春季学期新版新人教版八年级数学下学期182特殊的平行四边形同步练习5.docx

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春季学期新版新人教版八年级数学下学期182特殊的平行四边形同步练习5

矩形课后练习

主讲教师：

傲德

题一：

矩形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．内角和为360°B．对角线相等

C．对角相等D．相邻两角互补

题二：

平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　）

A．对角线相等B．对角线互相平分

C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直

题三：

下列关于矩形的说法中正确的是（　　）

A．矩形的对角线互相垂直且平分

B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相平分的四边形是矩形

题四：

下列说法正确的有（　　）

①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个

角是直角的平行四边形是矩形．

A．1个B．2个C．3个D．4个

题五：

如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：

∠BAE=1：

2，试求∠CAE的度数．

题六：

如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，

∠BDE=15°，试求∠COE的度数．

题七：

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．

题八：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．

题九：

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？

并说明理由．

题一十：

如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．

（1）求证：

四边形AEFD是平行四边形；

（2）当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；

（3）当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．

题一十一：

如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．

（1）求证：

△BOC≌△EOD；

（2）当∠A=

∠EOC时，连接BD、CE，求证：

四边形BCED为矩形．

题一十二：

已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：

四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．

题一十三：

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线

，延长DF交AN于点E．

（1）判断四边形ABDE的形状，并说明理由；

（2）问：

线段CE与线段AD有什么关系？

请说明你的理由．

题一十四：

已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊

四边形？

并证明你的结论．

题一十五：

如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点

C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．

题一十六：

如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？

并证明你的结论．

矩形

课后练习参考答案

题一：

B．

详解：

A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；

B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；

C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；

D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．

故选B．

题二：

B．

详解：

因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B．

题三：

B．

详解：

A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；

B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；

C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；

D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．

故选B．

题四：

C．

详解：

两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；

有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．

故选C．

题五：

30°．

详解：

∵∠DAE：

∠BAE=1：

2，∠DAB=90°，

∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，

∴∠DBA=90°-∠BAE=90°-60°=30°，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60°-30°=30°．

题六：

75°．

详解：

∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠CED=45°，∴EC=DC，

又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°

，

又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠DCO=60°，∠OCB=90°-∠DCO=30°，

∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，

∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；

∴∠COE=（180°-30°）÷2=75°．

题七：

．

详解：

由题意知，四边形AFPE是矩形，

∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，

∴当AP为Rt△ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，

此时AM=

AP，由勾股定理知BC=

=5，

∵S△ABC=

AB•AC=

BC•AP，∴AP=

=

，∴AM=

AP=

．

题八：

1+

．

详解：

作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求，

∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，∴EF为△ABC的中位线，

∵BC=2，∴EF=

BC=

×2=1；

∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFG=∠C=90°，

又∵∠ABC=60°，BC=2，FG=AC=2

，EG=

=

，

∴DE+FE+DF=EG+EF=1+

．

题九：

见详解．

详解：

（1）BD=CD．

理由：

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，

∵AF=BD，∴BD=CD；

（2）当△ABC满足：

AB=AC时，四边形AFBD是矩形．

理由：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AFBD是矩形．

题一十：

见详解．

详解：

（1）∵△BCF和△ACE是等边三角形，

∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，

∴∠ECA-∠FCA=∠BCF-∠FCA，即∠ACB=∠ECF，

∵在△ACB和△ECF中，AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF，

∴△ACB≌△ECF（SAS），∴EF=AB，

∵三角

形ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴EF=AD=AB，

同理FD=AE=AC，即EF=AD，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）当∠BAC=150°时，平行四边形AEFD是矩形，

理由：

∵△ADB和△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，

∵∠BAC=150°，∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，

∵由

（1）知：

四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：

∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，

∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，

∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．

题一十一：

见详解．

详解：

（1）∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，

∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，

∵DE=AD，∴DE=BC，

在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE，

∴△BOC≌△EOD（ASA）；

（2）∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，

在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE，

∵∠A=

∠EOC，∴∠ODE=

∠EOC，

∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD，

∵平行四边形BCED中，CD=2OD，BE=2OE，

∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形．

题一十二：

见详解．

详解：

矩形．

理由：

连接OM，∵AB=CD，BC=DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，

∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，

∴OM=

BD，OM=

AC，∴BD=AC，

∴四边形ABCD是矩形．

题一十三：

见详解．

详解：

（1）四边形ABDE是平行四边形，

理由：

∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，

∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，

∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，

∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）CE∥AD，CE=AD；

理由：

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=

∠MAC，

∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，

∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，

∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，

∴CE∥AD，CE=AD．

题一十四：

见详解．

详解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=

AB，CF=

CD．∴AE=CF，

在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∵

AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，

∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，

∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，

∴∠2+∠3=90

°，即∠ADB=90°，

∴四边形AGBD是矩形．

题一十五：

5．

详解：

把折叠的图展开，如图所示：

EF=AD，

∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．

题一十六：

PF+PG=AB．

详解：

PF+PG=AB．理由如下：

连接PE，

则S△BEP+S△DEP=S△BED，即

BE•PF+

DE•PG=

DE•AB．

又∵BE=DE，∴