上海高考文科数学试题及答案.docx
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文）
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设，则不等式的解集为_______.
2．设，其中为虚数单位，则的虚部等于______.
3．已知平行直线，，则与的距离是_____.
4．某次体检，5位同学的身高（单位：
米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.
5．若函数的最大值为5，则常数______.
6．已知点（3,9）在函数的图像上，则的反函数=______.
7．若满足则的最大值为_______.
8．方程在区间上的解为_____.
9．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.
10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.
12.如图，已知点O（0,0）,A（1.0）,B（0,−1）,P是曲线上一个动点，则的取值范围是.
13.设a>0,b>0.若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是.
14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.设,则“a>1”是“a2>1”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）
（A）直线AA1（B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1
17.设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
18.设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为的三个函数.对于命题：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）
（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题（D）①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
（1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：
①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.
（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知R，函数=.
（1）当 时，解不等式>1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
参考答案
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14.
15.A
16.D
17.B
18.D
19.解：
（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．
圆柱的体积，
圆柱的侧面积．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为与所成的角．
由长为，可知，
由长为，可知，，
所以异面直线与所成的角的大小为．
20.解：
（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
21.解：
（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，．
设，，直线．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
由，，得，
故，
解得，故的斜率为．
22.解：
（1）因为，，所以，
从而与不是无穷互补数列．
（2）因为，所以．
数列的前项的和为
．
（3）设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．
综上，，．
23.解：
（1）由，得，
解得．
（2）有且仅有一解，
等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．
当时，，符合题意；
当时，，．
综上，或．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
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