初中数学压轴题汇总与解答方法.docx

1、初中数学压轴题汇总与解答方法初中数学压轴题汇总与解答一、函数与几何综合的压轴题1.(2004 安徽芜湖)如图，在平面直角坐标系中， AB、CD 都垂直于 x轴，垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3)(1)求证： E 点在 y 轴上；(2)如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程 .(3)如果 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k(k0) 个单位，此时 AD 与 BC 相交 于E点，如图，求 AEC的面积 S关于 k的函数解析式 .图 解 （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过 E 作 EOx 轴，垂足 OA

2、BEODC EO DO ,EO BOAB DB CD DB又 DO B+OD=BEO EO1AB DC AB=6， DC =3 ， EO=2 DO D=O ，即 O与 O重合， E在 y轴上方法二：由 D （ 1， 0）， A（ -2 ， -6），得 DA 直线方程： y=2x-2 再由 B（ -2， 0）， C（ 1， -3），得 BC 直线方程： y=-x-2 联立得 x 0y2E 点坐标（ 0，-2），即 E 点在 y轴上（ 2）设抛物线的方程 y=ax2+bx+c（a0过） A（-2，-6）， C（1，-3）4a 2b c 6E（ 0， -2）三点，得方程组 a b c 3c2解得 a

3、=-1, b=0, c=-2 抛物线方程 y=- x2-2（ 3）（本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移 k后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为 F。 EF E F同（ 1）可得： 1 得： EF=2AB DC方法一：又 EF AB EF DF ， DF 1DBAB DB 311 1 2SAEC= S ADC- SEDC= DC DB DC DF DC DB22 2 31= DC DB =DB=3+ k3S=3+k 为所求函数解析式 方法二： BA DC ， S BCA= S BDA 11 SAEC= S BDE BD E F 3 k 2 3 k 22

4、 S=3+ k 为所求函数解析式 .证法三： S DEC SAEC=DE AED=CAB=12 同理： SDEC SDE B=1 2,又 SDE C SABE =DC AB =1 42 2 1 S AEC 9 S梯形 ABCD 9 2 AB CD BD 3 k S=3+ k 为所求函数解析式 .2.（2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点 M （ 1， 0）为圆心、直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交于 A 、 D 两点 .（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）设过点 A的直线 yxb与x轴交于点 B.探究：直线 AB 是否 M的切线？ 并对你的结论加以证明；Sh （3）连接 B

5、C ，记 ABC 的外接圆面积为 S1、M 面积为 S2，若 1 ，抛物线 1 2 S2 4yax2bxc经过 B、M 两点，且它的顶点到 x轴的距离为 h .求这条抛物线的解析 式.解（1）解：由已知 AM 2 ，OM 1， 在 RtAOM 中， AO AM 2 OM 2 1，点 A 的坐标为 A （0，1）（ 2）证：直线 yxb过点 A（0，1）10b即 b1 yx1令 y0 则 x 1 B（1，0），AB BO2 AO2 12 12 2在 ABM 中， AB 2 ，AM 2 ，BM 2AB2 AM 2 （ 2）2 （ 2） 2 4 BM 2 ABM 是直角三角形， BAM 90 直线

6、AB 是 M 的切线（ 3）解法一：由得 BAC 90，AB 2 ，AC2 2 ， BC AB2 AC2 （ 2）2 （2 2）2 10BC， BAC 90 ABC 的外接圆的直径为设经过点 B（1，0）、M（ 1，0）的抛物线的解析式为：2 ya（ 1）（ x1），（ a0）即 y ax 2 a， a 5， a5 抛物线的解析式为 y 5x2 5 或 y 5x25解法二：（接上） 求得 h 5 由已知所求抛物线经过点 B（1，0）、 M （ 1、 0），则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（ 0， 5）抛物线的解析式为 y a（x0） 25又 B（ 1,0）、 M （ 1,

7、0 ）在抛物线上， a50， a 5 抛物线的解析式为 y5x25 或 y 5x25解法三：（接上）求得 h 5因为抛物线的方程为 yax2 bx c（ a0）a b c 0 a 5 a 5由已知得 a b c 0 解得 b 0 或 b 04ac b 2 c 5 c 554a抛物线的解析式为 y5x25 或 y 5x25.3.（2004 湖北荆门 ）如图，在直角坐标系中，以点 P（1，1）为圆心， 2为半径作圆，交2x 轴于 A 、B 两点，抛物线y ax bx c(a 0) 过点 A、B，且顶点 C 在 P 上.（1）求 P 上劣弧 AB 的长； （2）求抛物线的解析式；yABOP（1，1)

