北师大版初中数学平行四边形的性质 同步教案.docx

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北师大版初中数学平行四边形的性质同步教案

1　平行四边形的性质

探索和证明平行四边形的性质.

经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.

提高学生参加数学活动的积极性,注重理论和实际相结合.

【重点】　平行四边形的性质的探究与应用.

【难点】　平行四边形的性质的探究.

第

课时

1.理解并能说出平行四边形的定义.

2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.

经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.

通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.

【重点】

1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.

2.探索和证明平行四边形的性质.

【难点】　平行四边形的性质的探究.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器.

　　[过渡语]　生活中我们随处可见一些几何图形,之前我们已经深入研究了关于“三角形”的性质和判定,今天我们将对特殊的四边形——平行四边形进行研究.

导入一:

同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?

学生根据自己的生活经验,可能回答:

平行四边形、长方形、四边形……

【教师点评】　太阳光属于平行光,长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形,平行四边形是我们常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形,因为它有一种对称美.

引出本节课研究内容:

板书课题——平行四边形的性质.

[设计意图]　通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.

导入二:

【问题】　同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,将它们相等的一组对边重合,得到一个四边形.

（1）你拼出了怎样的四边形?

与同桌交流一下;

（2）给出小明拼出的四边形,它们的对边有怎样的位置关系?

说说你的理由,请用简洁的语言刻画这个图形的特征.

【学生活动】　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.

【教师活动】　平行四边形定义中的两个条件:

①四边形;②两组对边分别平行,即AD∥BC且AB∥DC;平行四边形的表示为“▱”.

注意:

平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.（教学时要结合图形,让学生认识清楚）

[设计意图]　通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.

导入三:

平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四边形的形状.

平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质?

又如何判断一个四边形是平行四边形呢?

这就是我们这节课要学习的内容.

[设计意图]　通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂,自然过渡到对平行四边形的性质的学习.

一、平行四边形的性质

　　[过渡语]　请同学们将你准备的纸片对折,剪下两张叠放的三角形纸片,把它们相等的一组对边重合,想办法拼出一个四边形.

思路一

实践探索:

（1）通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.

（2）可以通过推理来证明这个结论.

（平行四边形对边相等的证明）如图

（1）所示,四边形ABCD是平行四边形.

求证AB=CD,BC=DA.

证明:

如图

（2）所示,连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,BC∥DA（平行四边形的定义）.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∵AC=CA,

∴△ABC≌△CDA.

∴AB=DC,BC=DA.

学生证明:

平行四边形的对角相等.

[设计意图]　学生通过说理,由直观感受上升到理性分析,在操作感知的基础上提升了对平行四边形的性质的理解.

【做一做】　

（1）平行四边形是中心对称图形吗?

如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗?

（2）你还发现平行四边形具有哪些性质?

生1:

平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.

生2:

平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.

[设计意图]　这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同,是从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的性质.

思路二

　　[过渡语]　了解平行四边形的定义之后,我们下面对它的性质进行探究.

操作要求:

O是▱ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上,描出▱ABCD及其对角线AC,再用大头针钉在点O处,将透明纸上的▱ABCD旋转180°.你有什么发现?

学生独立探索得到▱ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.

思考:

从验证▱ABCD是中心对称图形的过程中,你发现平行四边形还具有哪些性质?

发现:

平行四边形的对边相等、对角相等.

[设计意图]　通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学生通过操作更好地理解平行四边形的性质.

二、议一议

如果已知平行四边形的一个内角度数,能确定其他三个内角的度数吗?

【学生活动】　学生小组内思考、议论.

【教师点评】　可以确定其他三个内角的度数.

[设计意图]　由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等,所以已知平行四边形的一个内角的度数,可以确定其他三个内角的度数.

三、例题讲解

　　[过渡语]　同学们已经会利用平行四边形的性质解决简单的问题了,你能解决下面这道题吗?

试一试（多媒体课件给出）.

（教材例1）已知:

如图所示,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.

求证BE=DF.

〔解析〕　本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD（平行四边形的对边相等）,

AB∥CD（平行四边形的定义）.

∴∠BAE=∠DCF.

又∵AE=CF,

∴△ABE≌△CDF.

