初中数学压轴题汇总与解答方法.docx
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初中数学压轴题汇总与解答方法
初中数学压轴题汇总与解答
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足
分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：
A（-2,-6）,C（1,-3）
（1）求证：
E点在y轴上；
（2）如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
（3）如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k（k>0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
图①
[解]
（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：
过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴EODO,EOBO
ABDBCDDB
又∵DO′B+O′D=B
EOEO
∴1
ABDC
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
∴DO′D=O，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：
由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：
y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：
y=-x-2②联立①②得x0
y2
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c（a≠0过）A（-2，-6），C（1，-3）
4a2bc6
E（0，-2）三点，得方程组abc3
c2
解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由
（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
EFEF
同
（1）可得：
1得：
E′F=2
ABDC
方法一：
又∵E′F∥ABEFDF，∴DF1DB
ABDB3
1112
S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=DCDBDCDFDCDB
2223
1
=DCDB=DB=3+k
3
S=3+k为所求函数解析式方法二：
∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA11
∴S△AE′C=S△BDE′BDEF3k23k22
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：
S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′D=C∶AB=1∶2同理：
S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC∶AB=1∶4
221
∴SAEC9S梯形ABCD92ABCDBD3k
∴S=3+k为所求函数解析式.
2.（2004广东茂名）已知：
如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直
径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：
直线AB是否⊙M的切线？
并对你的结论加以证明；
Sh（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若1，抛物线12S24
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
［解］
（1）解：
由已知AM＝2，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝AM2OM21，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：
∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），
AB＝BO2AO212122
在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2
AB2AM2
（2）2
（2）24BM2
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：
由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22，
∴BC＝AB2AC2
（2）2（22）210
BC，
∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
2y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：
（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物
线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：
（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
abc0a＝－5a5
由已知得abc0 解得b0 或 b0
4acb2c5c5
5
4a
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.
3.（2004湖北荆门）如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交
2
x轴于A、B两点，抛物线
yaxbxc（a0）过点A、B，且顶点C在⊙P上.
（1）求⊙P上劣弧AB的长；
（2）求抛物线的解析式；
y
A
B
O
P（1，－
1）x
D，使线段OC与PD互相平分？
若存在，求出点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点
若不存在，请说明理由.
［解］
（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120
⌒120
AB的长＝
180
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3.
又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C（1，－3）.
点A、B、C在抛物线上，则
0a（13）2b（13）c
0a（13）2b（13）c
3abc
a1
解之得b2c2
2
抛物线解析式为yx22x2
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.
又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线yx22x2上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：
直线EF与两圆有怎样的位置关系？
并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：
在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角
三角形？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.y
［解］
（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.
∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C（0,3）,
∴（3）23OBOB.
∴OB＝1.∴OA＝3.
∴A（-3,0）,B（1,0）.
设抛物线的解析式为yax2bxc.
9a3bc0,则abc0,解之，得
c3.
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y3x223x3
33
（2）EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：
连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.
∴QE＝QO.
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴EF与⊙O1相切.
同理：
EF理⊙O2相切.
（3）作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
MN
AO
CN
CO
∴a3a
33
解之，得此时，四边形OPMN是正方形
∴MNOP333.
2
0）.
∴P（
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以
MN为一直角边的等腰直角三角形且
P（
0）或P（0,0）.
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点
1523
A（0，1）、C（4，3）、E（，），P是以AC为
48
对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．
（1）说明点A、C、E在一条条直线上；
（2）能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?
请说明理由；
（3）设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值
吗?
若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．
（本题图形仅供分析参考用）
［解］
（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）确定的解析式为：
y=
将点E的坐标E（15，23）代入y=1x+1中，左边=
482
右边=1×15+1=23，
248
C、
E
1
∵左边=右边，∴点E在直线y=21x+1上，即点A、
在一条直线上.
（2）解法一：
由于动点P在矩形ABCD内部，∴点
而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
P的纵坐标大于点A的纵坐标，
解法二：
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为
4a—b，且P在矩形ABCD内
4a
22
部，∴1<4a—b<3，由1<1—b得4a
4a
b>0，
4a
∴a<0，∴抛物线的开口向下
3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3
∴1GO
2
AO—1FO·AO=3∵OA=1，
2
∴抛物线解析式为：
y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，
2∴1<1—9a<3,∴—9
2
y=ax2—6ax+1
1y=x+1
2
6a121
∴x=0或x=2=6+1.a2a
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：
0<6+1≤15，解得：
—2≤a<—1
2a4912
y
0
x
6.（2004湖南长沙）已知两点O（0，0）、B（0，2），⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，
抛物线的顶点在直线l上运动.
1）求⊙A的半径；
2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且
4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点面积关于m的函数解析式.