8、 xD，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在， 求出点 D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点若不存在，请说明理由 .解 （1）如图，连结 PB，过 P作PMx 轴，垂足为 M.在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1, MPB 60 ， APB 120 120AB 的长180（2）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 则 MBMA 3.又 OM=1 ， A（1 3 ，0），B（1 3 ，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上，则 C（1， 3）.点 A 、 B 、C 在抛物线上，则0 a(1 3)2 b(1 3) c0 a(1 3)2 b(1 3) c3abc

9、a1解之得 b 2 c22抛物线解析式为 y x 2 2x 2（ 3）假设存在点 D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且 PCOD.又 PC y轴，点 D 在 y轴上， OD 2，即 D（0，2）.又点 D（0， 2）在抛物线 y x2 2x 2上，故存在点 D（0，2）， 使线段 OC 与 PD 互相平分 .4.（ 2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内， RtABC 的直角顶点 C（0， 3 ） 在 y 轴的正半轴上， A、B 是 x 轴上是两点，且 OAOB 31，以 OA、OB 为直径 的圆分别交 AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交

10、 OC 于点 Q.（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想 .（ 3）在 AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问：在 x 轴上是否存在点 P，使得 PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . y解 (1)在 Rt ABC 中， OCAB， AOC COB. OC2OA OB. OAOB31,C(0, 3 ), ( 3) 2 3OB OB. OB 1. OA 3. A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析

11、式为 y ax2 bx c.9a 3b c 0, 则 a b c 0, 解之，得c 3.经过 A、B、C三点的抛物线的解析式为 y 3 x2 2 3x 333(2)EF与 O1、 O2都相切 . 证明：连结 O1E、OE 、OF. ECF AEO BFO 90, 四边形 EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+490， EF 与 O1 相切 .同理： EF 理 O2相切 .(3)作 MPOA 于 P，设 MN a,由题意可得 MPMN a. MN OA, CMN CAO.MNAOCNCO a 3 a33解之，得 此时，四边形 OPMN 是正方形 MN OP 3 3 3.2,0

12、). P(考虑到四边形 PMNO 此时为正方形，点 P 在原点时仍可满足 PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形故 x 轴上存在点 P 使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且P(,0) 或 P(0,0).5.（ 2004 湖北宜昌）如图，已知点15 23A（0 ，1）、C（4，3）、 E（ ， ），P 是以 AC 为48对角线的矩形 ABCD 内部 （不在各边上 ）的个动点，点 D在 y轴，抛物线 yax2+bx+1 以 P 为顶点（1）说明点 A、 C、 E 在一条条直线上；（2）能否判断抛物线 y ax2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由；（3）设抛物线 yax

13、2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G（F 在 G 的左侧 ），GAO 与 FAO 的 面积差为 3，且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点这时能确定 a、 b 的值吗?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定 a、b 的取值范围（本题图形仅供分析参考用 ）解 （ 1）由题意，A（0 ，1）、C（4，3）确定的解析式为： y=将点 E 的坐标 E（ 15 ， 23）代入 y= 1x+1 中，左边 =4 8 2右边 = 115 +1= 23 ，2 4 8C、E1左边 =右边，点 E在直线 y= 21 x+1上，即点 A、在一条直线上 .（ 2）解法一： 由于动点 P在矩形 ABCD 内部，

14、 点而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口 向下P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标，解法二： 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为4ab ，且 P在矩形 ABCD 内4a22部， 1 4a b 3，由 1 0，4a a 0，抛物线的开口向下3）连接 GA 、FA ， SGAO SFAO =3 1 GO2AO 1 FOAO=3 OA=1 ，2抛物线解析式为： y= ax 2 6ax +1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，19a）, 顶点 P 在矩 形 ABCD 内部，2 119a3, a 0.92y=ax26ax+11 y= x+126a

