■〕也成立。
因有
CMT-TCrUl=σ{σkτ）-TC严=讥MW+τσA）-τσλ+1=⅛σλ+（OT-τσ）$
∙-^l1'^',即等式对厂-［也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明
（1）若「是「上的可逆线性变换，则］的逆变换唯一；
（2）若「，L是「上的可逆线性变换，则工也是可逆线性变换，且
证明：
（1）设}丄都是「的逆变换，则有^r^。
进而Ll■.-IL.匸匚匸二L。
即〕的逆变换唯一。
（2）因「，L都是「上的可逆线性变换，则有
√-.L^IC√L^1_1--^J,同理有'.^'ll^'I-L「气；IL-.^'lL-
由定义知工是可逆线性变换，J「一为工逆变换，有唯一性得
r二
习题7.1.6设「是「上的线性变换，向量,且「，二二，「〔二，
■都不是零向量，但jl.-j11。
证明“，「•二，丁J，
'"」线性无关。
证明：
设I-;「匸i…「厂,依次用彳」［J可得
IL/-■■■■■.■■■'I-J1I,得■11,而■/-λ∣■11，
故;同理有：
--二-•,得
即得〔"；依次类推可得"一^■--^,即得F点一1,进而得/t=O
有定义知—，二工，丁J线性无关。
习题7.1.7设〕是「上的线性变换，证明「是可逆线性变换的充要条件为:
一既是单射线性变换又是满射线性变换，即：
是一一变换。
证明：
一I已知「是可逆线性变换，即存在L。
若」21,则
两端用TI作用即得；一J,因此〕是单射线性变换。
若任取二WT,则存在TF,使得；P,即〕是满射线性变换。
-已知二既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。
现定
义新的变换：
匚-'，定有二一，且有•工',规定LH-,有「广汇二丁W；,同时有"-τ-'∙'=n■-■=■■■■,即有TI「。
由定义知「是可逆线性变换。
习题7.1.8设「是「上的线性变换，证明
（1）.是单射线性变换的充要条件为U二「；
（2）是单射线性变换的充要条件为■:
把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。
证明：
（1）「已知〕是单射线性变换，对气m,则有
-—「心，由单射得，.,即丄二-厲
（U）已知kerσ=∖Cι｝，若S兔）=6⅛），则有6坷=°，得「7一一上「-,即得:
一：
故〕是单射。
（2）已知［一是单射线性变换。
设：
J线性无关，现证
m∙⅛VWJ也线性无关。
令'.l-'√-√---,√-∙.'，整理有σ（⅛+⅛+-+⅛）^θ，而0是单射，有⅛+^¾+-+⅛=θ，
已知：
忖TF线性无关，所以∖∖"J,故丄l∖-I].：
**J
也线性无关。
已知〕把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。
若jl,-∖1,则有一H■11,并一定有-一=11O否则若匚一二■11,
则说明向量山二线性无关，而—丄•表示】一把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。
而由-I-^-J-"可得∙"ι^l--j,即〕是单射线性变换。
习题7.1.9设R「是匚中全体可逆线性变换所成的子集，证明
「关于线性变换的乘法构成一个群。
（超范围略）
习题7.1.10设J是「上的线性变换，且^f-Λ-Λ-^.证明
（1）若'-I--J，则丄「一-；
（2）若叩」丄忙则（二一片叮二厂Y「门
证明：
（1）因为■、，；-■，.'-。
所以
还+①二©+®）"=°?
+Oifljl+6fli+oJ=0i+fli6+qq+°i从而-^l-_"或上广'I'】。
又因为
f-：
.!
Λ,.H∣O
故j-<■O
（2）因为J-……_一，JH-Vl，所以
（σ1+σ1-σiσ^=（σj+¾-σ1σa）（q+q—56）
=⅛+qσ3-Wl爲+σ2σl+另-叩向-σι¾^σAσι+σ∖σAaι
.'_.^\■/1J:
:
■':
^ι<二二「二_~O
习题7.1.11设Ir与；分别是数域「上的P维与J维线性空间，
:
Jd是：
的一个有序基，对于：
中任意〔个向量,1\,证
明存在唯一的线性映射「「「，使「•’二f。
证明：
先证明存在性。
对任意的「，一有唯一的线性表达式
ff=⅞q+⅞¾-+⅞⅞
我们定义.
