动力学中三种典型物理模型.docx

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动力学中三种典型物理模型

专题强化四　动力学中三种典型物理模型

专题解读1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题.

2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力.

3.用到的相关知识有：

匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识.

一、“等时圆”模型

1.两种模型（如图1）

图1

2.等时性的证明

设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d（如图2）.根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsinα，位移为s＝dsinα，所以运动时间为t0＝＝＝.

图2

即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关.

二、“传送带”模型

1.水平传送带模型

项目

图示

滑块可能的运动情况

情景1

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

情景2

①v0>v，可能一直减速，也可能先减速再匀速

②v0＝v，一直匀速

③v0

情景3

①传送带较短时，滑块一直减速到达左端

②传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端.其中v0>v返回时速度为v，当v0

2.倾斜传送带模型

项目

图示

滑块可能的运动情况

情景1

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

情景2

①可能一直加速

②可能先加速后匀速

③可能先以a1加速后以a2加速

三、“滑块—木板”模型

1.模型特点

滑块（视为质点）置于长木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动.

2.两种位移关系

滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度.

命题点一　“等时圆”模型

例1　如图3所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则（　　）

图3

A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1＝t2＝t3

答案　D

解析　如图所示，滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力FN作用.设杆与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgsinθ＝ma，得加速度大小a＝gsinθ.设圆周的直径为D，则滑环沿杆滑到d点的位移大小x＝Dsinθ，x＝at2，解得t＝.可见，滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关，即三个滑环滑行到d点所用的时间相等，选项D正确.

变式1　如图4所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（　　）

图4

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点

C.c球最先到达M点

D.b球和c球都可能最先到达M点

答案　C

解析　设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta＝＝2，tb>ta，c球做自由落体运动tc＝，C选项正确.

命题点二　“传送带”模型

1.水平传送带

水平传送带又分为两种情况：

物体的初速度与传送带速度同向（含物体初速度为0）或反向.

在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速（若v物v传，则物体减速），直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速.

计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：

①若二者同向，则Δs＝|s传－s物|；②若二者反向，则Δs＝|s传|＋|s物|.

2.倾斜传送带

物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：

物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动.解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsinθ与μmgcosθ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况.

例2　如图5所示为车站使用的水平传送带模型，其A、B两端的距离L＝8m，它与水平台面平滑连接.现有物块以v0＝10m/s的初速度从A端水平地滑上传送带.已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.6.试求：

图5

（1）若传送带保持静止，物块滑到B端时的速度大小？

（2）若传送带顺时针匀速转动的速率恒为12m/s，则物块到达B端时的速度大小？

（3）若传送带逆时针匀速转动的速率恒为4m/s，且物块初速度变为v0′＝6m/s，仍从A端滑上传送带，求物块从滑上传送带到离开传送带的总时间？

答案　

（1）2m/s　

（2）12m/s　（3）s

解析　

（1）设物块的加速度大小为a，由受力分析可知

FN＝mg，Ff＝ma，Ff＝μFN

得a＝6m/s2

传送带静止，物块从A到B做匀减速直线运动，

又x＝＝m>L＝8m，

则由vB2－v02＝－2aL

得vB＝2m/s

（2）由题意知，物块先加速到v1＝12m/s

由v12－v02＝2ax1，得x1＝m

故物块先加速后匀速运动

即物块到达B时的速度为vB′＝v1＝12m/s

（3）由题意可知，物块先向右减速后向左加速

①向右减速到v2＝0时

由v22－v0′2＝－2ax2得x2＝3m

由v2＝v0′－at1得t1＝1s

②向左加速到v3＝4m/s时

由v32－v22＝2ax3得x3＝m

故向左先加速后匀速

由v3＝v2＋at2得t2＝s

③向左匀速运动v4＝v3＝4m/s

x4＝x2－x3＝m

由x4＝v4t3得t3＝s

故t＝t1＋t2＋t3＝s

变式2　（2018·湖北荆州模拟）如图6所示为货场使用的传送带的模型，传送带倾斜放置，与水平面夹角为θ＝37°，传送带AB足够长，传送皮带轮以大小为v＝2m/s的恒定速率顺时针转动.一包货物以v0＝12m/s的初速度从A端滑上倾斜传送带，若货物与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.5，且可将货物视为质点.（g＝10m/s2，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

图6

（1）求货物刚滑上传送带时加速度为多大？

（2）经过多长时间货物的速度和传送带的速度相同？

这时货物相对于地面运动了多远？

（3）从货物滑上传送带开始计时，货物再次滑回A端共用了多长时间？

答案　

（1）10m/s2，方向沿传送带向下

（2）1s　7m

（3）（2＋2）s

解析　

（1）设货物刚滑上传送带时加速度为a1，货物受力如图所示：

根据牛顿第二定律得

沿传送带方向：

mgsinθ＋Ff＝ma1

垂直传送带方向：

mgcosθ＝FN

又Ff＝μFN

由以上三式得：

a1＝g（sinθ＋μcosθ）＝10×（0.6＋0.5×0.8）m/s2＝10m/s2，方向沿传送带向下.

（2）货物速度从v0减至传送带速度v所用时间设为t1，位移设为x1，则有：

t1＝＝1s，x1＝t1＝7m

（3）当货物速度与传送带速度相等时，由于mgsinθ＞μmgcosθ，此后货物所受摩擦力沿传送带向上，设货物加速度大小为a2，则有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，

得：

a2＝g（sinθ－μcosθ）＝2m/s2，方向沿传送带向下.

设货物再经时间t2，速度减为零，则t2＝＝1s

货物沿传送带向上滑的位移x2＝t2＝1m

则货物上滑的总距离为x＝x1＋x2＝8m.

货物到达最高点后将沿传送带匀加速下滑，下滑加速度大小等于a2.设下滑时间为t3，则x＝a2t32，代入解得t3＝2s.

所以货物从A端滑上传送带到再次滑回A端的总时间为t＝t1＋t2＋t3＝（2＋2）s.

命题点三　“滑块—木板”模型

如图7所示，解决此模型的基本思路如下：

图7

运动状态

板块速度不相等

板块速度相等瞬间

板块共速运动

处理方法

隔离法

假设法

整体法

具体步骤

对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程

假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff>Ffm，则发生相对滑动

将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析

临界条件

①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变

②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件