∴BE=DF.

（补充例题）如图所示,在▱ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.

〔解析〕　要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到所需要的结论.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠D=∠B,AD=BC,AB=CD.

∵AE=CF,∴BE=DF.

∴△ADF≌△CBE.

∴AF=CE.

[设计意图]　通过例题及补充例题,使学生进一步理解平行四边形的性质,并能进行简单的合情推理.

[知识拓展]　1.平行四边形是特殊的四边形,因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.

2.在学习三角形时,我们通常从边、角两方面考虑性质与判定,由于四边形有对角线,故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手,对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带,通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.

3.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.

4.平行四边形的对边相等.

5.平行四边形的对角相等.

1.在▱ABCD中,若∠B=60°,则∠A=　　　　,∠C=　　　　,∠D=　　　　. 

答案:

120°　120°　60°

2.在▱ABCD中,若∠A比∠B大20°,则∠C=　　　　. 

解析:

由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.

3.在▱ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD=　　　　,CD=　　　　. 

解析:

AD=BC=5,CD=AB=3.

答案:

5　3

4.（梅州中考）如图所示,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,求▱ABCD的周长.

解:

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,

∴∠AEB=∠EBC.

∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,

∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,

∴AE+DE=AD=BC=6,

∴AE+2=6,∴AE=4,

∴AB=CD=4,

∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20.

5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.

证明:

∵BE=DF,

∴BE-EF=DF-EF,

∴BF=DE.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC.

∴∠ADE=∠CBF.

在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF（SAS）.∴AE=CF.

第1课时

一、平行四边形的性质

二、议一议

三、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第137页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第137页习题6.1的2,3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.（衢州中考）如图所示,在▱ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE的长等于（　　）

A.8cmB.6cm

C.4cmD.2cm

2.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD与BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD的周长为（　　）

A.5B.7C.10D.14

3.在平行四边形ABCD中,

（1）若∠A-∠B=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别为　　　　; 

（2）若平行四边形ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB=　　　　,BC=　　　　. 

4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的三角形有哪几对呢?

【能力提升】

5.如图所示,在▱ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为（　　）

A.110°B.30°C.50°D.70°

6.在▱ABCD中,若∠A+∠C=200°,则∠B的度数是（　　）

A.100°B.160°C.80°D.60°

7.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有平行四边形的个数为（　　）

A.6B.7C.8D.9

8.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为（　　）

A.4B.3C.

D.2

【拓展探究】

9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.

（1）求∠EDF的度数;

（2）若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.

【答案与解析】

1.C（解析:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB,∴AB=BE.∵AD=12cm,AB=8cm,∴BC=12cm,BE=8cm.∴CE=BC-CE=4cm.故选C.）

2.D

3.

（1）105°　75°　105°　75°　

（2）8　16

4.解:

可以找到4对全等三角形,它们是:

△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.

5.D（解析:

由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由∠ADC+∠FDC=180°,得出∠FDC=

70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.）

6.C（解析:

∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°.又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.）

7.D（解析:

图中的平行四边形有:

▱AEOG,▱BHOE,▱CHOF,▱OFDG,▱ABHG,▱CHGD,▱AEFD,▱BEFC,▱ABCD.）

8.B（解析:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB,∴AD=2CD,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.）

9.解:

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.　

（2）在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×（8+14）=44.

本节教材中直观感知的活动较多,能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此,从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常重要的.

在“议一议,做一做”环节中,要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.

增加实际生活的例子,激发学生的学习兴趣,提高学习的效率.

随堂练习（教材第137页）

1.解:

能.设一个内角的度数为x°,则其他三个内角的度数分别为:

180°-x°,x°,180°-x°.

2.解:

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=56°,∠BCD=180°-∠B=124°.　

（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=25,BC=AD=30.

习题6.1（教材第137页）

1.解:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=48°,∠B=180°-∠A=132°,AD=BC=3cm.

2.解:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°,∴∠ABC=125°.∴∠DAB=180°-∠ADC=55°,∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=55°-21°=34°.

3.证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.

4.证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=

∠ADC.同理,∠ABE=

∠ABC,∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA,∴∠CDF=∠AFD,∴∠AFD=∠ABE,∴DF∥EB.∵DE∥FB,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BF=DE.