15、12 1 x=0 或 x= 2 =6+ 1 . a 2a当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A ，而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交 点，则有： 06+ 1 15 ，解得： 2 a 0） 过 P 作 PPx 轴于 P， OP|m|，PP|m|， OP2m2，又由切割线定理可得： OP2 PCPE,且 PC CE，得 PCPEm PP7分 C与 P为同一点，即 PEx轴于 C， m 2， E（2， 2） 8分 同理，当 l 的解析式为 yx 时， m 2， E（ 2， 2）（4）若 C（2，0），此时 l为 yx，P与点 O、点 C不重合， m0且 m2， 当 m0 时， FC

16、2（2 m） ，高为 |yp|即为 m，S 2（2 m）（ m） m2 2m2同理当 0m2时，Sm22m；又若 C（2， 0），m2 2m(m 0或 m 2)2m2 2m(0 m 2)7（. 2006 江苏连云港） 如图，直线 y kx 4与函数 y （x 0,m 0） 的图像交于 A、 xB 两点，且与 x、 y 轴分别交于 C、 D 两点（ 1 ）若 COD 的面积是 AOB 的面积的 2 倍，求 k 与 m 之间的函数关系式；（ 2）在（ 1）的条件下， 是否存在 k和 m，使得以 AB为直径的圆经过点 P（2,0）若 存在，求出 k 和 m 的值；若不存在，请说明理由解(1) 设 A

17、(x1,y1)，B(x2,y2)(其中 x1 x2,y1 y2)，由S COD 2S AOB，得 S COD 2(S AOD S BOD ) OC OD 2( OD y1 OD y2)， OC 2(y1 y2)2 2 2又 OC 4， (y1 y2)2 8，即 (y1 y2)2 4y1 y2 8， O由 y m 可得 x m ，代入 y kx 4可得 y2 4y km 0 xy y1 y2 4 ， y1 y2 km ，2 16 4km 8 ，即 k m又方程的判别式 16 4km 8 0 ，2所求的函数关系式为 k 2 (m 0) m( 2)假设存在 k , m ，使得以 AB为直径的圆经过点

18、 P(2,0) 则 AP BP，过 A、 B分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M 、 MAP 与 BPN 都与 APM 互余， MAP即 m2 2m(y1 y2) 4y1y2 (y1y2 )2 0 28. (2004 江苏镇江)已知抛物线 y mx (m 5)x 5(m 0) 与 x 轴交于两点A( x1 ,0) 、 B(x2,0) (x1 x2) ，与 y轴交于点 C，且 AB=6.( 1)求抛物线和直线 BC 的解析式 .( 2)在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线 BC.(3)若 P过 A、B、C 三点，求 P的半径 .(4)抛物线上是否存在点 M，过点 M作MN x轴于点 N，使 MB

19、N 被直线 BC分成面积比为 1 3 的两部分？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.m 5 5解(1)由题意得： x1 x2 ,x1 x2 ,x2 x1 6.mm2 m 5 20(x1 x2)2 4x1x2 36, 36,mm5 解得 m1 1,m2 .1 2 7经检验 m=1 ，抛物线的解析式为： y x2 4x 5.或：由 mx2 ( m 5)x 5 0得， x 1或5x mm 0,51 6, m 1.m2抛物线的解析式为 y x2 4x 5.2由 x 4x 5 0 得 x1 5,x2 1. A（ 5， 0）， B（1，0），C（0， 5） 设直线 BC 的解析式为 y k

20、x b,直线 BC 的解析式为 y 5x 5.(2) 图象略 .( 3)法一：在 RtD AOC 中， OA OC 5, OAC 45 . BPC 90 .又 BC OB2 OC2 26,由题意， 圆心 P 在 AB 的中垂线上， 即在抛物线 y x2 4x 5 的对称轴直线 x 2 上，设 P（ 2， h）（ h 0），连结 PB、PC，则 PB2 （1 2）2 h2 ,PC2 （5 h）2 22，由 PB2 PC2 ，即 (1 2)2 h2 (5 h)2 22，解得 h=2.P( 2, 2), P 的半径 PB (1 2)2 22 13.法三：延长 CP 交 P 于点 F.CF 为 P 的

