《概率》全章复习与巩固.docx
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《概率》全章复习与巩固
《概率》全章复习与巩固
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.会用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率.
3.理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件发生的概率.
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义.
学习策略：
●本节课突破难点的最好办法是亲自动手操作，在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．通过试验模拟等方法，可以澄清日常生活中对概率的错误认识，也加深理解概率的意义．随机事件可以看成集合，所以可以类比集合之间的关系与运算，得到事件之间的关系与运算．概率的性质可以类比频率的性质，并利用频率与概率的关系得到．在学习过程中，要尽量使用统计图和统计表展示频率的稳定性，这样既直观易懂，又可以与“统计”的内容相呼应．
二、学习与应用
要点一：
随机事件的概率
1.随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
（1）随机事件：
在一定条件下的事件；
（2）必然事件：
在一定条件下的事件；
（3）不可能事件：
在一定条件下的事件.
2.随机事件的概率
事件A的概率：
在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
由定义可知≤P（A）≤，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.
3.事件间的关系
（1）互斥事件：
不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
（2）对立事件：
不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件.
（3）包含：
事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）.
要点诠释：
1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.
2.频率与概率的区别与联系：
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
.在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
3.从集合角度理解互斥事件为两事件为空，对立事件为两事件.
若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B互斥，则不一定是对立事件.
要点二：
古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
（1）每个基本事件的发生都是的.
（2）因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有.
（3）任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现，即产生
基本事件.
（4）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用
的形式来表示.
2.古典概型的定义：
（1）有限性：
试验中所有可能出现的基本事件只有；
（2）等可能性：
每个基本事件出现的相等；
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
（1）计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
（2）计算基本事件的总数n；
（3）应用公式计算概率.
4.古典概型的概率公式：
.应用公式的关键在于准确计算事件所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：
如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.
要点三：
几何概型
1.几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是，，
等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
2.几何概型的基本特点：
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有；
（2）每个基本事件出现的相等.
3.几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率.
说明：
（1）的测度不为；
（2）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；
（3）区域为＂开区域＂；
（4）区域内随机取点是指：
该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成而与其无关.
要点诠释：
几种常见的几何概型
（1）设线段是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段上的点数与线段的长度成正比，而与线段在线段L上的相对位置无关，则点落在线段上的概率为：
P=
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：
P=
（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：
P=
要点四：
随机数的产生
1.随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是
的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到，的作用.
2.随机数的产生方法：
一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.
3.随机模拟法（蒙特卡罗法）：
用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：
（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；
（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；
（3）计算频率作为所求概率的近似值.
要点诠释：
1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.
2.随机函数RANDBETWEEN（a，b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.
3.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.
4.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.
5.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
6.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
7.利用计算机和线性变换Y=X*（b-a）＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数.
要点五：
求解概率问题应当注意的问题
1.求解概率问题应首先分清是哪类概率问题，针对不同的概型灵活选择相应的方法及公式.
2.求解概率的应用问题一般可分为三步：
①用字母恰当地表示相关事件；明确事件之间的关系，如互斤、对立、独立等；③运用正确的计算公式.
3.对于稍微复杂的事件的概率求解时，通常有两种方法，一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，二是先求出此事件的对立事件（适用于“至多”“至少”型的事件概率）的概率.
4.几何概型问题时常借助图形的直观帮助分析.
要点一：
随机事件与概率
例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
（1）问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?
（2）假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?
【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
【解析】
【总结升华】
举一反三：
【变式1】若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件A发生的频率，则随着的逐渐增大，有（）
A.与某个常数相等
B.与某个常数的差逐渐减小
C.与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D.与某个常数的附近摆动并趋于稳定
【答案】
要点二：
互斥事件与对立事件
例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
（1）至多2人排队等候的概率是多少?
（2）至少3人排队等候的概率是多少?
【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．
【解析】
举一反三：
【变式1】（2017春宛城区月考）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为．求：
（1）取出的1个球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
【答案】
【解析】
要点三：
古典概型
例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：
（1）甲中奖的概率P（A）；
（2）甲、乙都中奖的概率P（B）；
（3）只有乙中奖的概率P（C）；
（4）乙中奖的概率P（D）．
【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解．
【解析】
【总结升华】
举一反三：
【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.
【答案】
【解析】
【变式2】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（注：
若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
【答案】
【解析】
要点四：
几何概型
例4．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供三条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．
（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路相同的概率．
（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．
【思路点拨】
（1）列举法写出所有基本事件，从中找出符合条件的基本事件，利用基本事件个数比求概率；
（2）用平面区域分布表示实验及满足条件的实验，利用面积比求概率．
【答案】
【解析】
【总结升华】
举一反三：
【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的
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