全国中考试题解析版分类汇编二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程.docx
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全国中考试题解析版分类汇编二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程
2019年全国中考试题解析版分类汇编-二次函数与x轴的交点情
况及与一元二次方程
注意事项：
认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！
重在审题，多思考，多理解！
【一】选择题
1.〔2017内蒙古呼和浩特，8，3〕一元二次方程x
2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3
451
的图象上有三点,y1、,y2、,y3，y1、y2、y3的大小关系是〔〕
546
A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y1＜y2D、y1＜y3＜y2
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解、
分析：
将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x
2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x
2+bx-3的解析式，再根据抛物线
的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系、
解答：
解：
把x=-3代入x
2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=x
2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3、应选A、
1＜y2＜y3、应选A、
点评：
此题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义、关键是求二次函
数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小、
2.〔2017台湾，32，4分〕如图，将二次函数y＝31x
2－999x＋892的图形画在坐标平面上，
22
判断方程31x－999x＋89＝0的两根，以下表达何者正确〔〕
A、两根相异，且均为正根B、两根相异，且只有一个正根
C、两根相同，且为正根D、两根相同，且为负根
考点：
抛物线与x轴的交点。
专题：
综合题。
22
分析：
由二次函数y＝31x－999x＋89
22
的图象得，方程31x－999x＋89
＝0有两个实根，两
根都是正数，从而得出答案、
解答：
解：
∵二次函数y＝31x
2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相
交，
22
∴方程31x－999x＋89＝0有两个正实根、
应选A、
点评：
此题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：
抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个
不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，
方程无实根、
3..〔2017?
江西，6，3〕二次函数y=x
2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为〔1，0〕，那么
它与x轴的另一个交点坐标是〔〕
A、〔1，0〕B、〔2，0〕C、〔﹣2，0〕D、〔﹣1，0〕
考点：
抛物线与x轴的交点。
分析：
把交点坐标〔1，0〕，代入二次函数y=x
2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称
轴，再利用公式x=
x
x1x21
22
，可求出它与x轴的另一个交点坐标、
解答：
解：
把x=1，y=0代入y=x
2+bx﹣2得：
0=1+b﹣2，
∴b=1，
∴对称轴为1
b
x
2a2
，
∴
x
x1x21
22
，
∴
x
2
=﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是〔﹣2，0〕、
应选C、
点评：
此题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公
式
x
xx
121
22
。
4.（2017襄阳，12，3分）函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，那么k的取值范
围是（）
A、k＜4B、k≤4C、k＜4且k≠3D、k≤4且k≠3
考点：
抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。
专题：
计算题。
分析：
分为两种情况：
：
①当k－3≠0时，（k－3）x2＋2x＋1＝0，求出△＝b2－4ac＝－4k＋
16≥0的解集即可；②当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答
案、
解答：
解：
①当k－3≠0时，（k－3）x2＋2x＋1＝0，
△＝b2－4ac＝22－4（k－3）×1＝－4k＋16≥0，
k≤4；
②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点、
应选B、
点评：
此题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解
和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键、
5.〔2017湖北孝感，12，3分〕如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其
顶点坐标为〔1
，1〕，以下结论：
①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0、其中正
2=4a；④a+b+c＜0、其中正
2
确结论的个数是〔〕
A、1B、2
C、3D、4
考点：
二次函数图象与系数的关系。
专题：
计算题。
分析：
根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性、
解答：
解：
根据图象可知：
①c＜0，c＞0
∴ac＜0，正确；
②∵顶点坐标横坐标等于1
，
2
∴－b
=1
，
22a
∴a+b=0正确；
③∵顶点坐标纵坐标为1，
∴42
acb
4a
=1；
∴4ac﹣b
2=4a，正确；
④当x=1时，y=a+b+c＞0，错误、
正确的有3个、
应选C、
点评：
此题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息、掌握函数性质灵活
运用、
6.〔2017广西崇左，18，3分〕：
二次函数y=ax
2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下结论中：
①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m〔am+b〕〔m≠1的实数〕；④〔a+c〕
2＜b2；⑤a＞1、
其中正确的项是（）
A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④
考点：
二次函数图象与系数的关系、
专题：
数形结合、
分析：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后
根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断、
解答：
解：
①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为
x
b
2a
0
，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
②∵对称轴为
x
b
2a
0
，a＞0，
∴﹣b＞2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m〔am+b〕+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴〔a+b+c〕〔a﹣b+c〕=0，即〔a+c〕
2﹣b2；
∴〔a+c〕
2=b
2
故本选项错误；
⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+〔﹣c〕＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的选项是①⑤、
应选A、
点评：
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b
的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax
2+bx+c系数符号的确定：
〔1〕a由抛物线开口方向确定：
开口方向向上，那么a＞0；否那么a＜0；
〔2〕b由对称轴和a的符号确定：
由对称轴公式
x
b
2a
判断符号；
〔3〕c由抛物线与y轴的交点确定：
交点在y轴正半轴，那么c＞0；否那么c＜0；
〔4〕b
2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2
﹣4ac=0，没有交点，b
2﹣4ac＜0、
7.〔2017广西防城港6，3分〕二次函数y＝ax
2的图象开口向上，那么直线y＝ax－1经
过的象限是〔〕
A、第【一】【二】三象限B、第【二】【三】四象限
C、第【一】【二】四象限D、第【一】【三】四象限
考点：
二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系
专题：
二次函数
分析：
二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y＝kx＋b〔k≠0〕的
一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第【一】【三】四象限、
解答：
D
点评：
此题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象的开口方
向决定了二次项系数a的符号、
8、〔2017湖北黄石，9,3分〕设一元二次方程〔x﹣1〕〔x﹣2〕=m〔m＞0〕的两实根分别为
α，β，且α＜β，那么α，β满足〔〕
A、1＜α＜β＜2B、1＜α＜2＜βC、α＜1＜β＜2D、α＜1且β＞2
考点：
抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。
专题：
数形结合。
分析：
先令m=0求出函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数
形结合即可求出α，β的取值范围、
解答：
解：
令m=0，
那么函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的图象与x轴的交点分别为〔1，0〕，〔2，0〕，
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴α＜1，β＞2、
应选D、
点评：
此题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=〔x﹣1〕
〔x﹣2〕与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键、
9.〔2017?
黔南，9，4〕分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x1=3，另一个解x2=〔〕2+2x+k=0的一个解x
A、1B、﹣1C、﹣2D、0
考点：
抛物线与x轴的交点。
专题：
数形结合。
分析：
先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x
2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的
关系即可求出另一个解x2的值、
解答：
解：
∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x
2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：
﹣x
2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣
2=2，解得x2=﹣1、
1
应选B、
点评：
此题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点
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