显然有儿：
「，—：
「f。
现验证/为L到洛的一个线性映射。
（1）对任意的向量■.<-Γ.'∕√'-.1,.∖_.r,因为
-.∖-∖■-'-S由定义得
处+®=⅛+λ）A÷⅛+λ）A-+（⅞+λ）A
=⅛A+⅞A-+⅞A）+CλA+^A"+λA）
（2）对任意的；-J,因为1"∙j.∣τ二Jr=,由定义得
.''：
.-'_一一∖-：
l'p'+/'.■■「:
；。
所以/为「「到丁的一个线性映射。
再证唯一性：
若另有「到匚的一个线性映射-,也使得
叭a卜&,匸心丿。
则对任意向量一定有
φ）=x⅛）+ι⅛）+z⅛）
二T:
H:
W二O
由“在“中的任意性，可得“dO
习题7.1.12设「与洛分别是数域J-上的「维与J维线性空间，是线性映射。
证明汽P是「的子空间，/「是匚的子空间。
又若世疗有限,证明二mW:
二。
这时称二H为,;的零度，称门W为"的秩。
证明：
（1）先证次Y与分别为「与「的子空间，
对∖⅛JeF，血,0EkerP,有=⅛^α）+∕fP^=⅛0+∕0=0，
所以応+H三T,故:
m为「的子空间；同理，对F-F，
„斗K，则丄—…，使F丄—二，F「-,所以
M+/0二七贰R）+城0）二冰R
所以八J为；的子空间.
（2）再证二二二二；‘、-:
二I
因工1「有限，不妨设：
二丁二「，二二1三、门二",在山Y中取一个基
■■"'"",j''u'∙，再把它扩充为「的一个基比“，贝y
^'l∙d"∙ljr'l,-∙是像空间丫匚八的一个基.
事实上，对…，存在【―，使得「m。
设一…】-“L"-i∣-∣÷"-，则有
Of=XQO=^xl¾+¾¾+"÷¾⅛+⅞tJ‰+M'+⅞¾）話他%）+枷⅛）i城¢9）+和血^l）+…+聊他）
=¼l^÷l）+-+^⅞）
即/八中的任意向量都可由…y线性表示。
现证向量组X■线性无关：
设-1,有即
U-.「：
J,所以向量I…1「可由向量组
■■■'■--j''j-∙线性表示，进而有
"一、+…+【.I】］二一1二+--+\〔.，整理有
皿_「「■-_∖∙.''.^,
又因:
线性无关，所以必有.」；；-「S因此…0匚线性无关，即";，1：
;!
'：
为/八的一个基，故dimkerp+CIirTI疏卩）-π-dim7O
习题7.1.13证明关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法
与数量乘法构成」上的一个线性空间。
证明：
现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数
量乘法：
「；都是从「至打'的线性映射。
事实上，对j,七打，有
（卩+肖）@+耳二與1+0）+減r+R=跑）+饥®+呎②+以®
=血M+血））+（跃E+M）=（卩+卩）®）+（卩+0⑷
（卩+肖）他）=磁庄）+If^kd）=k（φ（a）+虹M）二k（ιφ+ψ）（a）
故二1l"为「到匸的线性映射。
同理，对，有
（如）®+间=姒&+①二饥农）+殒®）匸（紳）紂+〔炯側）,
仗初GG）=肿Q②=Id妙）=比疏U）=l（kφ）（μ）
故P为「到二的线性映射。
另外线性映射的加法匸1L''与数量乘法显然满足：
（1）结合律：
『/仁3=&-閃-下
（2）交换律：
0r"旷Y
（3）存在零线性映射D,对,有J「L；
（4）对,有负线性映射一广,使得f1■'■'■'■；
（5）J-;（6）匕半二"F;（7）」書j和S
（8）。
其中,-e「-l∣■■■■'
所以匚厂丁关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成J上的一个线性空间。
习题7.1.14证明:
二丄：
「二LFJ:
山「。
证明：
设「为「维线性空间，「为4维线性空间，即一二一τ'J，
:
。
取定「的一组基：
；：
1和；的一组基'.-J'"''.。
令」为=L'；、到」％的如下映射：
』；∙I，其中二为〕在基■?
'j,J与基■一下的矩阵。
这样定义的/是丄匕'到丄曲L的同构映
射。
事实上，
（1）若』ι-ι二一，「■「_■m,且匚「，则有'i-^^J：
；”匚..二、上，J心。
由于+-二，对每一
个嘟有:
上「T，故有-■-■'J，即F是单射。
（2）仏（讣Y（町，令
XJ=^,A,-Λ）7
（%丿
则存在唯一的线性映射:
使得Xj■■'<'■■'■■■",并且
0©陶…吗）旳必,…必）出血…成M
由此可见，"是满射。
（3）对T一」；,P二,有丄1三,其中—f「即有.1：
；：
■；.-；.!
