北师大版初中数学专题平行四边形.docx

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北师大版初中数学专题平行四边形

平行四边形

一．选择题（共8小题）

1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（　　）

A．GF＝

ADB．EF＝

ACC．GE＝

BCD．GE＝GF

2．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：

S四边形ANME等于（　　）

A．1：

5B．1：

4C．2：

5D．2：

7

3．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）

A．13B．14C．15D．16

4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（　　）

A．540°B．720°C．900°D．1260°

5．如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（　　）

A．3B．4C．5D．10

6．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：

①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．已知四边形ABCD，从下列条件中：

（1）AB∥CD；

（2）BC∥AD；（3）AB＝CD；（4）BC＝AD；（5）∠A＝∠C；（6）∠B＝∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（　　）

A．4种B．9种C．13种D．15种

8．下列命题中，为假命题是（　　）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是平行四边形

二．填空题（共15小题）

9．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2

，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝　　．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为　　．

11．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为　　，α＝　　度．

12．在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交▱ABCD的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，四边形EGFH的形状是　　；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是　　；

（3）如图③，在

（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是　　；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，四边形EGFH的形状是　　．

13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4

，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为　　．

14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，线段DE交边BC于点F，连接BE．若∠C+∠E＝150°，BE＝2，CD＝2

，则线段BC的长为　　．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　　秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

16．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为　　．

17．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是　　．

18．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是　　边形．

19．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝　　．

20．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形是　　边形（填该多边形的边数）．

21．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　　．

22．已知平行四边形ABCD中，AD＝AC，且∠D＝75°，BE⊥AC于点E，则∠EBC＝　　．

23．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为　　．

三．解答题（共37小题）

24．理论探究：

已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．

（1）如图1：

当点M与B重合时，S△DCM＝　　；

（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝　　；

（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝　　；

拓展推广：

如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．

实践应用：

如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．

25．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．

（1）试说明DE＝BC；

（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？

写出你的结论，并说明理由．

26．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．

（1）求证：

△ABC≌△EAD；

（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

27．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：

四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB＝AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？

直接写出构成图形的类型和相应的条件．

28．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在BD上，且BF＝DE．

（1）写出图中所有你认为全等的三角形；

（2）延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H（请补全图形），证明四边形AGCH是平行四边形．

29．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积．

30．如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等．甬道面积是整个梯形面积的

．设甬道的宽为x米．

（1）求梯形ABCD的周长；

（2）用含x的式子表示甬道的总长；

（3）求甬道的宽是多少米？

31．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝8，AD＝20，AB＝DC＝10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP＝x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．

（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？

（3）在

（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？

借助备用图2说明理由；并进一步探究：

对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？

（只要求说出条件，不需证明）

32．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．

求证：

（1）ED∥BC；

（2）

．

33．已知：

在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？

请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

34．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F．

（1）若∠B+∠DCF＝180°，求证：

四边形ABCD是等腰梯形；

（2）若E是线段CD的中点，且CF：

CB＝1：

3，AD＝6，求梯形ABCD中位线的长．

35．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝

．

（1）求平行四边形ABCD的面积S▱ABCD；

（2）求对角线BD的长．

36．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．

（1）在图?

中当CE＝CF时，求证：

AF是∠BAD的平分线．

（2）根据

（1）的条件和结论，若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．

（3）如图ƒ，根据

（1）的条件和结论，若∠BAD＝60°，且FG∥CE，FG＝CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．

37．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

（1）求证：

△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．

38．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD的和为28，CD＝5

（1）求△COD的周长；

（2）△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积相等吗？

为什么？

若▱ABCD的面积是56，则△AOB的面积是多少？

39．如图，已知▱ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求AB和AD的长．

40．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB＝AC．

（1）求证：

△BAD≌△AEC；

（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．

41．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且DE＝4

cm，DF＝5

cm，求平行四边形ABCD的面积．

42．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：

DF＝BE．

43．已知：

如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：

AB＝AF；

（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

44．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H．

（1）求证：

四边形AGCH是平行四边形；

（2）当DE＝2，FH＝

时，求BH的长．

45．已知：

如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N．

求证：

四边形BMDN是平行四边形

46．如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

47．如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD交CD延长线于E．试说明：

AC＝AE．

48．阅读材料：

（任意一组）对边平行并且相等的四边形是平行四边形；用符号“平行四边形”表示该四边形为平行四边形．请根据此阅读材料解答下题：

如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边AD，BC的中点．求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形DEBF为平行四边形．

49．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：

（1）DE＝BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

50．如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE＝CF，AF、BE于点P．

（1）求证：

AF＝BE；

（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

51．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点．

（1）求证：

四边形ACED是平行四边形；

（2）若AD＝3，BC＝7，求梯形ABCD的面积．

52．如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：

（1）ED∥BC；

（2）ED＝

（AB+AC+BC）．

53．如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：

（1）填表：

m

个数

n

1

2

3

…

3

3

5

7

…

4

4

…

（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成　　个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成　　个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成　　个不重叠的小三角形；

（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．

54．已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式．

根据上图所示，一个四边形可以分成　　个三角形；于是四边形的内角和为　　度：

一个五边形可以分成　　个三角形，于是五边形的内角和为　　度，…，按此规律，n边形可以分成　　个三角形，于是n边形的内角和为　　度．

55．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．

（1）求证：

AE＝BC；

（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．

56．

（1）作图题：

如图1，在网格图中做出将四边形ABCD向左平移3格，再向上平移2格得到的四边形A′B′C′D′．

（2）证明题：

已知：

如图2，在△ABC中，BE＝EC，过点E作ED∥BA交AC与点G，且AD∥BC，连接AE、CD．

求证：

四边形AECD是平行四边形．

57．如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

四边形BDFC是平行四边形；

（2）若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．

58．若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为　　（结果保留根号的形式）．

59．如图，在△ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F．

（1）求证：

DF＝AC；

（2）若AB＝AC，点D是BC的中点，试判断四边形AFBD的形状，并说明理由．

60．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：

OE＝OF．