则＋的最小值为（　　）

A．1B．3

C．2D．4

详细分析：

选B　依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

∵a>0，b>0，

∴当直线z＝ax＋by经过点（2,4）时，z取得最大值6，

∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.

∴＋＝（a＋2b）×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.

3．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为an（n∈N*），若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

详细分析：

选A　不等式组表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形（不含直角边），区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.

4．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导函数为f′（x）．若∀x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为（　　）

A.＋2B.－2

C．2＋2D．2－2

详细分析：

选B　由题意得f′（x）＝2ax＋b，由f（x）≥f′（x）在R上恒成立，得ax2＋（b－2a）x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.

5．（2019届高三·浙江新高考联盟联考）过P（－1,1）的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组所表示的平面区域内某点（记为B），则|PA|＋|AB|的取值范围是________．

详细分析：

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1（－1，－1），|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值为＝2.由得B0（2,3），则|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值为|P1B0|＝＝5.

故2≤|PA|＋|AB|≤5.

答案：

[2，5]

6．（2018·浙江“七彩阳光”联盟期中）设实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x＋y的最大值为15，则实数m＝________；设min{a，b}＝则z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是________．

详细分析：

因为直线x＋y－3＝0与x－3y＋5＝0交于点A（1，2），而直线x＋my－1＝0过点（1,0），则当m>0时，不等式组不能构成可行域．当m＝0时，可行域为点A（1,2），不符合题意．当－>，即－3

构成的可行域是以A（1,2），B，C为顶点的三角形区域（含边界），过点C时，目标函数z＝3x＋y有最大值，由＝15，得m＝

－1.当0<－≤，即m≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z＝3x＋y没有最大值．综合得m＝－1.

此时，可行域是以A（1,2），B（2,1），C（4,3）为顶点的三角形区域（含边界）．

而z＝min{x＋y＋2,2x＋y}＝直线x＝2把可行域分成以A（1,2），B（2,1），D为顶点的三角形区域，和以B（2,1），C（4,3），D为顶点的三角形区域．故只要求z＝2x＋y在三角形ABD区域上的范围，z＝x＋y＋2在三角形BCD区域上的范围即可．

当平行直线系2x＋y＝z在三角形ABD区域内运动时，z＝2x＋y∈.

当平行直线系x＋y＋2＝z在三角形BCD区域内运动时，z＝x＋y＋2∈[5,9]．

从而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是[4,9]．

答案：

－1　[4,9]