/-,.-N'...■：
^'l/L■-l'^J,所以
（⅛σj+⅛l¾√l⅝）=（iqX¾¾Λ>¾）
“冰备％4+/0■血縮心）"（A息…心）A+∕（A席-調出
:
W-IdJ,故有J"j「I到二“「的同构映射。
进而有
工:
「•『二lζ.Λr>^->.τι7∣-.Jr:
O
习题7.2习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵:
（1）的线性变换」-丄一二，丄一一，其中
为固定矩阵。
求■■:
J在］「一丄这个基下的矩阵；
（2）
PQ二IlA=為
设ymj∏ρ是线性空间Tj的线性变换，求〕在基,Pi二b（“l）…依—i+B二2,…E
汕下的矩阵；
（3）6个函数：
£=产8曲，N二产汕忙艮=X代皿X,
Z1
Ji=XefflSinh,Z二产
6维线性空间。
求微分变换
的所有实系数线性组合构成实数域上一个在基「.宀下的矩阵。
解：
（1）由：
L的定义直接可得:
5（禺i）=
⅛⅞1）=
巧（禺2）=
⅛Yι
3八O
⅛Yo
⅛Yo
⅛VoH丿I
1卜
CjIQ
0
0
ab}bej'adyCd）0bdj护丿
=dta⅛÷abEn+λc¾+Ac¾
=acBll+adS12+c2E21+cdE21
=abEn+⅛⅛12-^-adE2l+bdE^
二bcE11+bdSu+cdE21+d2S22
。
所以上在LT一一…这个基下的矩阵为
6（&1）=
6（Eu）=
6（Ed}~
⅛Yι
⅛Y0
41
⅛γo
0]C
OrL
Io
（b
ah护adbd
0丿
（?
0丿
b^∖
Ad
Cd
=aEvι+CE^
-bEl2+dEi
OA⅛0di
所以',在-./zI--..--这个基下的矩阵为
Q0b
0λ0
COj
O
（2）由—直接可得:
戌Pa）=SI）=I-I=O
j―（T（X）=XH-Jl-X=I=PQ
咖）=碍X（XT））=补⅛÷1）jγ-∣Φ-I）F5⅛）二σ（[x（x-1）…仃τ+1））=耳4
m
下的矩阵为:
换讣站如1）…S+1））=1
所以在基—一严-
S1O…o'1
OoI-O
OOO-I
卫OO…O八
（3）由微分运算性质直接可得：
D（JI）二^aXCoSbX）t=afrbf2,
D（A）=（X产COSbx）t=∕ι+^-⅞∕,4,
m-上，d,
MS）=（Aye。
时=人+妇现，
DS）=（Py$讥卅=/+町+应。
所以微分变换在基〔宀下的矩阵为：
厂a
b
1
0
00
-b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
0
0
-b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
3
0
0
0
-b
a
禺二召輕心）B=^
习题722设是「的一个基,
已知线性无关。
证明:
（1）存在唯一的线性变换」，使「〔，：
•「l,'；
（2）
（1）中的」在下的矩阵为匸T；
（3）
（1）中的」在基T八…二下的矩阵为λ∙■O
证明：
（1）因为〔IJ线性无关，所以y∙j也是「的一个基。
故对「的一个基及，个向量■■I-■-■',定存在唯一的线性变换L,使=J。
（2）由已知条件有
（坷心厂,A）=（q怠…屁M,（A，你…层）=（勺血…屁）B,
其中H与—Jr都是Ir的基，所以X可逆，且有—
L,l',∙''I,进而有!
■■-"■■■.1■■■1。
再由
（1）得
■■■■，-∙∣∕.的矩阵为」Iro
（3）类似有
嚕,跖…疋J=比f⅛O⅛P…屛）4=（A'傢…‘瓦）虫=（勺局,…島）別，所以」在基Fn下的矩阵为λ.