［解］
（1）由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2
（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45o可得：
b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x又由r＝2，易得C（2，0）或C（－2，0）由此可设抛物线解析式为y＝ax（x－2）或y＝ax（x＋2）
再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x⋯⋯6分（3）当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P（m，－m）（m>0）过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，
又由切割线定理可得：
OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E（－2，2）⋯8分同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E（－2，2）
（4）若C（2，0），此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，当m<0时，FC＝2（2－m），高为|yp|即为－m，
∴S＝2（2m）（m）m22m
2
同理当02时，S＝m2－2m；
又若C（－2，0），
m22m（m0或m2）
2
m22m（0m2）
7（.2006江苏连云港）如图，直线ykx4与函数y（x0,m0）的图像交于A、x
B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在
（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2,0）．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．
［解］
（1）设A（x1,y1），B（x2,y2）（其中x1x2,y1y2），
由SCOD2SAOB，得SCOD2（SAODSBOD）
∴·OC·OD2（·OD·y1·OD·y2），OC2（y1y2）
222
又OC4，∴（y1y2）28，即（y1y2）24y1y28，O
由ym可得xm，代入ykx4可得y24ykm0xy
∴y1y24，y1y2km，
2
∴164km8，即k．
m
又方程①的判别式164km80，
2
∴所求的函数关系式为k2（m0）．
m
（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P（2,0）．则APBP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、∵MAP与BPN都与APM互余，∴MAP
即m22m（y1y2）4y1y2（y1y2）20②
2
8.（2004江苏镇江）已知抛物线ymx（m5）x5（m0）与x轴交于两点
A（x1,0）、B（x2,0）（x1x2），与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.
（3）若P过A、B、C三点，求P的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使MBN被直线BC
分成面积比为13的两部分？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由.
m55
［解］
（1）由题意得：
x1x2,x1x2,x2x16.
mm
2m520
（x1x2）24x1x236,36,
mm
5解得m11,m2.
127
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：
yx24x5.
或：
由mx2（m5）x50得，x1或
5
xm
m>0,
5
16,m1.
m
2
抛物线的解析式为yx24x5.
2
由x4x50得x15,x21.
∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）设直线BC的解析式为ykxb,
∴直线BC的解析式为y5x5.
（2）图象略.
（3）法一：
在RtDAOC中，OAOC5,OAC45.BPC90.
又BCOB2OC226,
由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线yx24x5的对称轴直线x2上，设P（－2，－h）（h>0），
连结PB、PC，则PB2（12）2h2,PC2（5h）222，
由PB2PC2，即（12）2h2（5h）222，解得h=2.
P（2,2）,P的半径PB（12）22213.
法三：
延长CP交P于点F.
CF为P的直径，CAFCOB90.
又ABCAFC,DACF~DOCB.
CFACACBC
BCOC,CFOC
又AC525252,CO5,BC521226,
P的半径为13.
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t,t24t5）,则点E的坐标为（t,5t5）.
若SDMEB:
SDENB1:
3,则ME:
EN1:
3.
24
EN:
MN3:
4,t24t5（5t5）.
3
5540
解得t11（不合题意舍去），t2,M,.
2339
若SDMEB:
SDENB3:
1,则ME:
EN3:
1.
EN:
MN1:
4,t24t54（5t5）.
解得t31（不合题意舍去），t415,M15,280.
9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A（3，0）、B（1，0），直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
（1）若抛物线yx22xm经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
（2）求直线DF的解析式.
（3）是否存在过点G的直线，使它与
（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？
若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
［解］
（1）∵抛物线过A、B两点，
∴（3）1m，m=3.
1
∴抛物线为yx2x3.
又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.
∴D点坐标为（1，4）.
（2）由题意知：
AB=4.
∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.
由相交弦定理得：
NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C点坐标为（1，1）.
设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.
527
∴直线DF的解析式为：
y5x27
88
则3k1b11，∴b13k11.
由方程组
yk1x3k112
2得x2（2k1）x43k10yx22x3
由题意得2k14，∴k16.
当k16时，400，∴方程无实数根，方程组无实数解∴满足条件的直线不存在.
12
10.（2004山西）已知二次函数yx2bxc的图象经过点A（－3，6），并与
2
x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y
［解］
1）解：
∵二次函数y1x2bxc的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
2
画出二次函数的图像
（2）解法一：
易证：
∠ACB＝∠PCD＝45
解法二：
过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F.
亦可证△AEB∽△PFD、
2255
∴FD∴OD1∴D,0
3333
（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM
又∵MC2OM且OM＋MC＝OC
∴2OMOM3,得OM323
∴M323,0
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′
同理OM′＋OC＝M′C，OMOC2OM得OM323∴M′323,0
即在x轴上存在满足条件的两个点.
11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，
M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，
过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点
角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
［解］
（1）yx22x3，顶点坐标为（1，－4）
（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，
∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），
M（1，－4a），
1
∴S△ACB＝×4×3a＝6a，
而a>0，∴
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