本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一,为学好全章打下基础.

学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的,课堂上可引导学生回忆有关知识.

平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里不仅要复习巩固,而且要加深理解.

为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形的定义前,要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.

讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”时才是平行四边形;反之,平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.

要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.

教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.

教学中可以通过大量的生活实例引入新课,使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律,达到用问题创设数学情境,提高学生的学习兴趣.

然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的引导下,初步达到演绎数学论证过程的能力.

最后通过不同层次的典型例题、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.

第

课时

1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.

2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.

3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.

经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.

通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.

【重点】

1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.

2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.

【难点】　综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习上节课所学内容.

导入一:

复习提问:

（1）什么样的四边形是平行四边形?

（2）平行四边形的性质:

①具有一般四边形的性质.

②角:

平行四边形的对角相等,邻角互补.　

③边:

平行四边形的对边相等.

（3）那么平行四边形的对角线有什么特点呢?

[设计意图]　复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习具有连贯性.

导入二:

一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗?

为什么?

本节课,我们将继续学习平行四边形的有关性质,你将会明白老人的分法是否合理.

[设计意图]　把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.

一、性质总结

思路一

【探究】　请学生在纸上画两个全等的▱ABCD和▱EFGH,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起,在点O处钉一个图钉,将▱ABCD绕点O沿顺时针方向旋转180°,观察它还能和▱EFGH重合吗?

你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗?

进一步,你还能发现平行四边形的什么性质?

结论:

（1）平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;

（2）平行四边形的对角线互相平分.

[设计意图]　利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,容易理解.

思路二

　　[过渡语]　在上节课我们研究了平行四边形的边、角的特殊关系,这节课我们研究其对角线有怎样的特殊关系.

【学生活动】　学生小组内思考、交流.得出:

平行四边形的对角线互相平分.

【师生活动】　请尝试证明这一结论.

（平行四边形的对角线互相平分的证明）已知:

如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.

求证OA=OC,OB=OD.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD（平行四边形的对边相等）.

AB∥CD（平行四边形的定义）.

∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.

∴△ABO≌△CDO.

∴OA=OC,OB=OD.

追问:

你还有其他的证明方法吗?

与同伴交流.

（提示:

还可以证明△BOC≌△DOA）

[设计意图]　通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格的说理证明,深化对知识的理解.

[教法说明]　因为有上节课的基础,学生对于定理的证明已具备一定的基础,但是在证明定理之后应该给学生强调:

定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线互相平分.

二、例题讲解

　　[过渡语]　看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了,下面我们就一起来探究一下它的应用吧!

（补充例题）已知:

如图（a）所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.

求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.

〔解析〕　由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

又∵OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）,

∴△AOE≌△COF（AAS）.

∴OE=OF,AE=CF（全等三角形的对应边相等）.

∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.

【延伸思考】　若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图（b）所示的位置,那么补充例题的结论是否仍成立?

若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图（c）和图（d）所示,补充例题的结论是否仍成立?

说明你的理由.

（教材例2）已知:

如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.

求证OE=OF.

解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）.

AD∥BC（平行四边形的定义）.

∴∠ODE=∠OBF.

∵∠DOE=∠BOF,

∴△DOE≌△BOF.

∴OE=OF.

三、做一做

如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.

〔解析〕　本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题,教学时还可以让学生求其他边长.

解:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC=6,OB=OD=3,

∴AC=12.

又∠ADB=90°,

∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:

OA2=OD2+AD2,

∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.

∴AD=3

.

[知识拓展]　在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等.

（1）请在图

（1）中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线?

（2）由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律?

解:

（1）如图

（2）所示.（答案不唯一）

（2）规律:

所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.

平行四边形的性质:

（1）平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;

（2）平行四边形的对角线互相平分.

1.判断对错:

（1）在▱ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.（　　）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.（　　）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等.（　　）

（4）平行四边形是轴对称图形.（　　）

解析:

（1）在▱ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.

（2）由三角形全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.（3）由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.（4）平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.

答案:

（1）✕　

（2）√　（3）√　（4）✕

2.（宁波中考）如图所示,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加