咆）=
其中
I
3丿
6
r-ħ
¥
0
1
-1
<2
<1>
I°丿
O
½=
O
习题723在」中，定义线性变换匚为
j50-宁
JlO3、
（GI尼鬥）
O-I-I
（¾i¾t⅛）
01-1
曲曲泌）=
<369丿
<210；
（1）由定义知
解:
C⅛*a,⅞）0
<3
-1
6
-1
9丿
2
<2
故「在基下的矩阵为:
（2）类似有
61
-1b
f-5
一4
0
20
-5
18
-2C∣1
-2
24;
27
-5
18
-2
24
所以有
JIe）3'
-1
广-50-5）
01-1
=角）
0-1-1
Sq局,构）Z
<210,
<369；
Jlo3、
-1
≡
01-1
<≡10>
-50-5
∖/-I-
33>
（-52O-
-20^
f-50-5、
JIO3、
-1
J50-5>
C⅞-¾.⅞）
0-1-1
01-1
0-1-1
的丿泌）二
36匚
=⅛l-¾>¾）
<2】0丿
<36‰
习题724在」中,
r
1
矩阵是I"
η
0
IJ
51=
线性变换〕在基
11丿,
下的
已
-1
Oi册旳）1
知
OA
求〕在基下的矩阵。
<1
⅛P¾.¾）I
1-1
故0在基3下的矩阵为：
I-1
4
Jl-33\
<-50
<235^
1
261
0-1-1
-10-1
2-1b
<369丿
二
LllCj
O
35、
0-1
10八
Jl13
-I
<10P
Jl10、
101
=⅛ι-¾∙¾）
110
101
J-IIJ
<-12b
<1-1b
-1
则有
Jl10、
<ι0P
Jl1-F
「-11-2、
101
110
01-1
=⅛b¾r⅞）
220
J—11」
厂12b
J0b
C02,
σ（⅛%f⅞）=σ（¾^l¾）
即。
在基勺鬥鬥下的矩阵为：
I
习题725设数域「上3维线性空间L的线性变换匚在基下的矩阵为
仙】al2
t321a22a23
√⅛⅞1aZlJ
（1）求〕在基下的矩阵；
（2）求〕在基下的矩阵；
（3）求「在基勺=二∙⅛∙¾下的矩阵。
解：
（1）由已知可得
隔）二"13坷十"汨岛+“33陶=陶3憩+阿3憊+陶3坷^¾）^⅛¾^⅛¾+¾¾-⅛⅞^¾¾，TqI二「［二LyTI二口二乙心Iι'l'j¾:
L-L^O
所以】一在基'IL下的矩阵为：
（2）由已知可得
S坷）Z仓碣+绑⅞+範Iq二dfιι¾+i1（¾1t<⅛+¾fl⅛,0^上盘J—上坷2珂++二+Q?
*冏+ICCt^o^
罠隔）二如坷+¾¾+¾¾=+上S幽¾+砌斶O
所以0在基珂比%下的矩阵为：
<
（3）由已知可得
Sq+妁ZSGj+S&JZ（坷1+¾）¾÷（fl]i÷βjj）¾+（⅞ι+⅛）¾=（fl⅛l+fl∣⅛）（i⅛+fl¾）+⅛1÷¾-Jii-¾）¾+（‰+⅜3）fl⅞
*aU^aLtl⅛⅛^1¾1a22⅛^1ι¾5
£?
3]⅛dJjjβjj
I=.j'-,λ:
-!
.∖∙∙λ'.∙,■!
；：
「、.：
二丄]IJI'!
二」；二'<√!
λ∙-.,
所以】-在基下的矩阵为:
『QlI+如
fl⅛丰角旬1一$比Q∖.（¾+∣‰
[∣!
JJ二J：
W：
!
芯:
二:
二j.：
IQ：
；.I「.”：
.牛二Jijj比。
O
习题726在「维线性空间「中，设有线性变换「与向量二使-Il--l'",但「「'厂“。
证明：
在〕「中存在一个基，使：
一在该基下的矩阵为
SOOM
IO-Oo
01-00
卫0…10八
证明：
由习题7.1.6知：
P维线性空间「的向量组二，「‘工，二，■」线性无关，且有P个向量，即构成「「的一组基，而线性变换〕作用此基有：
二二二「'「，
σ（σ（α））=σj（α）
讥产（⅛）=Usa（O），
-lJ■■-「-O
故〕在基二，H,J」，「—Z下的矩阵为:
rOOO3
10*00
OI--OO
卫0…10八
习题727设-r''^l是数域J上「维线性空间「的全体线性变换组成的数域「上的线性空间，试求「…丄'V',并找出匚中的一个基。
求证：
任取“的一组基I1,令/为--'∙'^ι到的映射：
八丨，其中宀J。
由引理726及定理7.2.7知/■为同构映射，即VLe。
所以它们的维数相同，而
dim-√，故伽HyQ=『。
现取「厂匚r^^^l,、「「「「，使得
何％…心吗，即血沪吗，fj=12…岸。
已知吗，订=12…"是l'J''的一组基，故「J，：
id为的一组基。
习题728证
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