21、直径， CAF COB 90 .又 ABC AFC, DACF DOCB.CF AC AC BCBC OC , CF OC又 AC 52 52 5 2, CO 5,BC 52 12 26,P 的半径为 13.(4)设 MN 交直线 BC 于点 E，点 M 的坐标为 (t,t 2 4t 5),则点 E 的坐标为 (t,5t 5).若 SDMEB : SD ENB 1:3,则 ME : EN 1:3.24EN :MN 3:4, t2 4t 5 (5t 5).35 5 40解得 t1 1 (不合题意舍去)， t2 , M , .2 3 3 9若 SDMEB : SDENB 3:1,则 ME:EN 3

22、:1.EN : MN 1:4, t2 4t 5 4(5t 5).解得 t3 1 (不合题意舍去)， t4 15, M 15,280 .9.如图， M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为 A（ 3，0） 、 B （1，0） ，直径 CD x轴于 N，直线 CE切 M于点 C，直线 FG切 M于点 F，交 CE于G，已知点 G 的横坐标为 3.(1)若抛物线 y x2 2x m经过 A、B、D 三点，求 m的值及点 D 的坐标 .(2)求直线 DF 的解析式 .(3) 是否存在过点 G 的直线，使它与( 1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等 于 4 ？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；

23、若不存在，请说明理由 .解 (1) 抛物线过 A、B 两点， ( 3) 1 m ， m=3.1抛物线为 y x 2x 3.又抛物线过点 D，由圆的对称性知 点 D 为抛物线的顶点 . D 点坐标为 ( 1，4) .(2) 由题意知： AB=4.CD x轴， NA=NB=2. ON =1.由相交弦定理得： NANB=ND NC， NC4=2 2. NC=1. C 点坐标为 （ 1， 1） .设直线 DF 交 CE 于 P，连结 CF，则 CFP=90 2+3= 1+4=90.5 27直线 DF 的解析式为： y 5x 2788则 3k1 b1 1 ， b1 3k1 1.由方程组y k1x 3k1

24、 1 22 得 x2 (2 k1 )x 4 3k1 0 y x 2 2x 3由题意得 2 k1 4 ， k1 6.当 k1 6时， 40 0 ， 方程无实数根，方程组无实数解 满足条件的直线不存在 .1210.（ 2004 山西）已知二次函数 y x2 bx c的图象经过点 A （ 3， 6），并与2x 轴交于点 B（ 1，0）和点 C，顶点为 P.（ 1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；2）设 D 为线段 OC上的一点，满足 DPC BAC ，求点 D 的坐标；3）在 x 轴上是否存在一点 M，使以 M 为圆心的圆与 AC、PC 所在的直线及 y解1）解：二次

25、函数 y 1 x2 bx c 的图象过点 A（ 3，6），B（ 1，0）2画出二次函数的图像（2）解法一：易证： ACB PCD 45解法二：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E.设抛物线的对称轴交 x 轴于 F.亦可证 AEB PFD 、2 2 5 5 FD OD 1 D ,033 3 3（ 3 ）存在 .（1）过 M 作 MHAC，MGPC垂足分别为 H、G，设 AC 交 y轴于 S，CP 的延长线交 y 轴于 TSCT 是等腰直角三角形， M 是SCT 的内切圆圆心， MGMH OM又 MC 2OM 且 OM MC OC 2OM OM 3,得 OM 3 2 3 M 3 2 3,0（2）在

26、x 轴的负半轴上，存在一点 M 同理 OMOCMC， OM OC 2OM 得 OM 3 2 3 M 3 2 3,0即在 x 轴上存在满足条件的两个点 .11.（ 2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中， A （ 1，0）， B（3，0）.（ 1）若抛物线过 A，B 两点，且与 y轴交于点（ 0， 3），求此抛物线的顶点 坐标；（ 2）如图，小敏发现所有过 A ，B 两点的抛物线如果与 y 轴负半轴交于点 C，M 为抛物线的顶点，那么 ACM 与 ACB 的面积比不变，请你求出这个比值； （ 3）若对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E，F，与 y 轴交于点 C，过 C 作 CPx轴交 l 于点 P，M 为此抛物线的顶点角为 60的菱形，求次抛物线的解析式 .解 （1） y x2 2x 3 ，顶点坐标为（ 1， 4）（ 2）由题意，设 y a（x1）（ x3）， 即 yax2 2ax 3a， A（1，0）， B（3，0），C（0， 3a），M（1， 4a），1 SACB 4 3a 6 a ，而 a 0，